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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
23.3 一次函数与方程(组)、不等式
1.理解一次函数与方程(组)、不等式的关系.
2.掌握一次函数的图象求方程(组)的解和不等式的解集解法.
3.经历用函数的观点表示二元一次方程(组)，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合的思想.
观察下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1)2x－1＝3； (2)2x－1＝0； (3)2x－1＝－2．
①这三个方程都是一元一次方程，形式为2x－1＝k(k为常数).
②若设y＝2x－1，可以将其转化为一次函数.
解这三个方程，本质是分别求当y＝3，y＝0，y＝－2时，对应一次函数中自变量x的值.
y＝2x－1
1
1
2
3
4
2
x
y
3
1
2
3
4
4
2
1
O
观察下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1)2x－1＝3； (2)2x－1＝0； (3)2x－1＝－2．
y＝2x－1
1
1
2
3
4
2
x
y
3
1
2
3
4
4
2
1
O
用函数的观点看:解一元一次方程ax+b=k 就是求当函数(y=ax+b)值为k时对应的自变量的值.
思考1 如图，一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.
当自变量x的值为0.5时，函数值是多少 由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解吗
－0.5
O
x
0.5
y
－1
0.5
y＝2x－1
一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0. 这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.
由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解是x＝0.5.
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b＝0(a≠0)的形式，所以可以根据函数相关知识解一元一次方程ax+b＝0.
从函数值考虑，相当于在某个一次函数
y＝ax+b的函数值为0时，求自变量x的值！
从函数的图象考虑，相当于已知直线
y＝ax+b，求它与x轴的交点的横坐标！
－0.5
O
x
0.5
y
－1
0.5
y＝2x－1
思考2 如图，利用一次函数y＝2x－1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗 函数值小于0时呢 由此，你能分别得出一元一次不等式 2x－1>0与2x－1<0的解集吗
如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其坐标大于0.5，即函数值大于0时，x的取值范围是x>0.5；
－0.5
O
x
0.5
y
－1
0.5
y＝2x－1
当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.
由此得出不等式 2x－1>0的解集是x>0.5，2x－1<0的解集是x<0.5.
－0.5
O
x
0.5
y
－1
0.5
y＝2x－1
思考2 如图，利用一次函数y＝2x－1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗 函数值小于0时呢 由此，你能分别得出一元一次不等式 2x－1>0与2x－1<0的解集吗
对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，也可以根据函数相关知识.
从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围！
从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围！
一次函数与二元一次方程的关系
二元一次方程y＝kx＋b
一次函数y＝kx＋b
直线y＝kx＋b
用函数角度看
用方程角度看
点的坐标是方程的解
方程的解对应点的坐标
点的坐标满足
函数解析式
满足函数解析式的数对
对应点的坐标
二元一次方程kx－y＋b＝0
转 化
(x，y)
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解；以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.
方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y＝2x－1与 ，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.
因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
思考3 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗
2x－y＝1，
3x+5y＝8，
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝2x－1与 的图象.
这两条直线的交点坐标为(1，1)，由此得出方程组
2x－y＝1，
3x+5y＝8
的解是
x＝1，
y＝1.
思考3 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗
2x－y＝1，
3x+5y＝8，
例 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升，两个气球都上升了 1 min.
(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位:m)关于上升时间x(单位:s)的函数解析式；
解:(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x+15.
(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度 如果能，这时气球上升了多长时间 位于什么高度
两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y＝x+5和y＝0.5x+15有相同的值y.由此可以列二元一次方程组
y＝2x + 5，
y＝0.5x + 15.
解这个方程组，得
x＝20，
y＝25.
这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.
你会用图象的方法解决这个问题吗？
(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度 如果能，这时气球上升了多长时间 位于什么高度
在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x+5和y＝0.5x+15的图象如图所示：
这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25 m.
O
x/s
y/m
10
15
y＝2x+5
25
20
P(20，25)
20
5
y＝0.5x+15
一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值;
从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
1.观察下列图象，可以得出关于x的不等式组 的解集是( )
A．x < 2
B．x > 2
C．2 < x < 4
D．0 < x < 4
D
k1x > 0
k2x+b > 0
2.(2024扬州)如图，已知一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为_________.
x＝－2
3.如图，一次函数y＝x+1与y＝ax+3的图象交于点P(1，2)，则关于x，y的方程组 的解是_________.
y － x＝1
y － ax＝3
x＝1
y＝2
4.如图，正比例函数y＝3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P(m，3)，一次函数的图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数y＝kx+b的表达式；
解：∵正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P(m，3)，
∴－3m＝3，m＝－1.
∴P(－1，3).
把(1，1)和(－1，3)代入y＝kx+b，得
解得 .
∴一次函数解析式是y＝－x+2；
x+b＝1，
－x+b＝3.
b＝2，
k＝－1
(2)求△COP的面积；
由(1)知一次函数解析式是y＝－x+2，
令y＝0，得－x+2＝0，解得x＝2，
∴点C(2，0)，
∴OC＝2，
∵P(－1，3)，
∴△COP的面积为
(3)不解关于x，y的方程组 ，直接写出该方程组的解.
由图象可知，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P(－1，3)，
∴方程组的解为 .
y + 3x＝0
y － kx － b＝0
x＝－1
y＝3
类别 从 “数” 的角度 从 “形” 的角度
一次函数与 一元一次方程 求kx+b＝0(k，b是 常数，a≠0)的解 当x为何值时， y＝kx+b的值为0 求直线y＝kx+b与
x轴交点的横坐标
一次函数与 一元一次不等式 求kx+b>0(或<0) (k，b是常数，k≠0) 的解集 函数y＝kx+b的值大于0(或小于0)时自变量x的取值范围 直线y＝kx+b在x轴
上方或下方时自变
量x的取值范围
一次函数与 二元一次方程 方程kx－y+b＝0的解 满足函数y＝kx+b的自变量x与函数值y的取值数对 直线y＝kx+b上
的点
一次函数与方程(组)、不等式的关系
Thanks!
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