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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
第1课时 正比例函数的图象和性质
1. 理解正比例函数的图象的特点，会利用两点(法)画正比例函数的
图像.
2. 掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.
学校组织八年级学生去郊区农场开展实践活动，将课堂知识灵活应用到实际生活中，一起来看看吧!
(1)农场耕地，一台小型耕地机每小时能耕2亩地.设耕地时间为x小时，耕地总面积为y亩，耕地总面积随时间变化的函数关系为 ；
y＝2x
(2)耕完地后要播蔬菜种子，1千克种子大概能播3亩地，设播种亩数为x亩，所需种子总质量为y千克，种子质量与播种亩数的函数关系为 ；
y＝ x
(3)用水泵从河中抽水到池塘内用于养鱼，现有两种抽水速度不同的水泵，A水泵的抽水速度为1.5t/min，B水泵的抽水速度为4t/min，设抽水时间为xmin，将河中水的变化量设为yt，水量减少记为负，用两个水泵分别抽水，河中水的变化量随时间变化的函数关系分别为 .
y＝ 1.5x、y＝ 4x
思考 1.以下函数有怎样的特征？
y＝2x y＝ x y＝1.5x y＝4x
这些函数形式上符合y＝kx(k 为常数，k≠0)的特征，它们均为正比例函数，其中y＝2x与y＝ x的系数k＞0，y＝1.5x，y＝4x的系数k＜0.
为了更好的借助函数认识运动变化的情况，需要研究函数的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律.在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演者重要的角色！
2.如何画函数图象？一般步骤？
描点法画函数图象，一般步骤：列表、描点、连线.
探究 分别画出下列正比例函数的图象.
(1)y＝2x ， y＝ x；
解：(1)函数y＝2x中的自变量x可为任意实数，下表是y与x的几组对应值：
x … 2 1 0 1 2 …
y＝2x … 4 2 0 2 4 …
(2)y＝1.5x， y＝4x .
描点：如下图，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点.
连线：将这些点连接起来.
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y
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O
y＝2x
用同样的方法， 可以得到函数y＝ x的图象.
它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线 .
由此得到一条经过原点和第三、一象限的直线. 它就是函数 y＝2x的图象.
x … 2 1 0 1 2 …
y＝2x … 4 2 0 2 4 …
y＝ x
分别画出下列正比例函数的图象.
解：函数 y＝ 1.5x 中自变量x可取任意实数，下表是 y与x的几组对应值：
x … 2 1 0 1 2 …
y＝ 1.5x … 3 1.5 0 1.5 3 …
(2)y＝1.5x， y＝4x .
描点：如下图，在平面直角坐标系中描出以上表中的值为坐标的点.
连线：将这些点连接起来.
用同样的方法，可以得到函数y＝ 4x 的图象.
它也是一条经过原点和第二、四象限的直线 .
得到一条经过原点和第二、第四象限的直线. 它就是函数y＝ 1.5x 的图象.
x … 2 1 0 1 2 …
y＝ 1.5x … 3 1.5 0 1.5 3 …
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y＝ 1.5x
y＝ 4x
思考 从以上4个函数图象中，你发现什么特点？
以上4个正比例函数的图象都是经过原点的直线.
函数y＝2x和y＝ x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；
函数 y＝ 1.5x 和 y＝ 4x 的图象经过第二、第四象限，从左向右下降.
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y＝2x
y＝ x
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O
y＝ 1.5x
y＝ 4x
做一做 任意写一个正比例函数解析式，并画出它的图象，和上面的4个函数图象对比，你发现了什么？
它们的函数图象都是经过原点的一条直线，并且图象大致分为两种：
当k＞0时，函数图象经过第三、第一象限，从左向右上升；
当k＜0时，函数图象经过第二、第四象限，从左向右下降.
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y＝kx(k＞0)
y＝kx(k＜0)
一般地，正比例函数 y＝kx(k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y＝kx.
当k＞0时，直线 y＝kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即 y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线 y＝kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即 y随x的增大而减小.
归纳总结
思考
1.由正比例函数的解析式，你能说明它的函数值 y 随自变量x的增大而增大(或减小)的道理吗？
正比例函数的解析式为 y＝kx (k≠0).
当 k＞0 时，若 x1＞x2，则 y1 y2＝kx1 kx2＝k(x1 x2)＞0，即 y1＞y2，说明y随x的增大而增大；
当 k＜0 时，若 x1＞x2，则 y1 y2＝kx1 kx2＝k(x1 x2)＜0，即 y1＜y2，说明y随x的增大而减小.
2.怎么画正比例函数的图象最简单？
因为“两点确定一条直线”，而正比例函数y＝kx(k≠0)的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数图象. 一般地，这一点可以取点(1 ，k)这个特殊点.
