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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
第2课时 一次函数的图象和性质
1.会画一次函数图象，并借助图象归纳一次函数的性质.
2. 从图象角度理解一次函数与正比例函数的关系，体会数与形的内在联系.
3. 能灵活运用一次函数性质解决数学问题.
y ＝ kx k＞0 k＜0
图象
图象特征 过原点，从左向右是上升的直线( ↗) 过原点，从左向右是下降的直线( ↘)
经过的象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
回顾 (1)我们都学习了正比例函数的哪些内容？学习顺序是什么？
解析式
图象
性质
(2)还记得我们是怎么研究正比例函数的图象和性质吗？
列表、描点、连线 函数图象 图象的性质；
正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象性质：
当k＞0，直线y＝kx经过第三、一象限，y 随 x 的增大而增大；
当k＜0，图象y＝kx经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小；
接下来，我们将继续研究一次函数图象和性质!
思考1 (1)正比例函数是特殊的一次函数，那么一次函数的图象也会是一条直线吗
(2)从解析式上看，一次函数y＝kx＋b(k≠0) 与正比例函数y＝kx(k≠0) 只相差一个常数b体现在图象上，又会有怎样的关系呢
以上的这些问题，通过画一次函数图象都可以解决!
问题 画出函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 的图象.
x ... －1 －0.5 0 0.5 1 ...
y＝－3x ... 3 1.5 0 －1.5 －3 ...
y＝－3x＋1 ... 4 2.5 1 －0.5 －2 ...
解：函数 y＝－3x 与 y＝－3x＋1 中的自变量 x 可为任意实数.
列表表示几组对应值.
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4
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x
y
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4
2
1
O
描点：描出表中列出的几组对应点；
连线：将这些连接起来，画出函数y＝－3x与
y＝－3x＋1的图象.
x ... －1 －0.5 0 0.5 1 ...
y＝－3x ... 3 1.5 0 －1.5 －3 ...
y＝－3x＋1 ... 4 2.5 1 －0.5 －2 ...
y＝－3x
y＝－3x＋1
得到一条经过原点和第二、第四象限的直线y＝ 3x . 用同样的方法，也可以得到直线
y＝－3x＋1，它不经过原点，经过第一、二、四象限.
探究1 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：
(1)这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜的程度 ；
直线
相同
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x
y
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2
1
O
y＝－3x
y＝－3x＋1
若两个一次函数的k值相等，则它们的图象(直线)互相平行；反之，若两个一次函数图象
(直线)平行，则它们的k值相等.
(2)函数 y＝－3x 的图象经过原点；函数 y＝－3x＋1 的图象与y轴交于点 ，即它可以看作是由直线 y＝－3x 向 平移 个单位长度得到的；
(0，1)
上
1
直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x轴的交点为 ，与y轴的交点为(0，b).
1
1
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4
3
2
x
y
3
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2
3
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4
2
1
O
y＝－3x
y＝－3x＋1
2.比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗
任取 x 值时，函数 y＝－3x＋1 的值总等于函数 y＝－3x 的值加1(即对应的纵坐标+1)；
也就是说：y＝－3x 图象上的所有的点向上平移1个单位后就得到函数 y＝－3x＋1 图象上的点坐标，这些点组成了函数 y＝－3x＋1 的图象.
3.联系上面结果，考虑一次函数 y＝kx＋b (k≠0) 的图象是什么形状？它与直线y＝kx (k≠0) 有什么关系？
1
1
2
3
4
4
3
2
x
y
3
1
2
3
4
4
2
1
O
y＝－3x
y＝－3x＋1
比较一次函数y＝kx＋b(k≠0)与正比例函数
y＝kx(k≠0)的解析式，可得出：
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).
y
x
O
y＝kx＋b1
y＝kx＋b2
y＝kx
b1
b2
归纳总结
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
由此可得，若两个一次函数的k值相等，则它们的图象(直线)互相平行；反之，若两个一次函数图象(直线)平行，则它们的k值相等.
如果是你，你会如何画出一次函数的图象？
一次函数图象是一条直线，所以选取一次函数图象上两点连线即可，因为“两点确定一条直线”.
选择哪两个点呢？
两个特殊点(0，b)和 (1，k＋b)或 .
例1 画出函数 y＝2x－1 与 y＝－0.5x＋1 的图象.
解：列表表示当 x＝0，x＝1 时两个函数的对应值.
x 0 1
y＝2x－1 －1 1
y＝－0.5x＋1 1 0.5
分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它.
O
1
2
2
1
x
y
1
2
2
1
过点(0，－1)与(1，1)画出直线 y＝2x－1；
过点(0，1)与(1，0.5)画出直线 y＝－0.5x＋1.
y＝－0.5x＋1
两点法画一次函数图象.
x 0 1
y＝2x－1 －1 1
y＝－0.5x＋1 1 0.5
还有什么方法可以画这两个函数图象？
y＝2x－1
O
1
2
2
1
x
y
1
2
2
1
分析：
先画直线 y＝2x 与 y＝－0.5x，
y＝2x
y＝－0.5x
y＝2x－1
y＝－0.5x＋1
平移法画一次函数图象.
向下平移1个单位
向上平移1个单位
y＝2x－1
y＝－0.5x＋1
画一次函数图象的方法
x
y
O
y＝kx+b
(0，b)
(1)两点法：取直线 y＝kx＋b上两个特殊点(0，b)和(1，k＋b)或 .
