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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
23.4 实际问题与一次函数
第1课时 一次函数的实际应用
主题情境·“节”尽所“能”
1. 能解决一次函数简单的实际问题.
2. 了解分段函数的表示及其图象的意义，并能解决相关问题.
省点电
合理设定空调温度，夏季不低于26℃，冬季不高于20℃.
人走灯关，及时关闭电器电源.
省点水
用淘米水洗菜，再用清水清洗.
淋浴时，收集预热的凉水，用于清洗衣物.
6月23日－29日是全国节能宣传周，在资源保护与可持续发展的时代命题下，阶梯收费机制正以独特的 “经济杠杆” 力量，让节约用电、节约用水从抽象的环保理念变为具体的生活选择.节约水电，贵在自觉，重在坚持.为此，我们倡议：
问题1 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系式.
e 起节电
(1)根据图象，判断并填写阶梯电价方案的三个档次.
档次 第一档 第二档 第三档
每月用电量x(度) 0≤x＜140
140≤x＜230
x≥230
(2)小明家某月用电120度，需交电费多少元？
解：用电120度，符合第一档范围0≤x＜140，
设解析式为y=kx，将(140，63)代入得
∴y=0.45x(0≤x＜140).
当x=120，y=0.45×120=54，
因此，小明家某月用电120度，需交电费54元.
(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系.
解：设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为y=ax+c，
将(140，63)，(230，108)代入得
∴第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为
y=0.5x－7(140≤x＜230).
(4)在每月用电量超过230度时，每月用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值.
解：根据图象可得出：用电230度，需要付费108元，
用电140度，需要付费63元，故，
108－63=45(元)，230－140=90(度)，45÷90=0.5(元/度)，
则第二档电费为0.5元/度；
∵小刚家某月用电290度，交电费153元，
290－230=60(度)，153－108=45(元)，45÷60=0.75(元/度)，
m=0.75－0.5=0.25．
答：m的值为0.25．
归纳总结
解决分段计费问题的一般步骤：
1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则；
2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式；
3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式；
4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，若未给出明确区间，可能需要分段讨论.
问题2 为鼓励市民节约用水，增强节水意识，某市决定对居民用水实行“阶梯收费”办法：每月的用水量为x m3，每月缴纳的水费为y元. 已知:
①每月用水量不超过10m3，水价为2.2元/m3；
②每月用水量超过10m3不超过15m3，水费(y+3)元与用水量x m3成正比例，当x=12时，y=27；
③每月用水量超过15m3时，水费y元与用水量x m3成一次函数，部分对应值如下表：
节约用水
x/m3 16 18
y/元 39.5 49.5
(1)某用户3月份用水量为8m3，该用户应缴纳水费多少元？
解：由题意得y=2.2×8=17.6，
所以用户3月份用水量为8m3，应缴纳水费17.6元.
①已知每月用水量不超过10m3，水价为2.2元/m3；
②每月用水量超过10m3不超过15m3，水费(y+3)元与用水量x m3成正比例，当x=12时，y=27；
③每月用水量超过15m3时，水费y元与用水量x m3成一次函数：
当x=16时，y=39.5，当x=18时，y=49.5.
①已知每月用水量不超过10m3，水价为2.2元/m3；
(2)求每月缴纳的水费y与用水量x之间的函数解析式，并画出函数图象？
解：当0≤x≤10时，由题意得y=2.2x.
当10＜x≤15时，设y+3=kx(k≠0)，
当x=12时，y=27，
①已知每月用水量不超过10m3，水价为2.2元/m3；
②每月用水量超过10m3不超过15m3，水费(y+3)元与用水量x m3成正比例，当x=12时，y=27；
③每月用水量超过15m3时，水费y元与用水量x m3成一次函数：
当x=16时，y=39.5，当x=18时，y=49.5.
27+3=12k，解得k=2.5，
∴当10＜x≤15时，y=2.5x－3.
③每月用水量超过15m3时，水费y元与用水量x m3成一次函数：
当x=16时，y=39.5，当x=18时，y=49.5.
当x＞15时，设y=mx+n(m≠0)，
将表格数据代入得
∴当x＞15时，y=5x－40.5.
函数解析式也可以
合起来表示为:
y=5x－40.5
y=2.5x－3
y=2.2x
该函数图象如右图所示.
(3)如果某用户某月的用水量为15m3，求这个月的水费.
解：当某用户某月的用水量为15m3时，
这个月水费y=2.5×15－3=34.5(元).
(4)如果某用户预算某月的水费在30≤y≤40元之间，求该用户用水量的范围？
解：当x=10时，y=2.2×10=22.
∵22＜30，
∴水费在30≤y≤40元之间时可能有两种情形：
①当10＜x≤15时，
又∵30≤2.5x－3≤40，
∴13.2≤x≤17.2，
又∵10＜x≤15，
∴13.2≤x≤15.
②当x＞15时，
∵30≤5x－40.5≤40，
∴14.1≤x≤16.1，
又∵x＞15，
∴15＜x≤16.1.
综上，如果某用户预算某月的水费在30≤y≤40元之间，则13.2＜x≤16.1.
分段函数中，自变量在不同的取值范围内表达式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．
温馨提示
注意：要结合实际，确定自变量的取值范围，也要结合实际情况舍去不符合题意的解．
1.(2024哈尔滨)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，当x=9时，y的值为(　　)
A.36 B.38
C.40 D.42
B　
2.(跨物理学科)小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动侵入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力F拉力(N)与石块下降的高x(cm)之间的关系如图②.(提示:当石块位于水面上方时F拉力=F重力，当石块入水后，F拉力=G重力－F浮力).则下列说法正确的是(　　)
A. 当石块下降4cm时，石块在水里
B. 石块下降8cm时，石块所受的浮力是1.25N
C. 当6≤x≤10时，F(N)与x(cm)之间的函数关系式为
D. 当弹簧测力计的示数为3N，石块距离水底 cm
认真读题，距离水底的高度为16-x，不是x
D　
3.如图，折线A-B-C是某市区出租车所收费用y(元)与出租车行驶路程x(千米)之间的函数图象.若某人支付车费15.6元，则出租车行驶了________千米．
10
4.(2025长春)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活. 某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变. 已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作. 甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
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(1)甲机器人停工保养的时间为______分钟，m＝_______;
3800
(2)求AB所在直线对应的函数表达式;
解:由(1)得B(80，3800)，
设AB所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b(k≠0)，
代入A(60，2700)，B(80，3800)，
得 解得
∴y=55x－600.
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件，则乙机器人工作时间为________分钟.
110
(1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW·h充到70kW·h需_______h；
5.西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图象，其中折线ABC表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系；线段AD表示用普通充电器充电时y2与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题:
(2)求y2关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
解:设一次函数解析式为y2＝kx+b(k≠0)，
∵A(0，10)，E(2，70)，
∴将A(0，10)，E(2，70)代入y2＝kx+b(k≠0)中，
得 解得
∴y2关于x的函数解析式：y2=30x+10，
将点D纵坐标100代入y2=30x+10中得：x=3，
∴自变量x的取值范围：0≤x≤3，
∴y2=30x+10(0≤x≤3).
(3)该品牌汽车电池电量从10kW·h充到100kW·h，快速充电器比普通充电器少用_______h．
解:根据图象可得普通充电器从10kW·h充到100kW·h用时3h，
快速充电器从10kW·h充到100kW·h用时 h，
∴快速充电器比普通充电器少用：
解决分段计费问题的一般步骤：
1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则；
2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式；
3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式；
4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，可能需要分段讨论.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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