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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
综合实践
音乐与数学
我们常说，丝竹之声，天籁之音，是指音乐能给人听觉上的享受.唐代诗人白居易在千古名篇《琵琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述：
大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语.
嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘.
间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难.
冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇.
别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声.
银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣.
曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛.
琵琶行 [清] 改琦 作
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如果用数学描述音乐呢？
音乐是声音的艺术.生活中，有些声音十分悦耳.也有些声音非常刺耳.乐器之间的合奏，也存在上述现象.你知道这是为什么吗
人们经过漫长的研究，制定了多种音律规则，即音乐律制，如三分损益法、五度相生律以及目前普遍采用的十二平均律.
这些音乐律制的原理是什么 背后有哪些数学知识 让我们从这些问题开始.探究音乐与数学的关系，用数学描述音乐吧.
认识音乐与数学的关系：数学在音乐律制发展中的作用，从函数角度分析五线谱、乐器中蕴含的数学知识等.
1.查阅资料，了解乐音的四个基本要素——音强、音高、音值、音色.
2.乐音的音高与声波的振动频率有关.查阅资料，了解这两者之间的关系.
3.了解弦的振动频率与弦长的关系.
乐音四个基本要素：
音强：指声音的强弱，与声波的振幅有关，振幅越大，音强越强.
音高：指声音的高低，与声波的振动频率有关，频率越高，音高越高.
音值：指声音的长短，由发音体振动的持续时间决定.
音色：指声音的特色，由发音体的材料、结构以及振动方式等因素决定，不同乐器或人声有不同的音色.
任务1 我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混合在一起听着非常刺耳.查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你能从数学角度解释吗
活动一
探究音乐规律中蕴含的数学原理
当两个声音的频率之比为简单整数比(如 2:1、3:2、4:3 等)时，合奏起来比较和谐.从数学角度看，简单整数比的频率在声波叠加时，会产生周期性的和谐振动，听起来悦耳；而频率比为复杂分数时，振动叠加不规则，听起来刺耳.
任务2 古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密.由此，音乐家发明了各种制定音乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可以生成“宫、商、角、徵、羽”五声音阶.而西方的五度相生律可以生成被命名为“毕达哥拉斯音阶”的七声音阶.查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法，它们有什么共通之处吗
三分损益律，最早见于《管子》.《管子·地员篇》
凡将起五音：先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫；三分而益之以一，为百有八，为徵；不无有三分而去其乘，适足以是生商；有三分而复于其所，以是生羽；有三分而去其乘，以是生角.
乘 是三分损一，
乘 是三分益一，
合称为“三分损益法”.
三分损益律，最早见于《管子》.《管子·地员篇》
凡将起五音：
先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素
之首，以成宫；
三分而益之以一，为百有八，为徵；
不无有三分而去其乘，适足以是生商；
有三分而复于其所，以是生羽；
有三分而去其乘，以是生角.
毕达哥拉斯及其学派认为宇宙和谐的基础是完美的数的比例，音乐与宇宙天体存在类似.
他们认为弦长比为2：1、3：2、4：3时发出相隔纯八度、纯五度、纯四度的音程定位完美的协和音程.他们将纯五度作为生律要素，由此产生“五度相生律”.
共通之处：都以一定的频率比(简单整数比)为基础来生成新的音，利用数学比例关系构建音阶体系.
三分损益法：是中国古代制定音律的方法.以某一音为基础（如 “宫” 音），将其弦长分为三份，“损” 即减去一份(乘以 )，得到 “徵” 音；“益” 即增加一份(乘以 )，再 “损” 得到 “商” 音，依此类推，生成 “宫、商、角、徵、羽” 五声音阶.
五度相生律：从一个基音开始，每次向上纯五度(频率比为 3:2)生律，再将生律得到的音移低八度(频率比为 2:1)，如此反复，生成 “毕达哥拉斯音阶” 的七声音阶.
运用三分损益法创作的经典古曲
五度相生律在西方传统音乐作品中的体现
《广陵散》
《梅花三弄》
巴赫《平均律钢琴集》—第一卷
《费加罗的婚礼》
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任务3 三分损益法、五度相生律这一类制谱方法，有个共同的问题：它们所生成的音阶都不能回归本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关系.这给音乐作品的转调带来了困难.以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么存在上述不足吗
以“宫”音弦长为L，频率为f.根据三分损益法，“徵”音弦长为 L，频率为 f；“商”音弦长为 ，频率为 f，以此类推，经过多次损益后，得到的最后一个音的频率与最初“宫”音频率的2倍(八度关系，频率比2:1)无法通过简单的分数运算达到完全相等，因为涉及的分数相乘后无法得到精确的2，所以不能回归本律，给转调带来困难.
任务4 为了弥补上述不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家朱载堉(1536—1611)创立了十二平均律，上述问题才得以彻底、完整的解决.
(1)查阅资料，了解十二平均律的制谱方法.
十二平均律的制谱方法：将一个八度(频率比为 2:1)平均分成 12 个半音，每个半音之间的频率比相等.
(2)由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个音的频率之比相等，朱载堉称之为“密率”(见《律吕精义》).事实上，“密率”是一个无理数.朱载堉通过他自制的一个81档双排位大算盘(如下图)成功地算出了“密率”的估计值，将其精确到了25位有效数字，这在当时条件下是难以想象的.他是世界历史上将数学与音乐完美结合的杰出律学家.试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.
设基音频率为f0，第n个半音的频率为fn，
因为一个八度后频率变为2f0，且平均分成 12 份，
所以fn= f0×rn(r为相邻音频率比)，
当n = 12时，f12= 2f0=f0×r12，解得r = ≈ 1.059463.