一般地，过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，即正比例函数y＝kx(k≠0)的图象.
归纳总结
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y＝ 3x
y＝ x
y＝x
y＝3x
y＝ x
y＝ x
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y＝ x；(2) y＝x；(3) y＝3x；
(4) y＝ x；(5) y＝ x；(6) y＝ 3x.
以上6个函数图象如右图所示.
观察这些函数图象，
你发现了什么？
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y＝ x
y＝x
y＝3x
观察作图可得：当k＞0时，k越大，直线越靠近y轴，倾斜得越陡；
观察作图可得：当k＜0时，k越小，直线越靠近y轴，倾斜得越陡；
综上所述，|k|越大，直线越靠近y轴，倾斜得越陡.
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y＝ 3x
y＝ x
y＝ x
观察作图可得：当k值互为相反数时，函数图象关于x轴对称.
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y＝ x
y＝ x
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y＝x
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y＝ 3x
y＝3x
(2)函数图象经过第二、四象限时，求k的取值范围.
例2 已知正比例函数 y＝(1 3k)x.
(1)当y随x的增大而增大时，求k的取值范围；
解：由题意可得1 3k＜0，解得k＞ ；
解：由题意可得1 3k＞0，解得k＜ ；
例2 已知正比例函数 y＝(1 3k)x.
解：设y1＝(1 3k)x1，y2＝(1 3k)(x1＋2)，
∵x的值每增大2，y的值增大8，
∴y2 y1＝8，即
(1 3k)(x1＋2) (1 3k)x1＝8
(1 3k)(x1＋2 x1)＝8
2(1 3k)＝8.
由题意可得1 3k＝ ，解得k＝ 1；
(3)若x的值每增大2，y 的值增大8，求 k 的值.
∴1 3k＝
例2 已知正比例函数 y＝(1 3k)x.
(4)已知点P(2， 4k)是函数图象上一点．
①求k的值；
解：将点(2， 4k)代入函数 y＝(1 3k)x中，
得 2(1 3k)＝ 4k，
解得 k＝1；
解：直接代入求值，再比较：
∵k＝1，∴(1 3k)＝ 2，∴y＝ 2x，
当x＝2时，y1＝ 4；当x＝ 4时，y2＝8； ∴ y1＜y2.
一题多解：根据增减性比较：
∵k＝1，∴(1 3k)＝ 2，∴y 随x的增大而减小，
又∵2＞ 4，∴ y1＜y2；
正比例函数 y＝(1 3k)x (其中k＝1).
②当(2，y1)、( 4，y2)为函数图象上一点，比较y1与y2的大小.
分析：确定k的符号，用增减性比较大小更简单.
例2 已知正比例函数 y＝(1 3k)x.
(5)当 1≤x≤2时，函数的最大值为8，求此时k的值．
解：当 1 3k＞0，即 k＜ 时，y 随x的增大而增大，
∴当x＝2时，函数取最大值为8，即 2(1 3k)＝8，
解得 k＝ 1，符合题意；
当1 3k＜0，即 k＞ 时，y 随x的增大而减小，
∴当x＝ 1时，函数取最大值，即 (1 3k)＝8，
解得 k＝3，符合题意.
综上所述，当k的值为 1或3时，
当 1≤x≤2时，函数有最大值8.
归纳总结
正比例函数k值的意义：
1.决定图象倾斜方向：
k＞0→过原点，从左向右是上升的直线(↗)；
k＜0→过原点，从左向右是下降的直线(↘)；
2.决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线越靠近y轴，倾斜得越陡；
3.实际意义：作为比例系数，k表示x每变化1个单位时，y对应的变化量
1.(2024德阳)在比例函数 y＝kx (k ≠ 0) 的图象如图所示，则 k 的值可能是( )
A. B.
C. 1 D.
A
2.(2025内蒙古) 在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为 ( )
A.12A B.8A
C.6A D.4A
A
3.如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1______k2(填 “＞” “＜”或“＝”)．
＜
4.如果正比例函数 y＝mxm 3 的图象在二、四象限，那么m的值是_____．
2
5.已知点A(2，y1)，B(5，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，y1与y2的大小关系是什么？
方法二：根据增减性比较：
∵3＞0，∴y随x的增大而增大.
又∵2＜5，
∴y1＜y2.
解：方法一：直接代入求值比较:
当x＝2时，y1＝6；当x＝5时，y2＝15.
∴y1＜y2.
正比例函数 y＝kx(k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y＝kx.
性质
过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，即正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象.
当k＞0时，直线 y＝kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即 y 随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线 y＝kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即 y 随着x的增大 而减小.
画法
比较大小的方法
法一：直接代入求值比较;
法二：根据增减性比较.
正比例函数的
图象和性质
图象
Thanks!
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