归纳总结
1
(1，k＋b)
(2)平移法：一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象可以由直线 y＝kx 平移 个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).
x
y
O
y＝kx
y＝kx＋b(b＞0)
y＝kx＋b(b＜0)
归纳总结
你知道一次函数图象的平移规律吗？
平移前 平移方向(m＞0) 平移后 规律
y＝kx＋b 向上平移m个单位 y＝kx＋b＋m 上加下减
向下平移m个单位 y＝kx＋b－m 向左平移m个单位 y＝k(x＋m)＋b 左加右减
向右平移m个单位 y＝k(x－m)＋b
归纳总结
1
1
2
3
4
4
3
2
x
y
3
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2
3
4
4
2
1
O
探究2 画出函数 y＝x－1 、 y＝－x＋1、y＝2x－1 、 y＝－2x＋1 的图象.总结它们从左向右上升或下降的规律.
y＝x－1
y＝2x－1
y＝－x＋1
y＝－2x＋1
y＝x－1的图象从左向右上升；
y＝－x＋1的图象从左向右下降；
y＝2x－1的图象从左向右上升；
y＝－2x＋1的图象从左向右下降.
思考2 (1)一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中 ，k对函数图象有什么影响？
观察图象，可以发现：
当k＞0 时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y 随 x 增大而增大；
当k＜0 时，直线y＝kx＋b从左向右下降，y 随 x 增大而减小.
1
1
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4
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2
x
y
3
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3
4
4
2
1
O
y＝x－1
y＝2x－1
y＝－x＋1
y＝－2x＋1
(2)一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中 ，b对函数图象有什么影响？
观察图象，可以发现：
当b＞0 时，直线 y＝kx＋b 交于y轴正半轴；
当b＜0 时，直线 y＝kx＋b交于y轴负半轴.
1
1
2
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4
4
3
2
x
y
3
1
2
3
4
4
2
1
O
y＝x－1
y＝2x－1
y＝－x＋1
y＝－2x＋1
归纳总结
观察前面一次函数的图象，可以发现规律：
(1)k决定函数图象的倾斜方向和增减性：
当 k＞0 时，直线 y＝kx＋b从左向右上升，y 随 x 增大而增大；
当 k＜0 时，直线 y＝kx＋b从左向右下降，y 随 x 增大而减小.
(2)b决定函数图象的于y轴的交点情况：
当 b＞0 时，直线 y＝kx＋b 交于y轴正半轴；
当 b＜0 时，直线 y＝kx＋b交于y轴负半轴.
一次函数图象由k与b共同决定.
一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) k，b的 符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图象
性质 y 随 x 的增大而增大 (图象自左向右上升) y 随 x 的增大而减小 (图象自左向右下降) 与 y 轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限
例2 一次函数 y＝－2x－1 的图象大致是( )
A B C D
D
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
变式 函数 y＝mx＋m 的图象可能是下面选项中的( )
A B C D
D
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
判断两个一次函数图象的方法
方法一：在选项中选定一个函数图象确定k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合；
方法二：确定某选项中两个一次函数各自的k，b的符号，看结果是否一致，若一致，则正确；若不一致，则错误；
方法三：根据k，b的符号分四种情况讨论，看两个图象是否同时符合，若符合，则正确；若不符合，则错误．
归纳总结
例3 已知 y＝(1＋3k)x＋4－6k 是关于 x 的一次函数.
(1)若 y 随 x 的增大而减小，求k的取值范围;
(2)若函数图象经过原点，求一次函数的表达式;
解：∵函数图象经过原点，
∴4－6k＝0，解得 k＝ ，
∴1＋3k＝3，
∴一次函数的表达式为y＝3x；
解：∵y随x的增大而减小，
∴1＋3k＜0，解得k＜ ；
(3)若函数图象与y轴负半轴相交，已知图象上两点(－1， y1)，(2， y2)比较y1和 y2的大小.
解：∵函数图象与y轴的交点在负半轴上，
∴4－6k＜0，解得k＞ ，
∴1＋3k＞3，
∴y随x的增大而增大，
∵－1＜2，
∴y1＜y2.
例3 已知 y＝(1＋3k)x＋4－6k 是关于 x 的一次函数.
1. (2025新疆)在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x＋1 的图象是 ( )
D
A
B
C
x
y
O
1
1
D
x
y
O
1
1
x
y
O
1
1
x
y
O
1
1
2.(2024通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是(　　)
A
A.b1＋b2＞0 B.b1b2＞0
C.k1＋k2＜0 D.k1k2＜0
x
y
O
2
1
l1
l2
1
3.填空：
(1)已知一次函数y＝kx＋2(k＞0)图象上两点A(－2，y1)，B(3，y2)，则y1与y2的大小关系是 ________；
y1＜y2
(2)一次函数y＝4x－2中，y随x的增大而 _______(填“增大”或“减小”)；
(3)当k＞0时，一次函数y＝kx－k的图象不经过第______象限；
增大
二
(4)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点O在原点上，顶点B在x轴正半轴上，直线BC的解析式为 ，则该菱形的边长为_____.
5
x
y
O
B
C
A
4.已知直线l1：y1＝kx＋b与直线l2：y2＝－2x＋11平行，且经过点(0，－1)
(1)求直线l1的解析式；
解：(1)∵直线l1与直线l2平行，
∴k＝－2，
∴y1＝－2x＋b.
∵经过点(0，－1)，
∴把(0，－1)代入y1＝－2x＋b，得
b＝1，
∴直线l1的解析式为y1＝－2x－1；
(2)当－2≤x≤5时，求y1的最大值．
(2)直线l1的解析式为y1＝－2x－1，
∵k＝－2＜0，
∴y随x的增大而减小．
当x＝－2时，y1取得最大值，最大值为y1＝－2×(－2)－1＝3，
∴y1的最大值为3.
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移 个单位长度得到(当 b＞0时，向上平移；当 b＜0 时，向下平移)；一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
性质
法一：两点法；
法二：平移法.
当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随 x增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，y 随x增大而减小.
画法
一次函数的
图象和性质
图象
Thanks!
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