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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十二章　函数
22.2 函数的表示
第2课时 利用函数图像解决实际问题
主题情境·上学骑行记
1. 理解两个变量之间的关系的函数图象，了解图象中各个部分所表示的意义.
2. 能够从函数图象中获取关于两个变量的信息，并能解决实际问题．
图书馆
书店
家
小严家、书店、图书馆在同一条直线上．当日小严骑车去图书馆，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去图书馆.
如右图表示小严离家的距离与骑行时间之间的对应关系.
问题1 根据图象回答下列问题：
(2)小严想起要买书后折回书店，骑行了多少米？
(1)小严想起要买书时，离家多远？用时多长时间？

解：由纵坐标看出，小严想起要买书时离家1200米；由横坐标看出，用时6min.
解：由纵坐标看出，1200－600=900m，
小严折回书店骑行了600米.
(3)书店离小严家有多远？小严从家到书店用了多长时间？

解：由纵坐标看出，书店离小严家600米；由横坐标看出，小严从家到书店用时8min.
(4)小严在书店买书用了多长时间？
解：由横坐标看出，12－8=4min，
小严在书店买书用时4min.
(5)图书馆离书店多远？小严从书店到图书馆用了多长时间？
解：由纵坐标看出，1500－600=900m，图书馆离书店900米；
由横坐标看出，14－12=2min，小严从书店到图书馆用时2min.
(6)小严家到图书馆的路程是多少？
解：由纵坐标看出，小严家到图书馆的路程为1500米.
(7)小严今日去图书馆一共行驶了多少路程？
解：由纵坐标看出，
1200+(1200－600)+(1500－600)=2700m，
小严一共行驶了2700米.
(8)小严的实际骑行时间是多少？
解：由横坐标看出，
8+(14－12)=10min，
小严实际骑行时间为10分钟.
(9)从家到图书馆的路上，小严骑车的最快速度是多少？
解：当时间在0~6min时，速度为：1200÷6=200(m/min)，
当时间在6~8min时，速度为：(1200－600)÷(8－6)=300(m/min)，
当时间在12~14min时，速度为：(1500－600)÷(14－12)=450(m/min)，
∵200＜300＜450，
∴当时间在12~14min时，小严骑车速度最快，最快的速度为450m/min.
在s－t函数图象中，速度的大小还可以通过图象的倾斜程度来比较，对应图象越陡，速度越大，反之，对应图象越缓，速度越小.
分析实际问题判断函数图象的解题方法:
(1)弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量，注意两数轴上的名称与单位(通常横轴上的点表示自变量，纵轴上的点表示因变量)；
(2)找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
(3)拐点:图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；
(4)水平线:因变量随自变量的变化而保持不变；
(5)交点:表示两个函数的自变量与因变量分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”.
方法总结
如图①，小严从家出发，以150m/min匀速骑车前往图书馆，途中路过一家早餐店，花费10min吃早餐，吃完早餐后，小严以225m/min匀速继续骑行到图书馆.
探究 以下是小严骑车上学的两幅图，构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图①和图②中的图象来表示.
看清横纵坐标代表的意义哦！
如图②，小严从家出发，以200m/min匀速骑车4min后遇到红绿灯，等待2min后绿灯亮起，然后加速向图书馆方向骑行，骑行6min后达到最快速度400m/min，接着开始减速骑行，最后到达图书馆.
探究 以下是小严骑车上学的两幅图，构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图①和图②中的图象来表示.
例 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶.过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶.下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况( )
B
A. B. C. D.
“速度与时间”图象和“路程与时间”图象的比较
图象 图象各部分所表示的意义


归纳总结
AB段表示速度为0，即静止;
BC段表示速度在增加，即加速运动;
CD段表示匀速运动;
DE段表示速度在减小直到为0，即减速运动直到停止.
AB段表示在起点处静止;
BC段表示离起点越来越远;
CD段表示静止不动;
DE段表示离起点越来越近，直到回到起点.
思考 小严周天打算从家出发去图书馆自习，他要根据当天的气温变化做好安排规划.如图是当天的气温变化图象，它反应了当天气温T随时间t的变化情况.你从图象中得到了哪些信息？
(2)从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增长而下降)，从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态；
(3)我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
由图象可知：
(1)这一天中凌晨4时气温最低(－2℃)，14时气温最高(10℃)；
由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数，如图是这个函数的图象.
问题2 结合当天的气温变化图象，考虑较为适宜的温度(不低于4℃)建议小严周天去图书馆几点从家出发？几点从图书馆返回？
解： 选择8:00－9:00出发(避开低温)，
选择18:00前返程(避开夜间低温).
1.(2024江西)将常温中的温度计插入一杯60℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为(　　)
C　
C. D.
A. B.
2.(2025武汉)“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y(单位：cm)随漏水时间t(单位：h)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响)．水面高度从变化到所用的时间是(　　)
A.3h B.4h
C.6h D.12h
A　
O
3.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，其运动路线是A→D→C→B→A.设点P经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的关系的是(　　)
B　
C. D.
A. B.
4.小颖是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从APP调取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落过程中的飞行高度(h/米)与操控时间(t/分钟)之间的关系图.已知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题：
时间
高度
9
3
(1)自变量是_______.因变量是_______；
(2)无人机在第____分钟上升到100米的高度，它在这个高度持续了____分钟；
(3)无人机匀速爬升的速度为_______米/分钟，点A表示的意义是____________________________________;
25
第2分钟时，无人机的高度为50米
4.小颖是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从APP调取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落过程中的飞行高度(h/米)与操控时间(t/分钟)之间的关系图.已知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题：
(4)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的1.25倍，求出图中b的值.
解:若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的1.25倍，则
(1)甲、乙两人中，____先完成一天的生产任务；
(2)在生产过程中，____因机器故障停止生产，停止生产了____h；
(3)当t=_______h时，甲、乙两人生产两件的个数相等；
5.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y(单位：个)与生产时间t(单位：h)的关系如图所示.
甲
甲
2
3或5.5
5.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y(单位：个)与生产时间t(单位：h)的关系如图所示.
(4)谁在哪一段时间内的生产速度最快？在该段时间内，求他每小时生产零件的个数.
解:由图象可知甲在4~7时内倾斜程度最大，生产速度快.
此时甲每小时生产零件的个数为
(1)小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟；
6.小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚14∶00先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S(米)与小刚离家时间t(分钟)之间的对应关系，根据图象回答下列问题：
1200
6
(2)小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？
解:小聪的速度为：1200÷(14－8)=200(m/min)，
500÷200=2.5(min)，8+2.5=10.5(min)，
小刚出发10.5分钟后，小聪追上小刚.
(3)体育场的球赛是下午14∶25，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由.
∵24.2＜25，
∴不会迟到.
解:小刚原来步行速度：500÷8=62.5(m/min)，
(1200－500)÷62.5=11.2(min)，
∴小刚到达体育场所用时间：13+11.2=24.2(min)，
14:25－14:00=25(min)，小刚出门25分钟后球赛开始，
分析实际问题判断函数图象的解题方法:
(1)明确横轴、纵轴表示的函数变量；
(2)找准关键点：注意图象的起点、终点、最高点、最低点、拐点等特殊位置，弄清点的意义；
(3)识别水平线；
(4)重视交点.
Thanks!
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