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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十二章　函数
22.1 函数的概念
第1课时 变量和常量
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化······.在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
高铁行驶的路程随行驶时间的变化而变化
弹簧的长度随所挂物体质量的变化而变化
油箱中的油量随行驶里程的变化而变化
为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律.
在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示方法.在此基础上，用函数描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻画变量关系和变化规律中的作用.
列表法
函数的应用
图象法
常量与变量
函数的概念
函数的表示
解析法
人教八下
人教七下
前期学面直角坐标系知识，是绘制函数图象的基础.通过坐标系能将函数的表达式与图象联系起来，直观呈现函数的变化规律.
人教八下
人教九下
人教九上
人教八下
“函数” 是整个函数知识体系的基石，它给出了函数的通用概念，让学生理解在一个变化过程中，两个变量之间存在的一种对应关系.这为后续学习一次函数、二次函数、反比例函数提供了基本的理论框架.
1.变量与常量的认识：
在某个变化过程中，能区分出变量和常量.
2.函数解析式及函数值的确定，还会考查函数自变量的取值范围：
①在实际应用题中考查根据实际问题列函数解析式；
②结合分式或二次根式，考查函数自变量的取值范围；
③根据函数表达式或流程图求函数值.
3.分析、判断函数图象及画函数图象：
①根据实际问题的变化过程分析图象特征；
②根据变化情况判断函数；
③探究新函数的图象与性质；
④探究以几何图形为背景的函数图象与性质；
⑤画函数图象并探究其性质.
4.解析式法、列表法和图象法：
①选择正确的图象表示变化过程；
②函数表达方式的转化；
③利用表格、图象、解析式等解决问题.
1. 通过具体实例，了解变量、常量的概念.
2. 能判断出实际问题中的常量和变量.
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明温度随时间的变化而变化.
高处不胜寒，说明高山气温随海拔高度的变化而变化.
万物皆变，大到天体、小到分子都在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些变化呢
回答下列问题：
(1)汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s 分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
不变的量
变化的量
变化的量
汽车行驶的路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化.
s=60t
用含有t 的式子表示s，则有______.
(2) 电影票的售价为40元/张，第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影票的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元， y的值随x的值的变化而变化吗
不变的量
变化的量
变化的量
用含有x的式子表示y，则有______.
y=40x
电影票房收入 y 随售出票数 x 的变化而变化.
售出票数x/张 80 105 180
票房收入y/元
3200
4200
7200
(3) 你见过水中涟漪吗？如下图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？ S的值随r 的值的变化而变化吗
不变的量是圆周率π.
用含有r的式子表示S，则有______.
S=πr
圆的面积S 随圆的半径 r 的变化而变化.
圆的半径r/cm 10 20 30
圆的面积S/cm2
100π
400π
900π
变化的量
变化的量
(4) 长方体的体积为1 000cm3，当长方体的底面积S分别为50cm2，100cm2，125cm2时，高h分别为多少，h 的值随S 的值的变化而变化吗？
变化的量
变化的量
不变的量
底面积S/cm2 50 100 125
高h/cm
20
10
8
则有_______.
用含有x的式子表示y，
长方体的高h随长方体的底面积S的变化而变化.
思考 这些变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
数值发生变化的量
变量
像路程s、时间t、票房收入y、售出票数x、圆面积S、圆半径r、长方体底面积S、高h这些量是
数值始终不变的量
常量
像速度60 km/h、单价40元/张、圆周率π、长方体的体积1000，这些量是
s=60t y=40x S=πr2
温馨提示
判断一个量是常量还是变量的方法：
看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变(或者说是否会取不同的数值):
若在变化过程中此量的值不变，则此量是常量;
若此量的值发生改变(可以取不同的数值)，则此量是变量.
注意：(1)常量不等于常数，它也可以用在变化过程中数值不发生改变的字母来表示；
(2) 在一个变化过程中，变量或常量有时不止一个．
例 指出下列问题中的常量和变量：
(1) 某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为xt，月应缴水费为y元；(2) 在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元；
(3) 用 20m长的绳子围一个矩形，记矩形一边长为 xm，矩形的面积为Sm2.
解: (1)生活用水的价格5元/t是常量，某户的月用水量xt和月应缴水费y元是变量；
(2)刷公交卡每次收费1元和存入的钱数30元是常量，乘坐公交车的次数n次和公交卡中的余额w元是变量；
(3)绳的长度20m是常量，矩形的一边长xm和面积Sm2是变量.
1. 电动拉闸门中有许多菱形，将如图所示的菱形记为菱形ABCD．在拉闸门移动的过程中，下列说法正确的是( )
A. AB是变量
B. ∠A是变量
C. AC是常量
D. ∠B是常量
B
2. 如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是( )
A. 金额、单价是变量，数量是常量
B. 数量、单价是变量，金额是常量
C. 金额、数量是变量，单价是常量
D. 金额、数量、单价都是变量
C
3. 某人加工200个零件，若用a表示工作效率，用t表示工作时间，工作时间随工作效率变化而变化，下列判断正确的是( )
A. 200和a、t都是常量 B. 200和a都是变量
C. a和t都是变量 D. 200和t都是变量
C
4.填空
(1)正方体的棱长为a，表面积是S，则S与a的数量关系是_______，其中________是变量，_______是常量.
(2)多边形内角和M与多边形边数n间的数量关系是_________________；其中_________是变量，________是常量.
(3)弹簧测力计是利用弹簧伸长的长度与所挂物体质量成正比的原理，如果弹簧秤未挂物体时弹簧长是8 cm，每挂1千克物体弹簧伸长0.5 cm，那么弹簧的总长L cm与所挂物体质量m kg间的数量关系是____________；其中变量是___________、常量是____________.
S 、a
6
M 、n
2、180°
L 、m
0.5、8
5.如图所示，在一个边长为12cm的正方形四个角上，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化.
(1)在这个变化过程中，常量和变量各是什么？
解：常量是大正方形的边长12，变量是小正方形的边长和
阴影部分的面积.
(2)如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，写出y与x的关系式？
解：由图形可知阴影面积=大正方形面积-4个小正方形的面积，
∴y=122-4x2，即y=144-4x2.
(3)当小正方形的边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积在什么范围内变化？是怎样变化的？
解：当x=1时，y=144-4×12=140，
当x=5时，y=144-4×52=44，
∴当小正方形的边长由1cm增加到5cm时，
阴影部分的面积逐渐变小，从140cm2减少到44cm2.
变量
变量和常量
常量
在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
Thanks!
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