朱载堉通过自制的 81 档双排位大算盘算出“密率”(即 )的近似值，精确到 25 位有效数字.
音乐律制建立之后，人们发明了多种记录乐谱的方式，目前最常用的方法是简谱和五线谱两种.
活动二
从函数角度分析乐谱
简谱
一般简谱指数字简谱，数字简谱以可动唱名法为基础，用1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本级，读音为do、re、mi、fa、sol、la、ti(中国为si)，英文由C、D、E、F、G、A、B表示，休止以0表示.
五线谱
简谱中音符、节拍的记法都采用了数学元素；而五线谱则是一种接近于数学图形的语言，这是因为在五线谱中，我们能清楚地看到音的高低位置.以歌曲《保卫黄河》(光未然词，洗星海曲)的片段为例(如下图),如果将音符的符头顺次连接，就能得到一条反映乐曲的音高及音值(时长)变化的旋律线.这条旋律线与刚刚学过的函数曲线是不是有异曲同工之妙 能不能用函数的眼光分析五线谱呢 尝试一下吧!
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音符的组成与时值
音符由符头(空心或实心)、符干、符尾组成.不同形状的音符表示不同的值(这里是拍，以四分音符为一拍，每小节两拍)来判断：
全音符 ：空心符头，无符干、符尾，时值为2拍;
二分音符 ：空心符头，有符干，无符尾，时值为1拍;
四分音符 ：实心符头，有符干，无符尾，时值为拍;
八分音符 ：实心符头，有符干，带1条符尾，时值为拍;
十六分音符 ：实心符头，有符干，带2条符尾，时值为拍.
相邻的两种音符的时值比例为2:1.
任务1 图象由点组成，在画函数图象时，需要在平面直角坐标系中描出点的位置，这就需要先确定点的横、纵坐标.类似地，人们在记谱时，也是通过记录乐音的音高和音值这两个基本要素来记录乐音.查阅资料，分析五线谱是如何记录乐音的上述两个要素的 五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置有什么相似性
要素 五线谱 平面直角坐标系
纵轴定位 谱线/间的位置决定音高 y轴数值决定垂直位置
横轴定位 音值(全音符→十六分音符) x轴数值决定水平位置
关键映射 音高→频率→y坐标，时间→x坐标 提示：可以通过下面几步来完成上述任务.
(1)结合乐音的记谱方法，在平面直角坐标系中刻画乐曲的旋律时，确定横轴和纵轴各自表示的意义；
(2)根据五线谱中记录的音符的位置和时长，在平面直角坐标系中找到音符对应点的位置；
(3)用线段表示音符对应的时长.
任务2 能否用函数刻画乐曲的旋律 以下图中的乐曲片段为例，思考上述五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时间有什么关系 你能在平面直角坐标系中将下图中的乐曲片段刻画出来吗
任务2 能否用函数刻画乐曲的旋律 以下图中的乐曲片段为例，思考上述五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时间有什么关系 你能在平面直角坐标系中将下图中的乐曲片段刻画出来吗
任务3 通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出一条刻画音乐旋律的曲线.和你的同伴交流以下问题：
(1)看看画出的曲线是否一致 如果不一致，分析其中的原因.
画出的曲线可能不一致.
原因可能是对音符时长的划分、音高对应的数值设定等存在不同的理解和操作，比如不同人对音符持续时间的测量精度不同，或者对音高与纵轴数值的对应关系有不同的规定.
任务3 通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出一条刻画音乐旋律的曲线.和你的同伴交流以下问题：
(2)任务2中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数曲线 为什么
可以视为一条函数曲线.
因为对于每一个确定的音值(自变量)，都有唯一确定的音高(因变量)与之对应，符合函数的定义(在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x值，相应的就确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数).
任务4 把五线谱看作平面直角坐标系，为我们用数学的眼光欣赏音乐旋律提供了工具.自选一首歌(乐)曲，把其中一段旋律的五线谱表现在你建立的平面直角坐标系中，分析所画的曲线是否可以视为函数图象.
2－ →re的时长为2拍
若为2－ －，re的时长为3拍
每一个对应的拍数位置，都只有唯一确定的音高，所以从数学函数角度看，这段旋律在平面直角坐标系里的“曲线”，可以视为函数图象.
活动过程
1.组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作.在班级中组成5～8人一组的研究小组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人.
2.方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案.
活动过程
3.方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务.根据规划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告.
4.展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足.
注意：展示交流活动要邀请音乐老师参加点评.
活动评价
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、作品评分表、表现评分表、自我反思表等进行评价.与老师(包括音乐老师)和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动.
1.如图是一段乐谱的旋律，四位同学用折线表示出了这段乐谱的音主和节拍，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
分析：根据乐谱可知是一个小节三拍，且1→7逐渐升高，
第一节为1，1，3；
第二节为5，5，5；
第三节为高音1，1之后5；
第四节为3，3，3.
A
数学在音乐律制发展中的作用
从函数角度分析五线谱
三分损益法：以弦长比例(“损” 乘 、“益” 乘 )为依据生成五声音阶.
五度相生律：凭频率比3:2(纯五度)构建七声音阶.
十二平均律：通过将八度(频率比2:1)平均分成12个半音，利用开方运算(相邻音频率比为 )，解决转调难题，推动音乐律制完善.
音符的音高和音值类似函数的因变量和自变量.
平面直角坐标系中，音高为纵轴，时间(音值)为横轴，音符对应坐标点，连接成函数曲线刻画旋律，符合 “一个自变量对应唯一因变量” 的函数定义.
Thanks!
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