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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
23.4 实际问题与一次函数
第2课时 方案选择
1.会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题.
2.提升运用函数知识解决实际生活中方案选择问题的能力，感受数学与生活的紧密联系.
为满足居民游泳健身需求，某社区游泳馆现推出A、B、C三种年卡套餐.因不同居民每年游泳的次数有别，你能针对这一点，给出节省费用的套餐选择建议吗？
在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.怎样从多种方案中选择最佳方案呢？
下表给出了该游泳馆 A，B，C 三种年卡套餐的收费标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次 /
探究1
分析：在套餐A，B中，游泳费用与年游泳次数有关；在套餐C中，游泳费用与年游泳次数无关.
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
设年游泳x次，则套餐A，B，C的费用y1，y2，y3都是x的函数.要比较y1和y2，需在x≥0的条件下，考虑何时(1)y1＝y2，(2)y1＜y2，(3) y1＞y2.在此基础上，再用其中省钱的套餐与套餐C进行比较，则容易对年卡套餐作出选择.
在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20 次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次 /
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次 /
解：设年游泳x次，则套餐A，B，C的费用分别为y1，y2，y3，由题意得
y1＝
600，0≤x≤20，
600+40(x－20)，x＞20.
化简，得
y1＝
600，0≤x≤20，
40x－200，x＞20.
y1的图象如图所示.
20
40
60
80
x/次
y/元
600
1200
1800
2400
O
100
y1
20
40
60
80
x/次
y/元
600
1200
1800
2400
O
100
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1200 50 40
C 1800 不限次 /
y2＝
1200，0≤x≤50，
1200+40(x－50)，x＞50.
化简，得
y2＝
1200，0≤x≤50，
40x－800，x＞50.
y2，y3的函数图象如图所示.
y1
y2
50
y3＝1800 (x＞0).
y3
联立，
求交点A坐标
联立，
求交点B坐标
20
40
60
80
x/次
y/元
600
1200
1800
2400
O
100
y1
y2
50
y3
费用最低
y值最小
函数图象最靠下
在自变量x相等的情况下：
y1＝
600，0≤x≤20，
40x－200，x＞20.
y2＝
1200，0≤x≤50，
40x－800，x＞50.
y3＝1800 (x＞0).
分析：
A
B
y1和y2在25＜t＜50内有交点，
联立 y1＝40x－200 与 y2＝1200，
可得 40x－200 ＝ 1200，解得 x ＝ 35 .
y1＝
600，0≤x≤20，
40x－200，x＞20.
y2＝
1200，0≤x≤50，
40x－800，x＞50.
可以看出，0≤x≤35时，套餐A费用最低.
y3＝1800 ，x＞0
20
40
60
80
x/次
y/元
600
1200
1800
2400
O
100
y1
y2
50
y3
A
B
35
y1＝
600，0≤x≤20，
40x－200，x＞20.
y2＝
1200，0≤x≤50，
40x－800，x＞50.
y2和y3在x＞50内有交点，
同理可得 40x－800 ＝ 1800，解得 x ＝ 65 .
可以看出，35＜x≤65时，套餐B费用最低；x＞65时，套餐C费用最低.
y3＝1800 ，x＞0
20
40
60
80
x/次
y/元
600
1200
1800
2400
O
100
y1
y2
50
y3
A
B
35
65
综上所述：
当年游泳次数x满足 时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数x满足 时，选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数x满足 时，选择套餐C能节省游泳费用.
20
40
60
80
x/次
y/元
600
1200
1800
2400
O
100
y1
y2
50
y3
A
B
35
65
0≤x≤35
35＜x≤65
x＞65
y1＝
600，0≤x≤20，
40x－200，x＞20.
y2＝
1200，0≤x≤50，
40x－800，x＞50.
y3＝1800 ，x＞0
思考：如果游泳次数为40次，套餐A和套餐B相差多少钱？
当 x ＝ 40时，y1＝40×40－200＝1400，y2＝1200，
套餐A和套餐B相差 1400－1200 ＝ 200元 .
用一次函数做方案选择的一般步骤：
归纳总结
1.析：分析题意，弄清数量关系；
2.列：列出函数解析式；
3.求：根据函数图象求出不同取值时各函数的最小（最大）值；
4.选：结合实际需要选择最佳方案.
1.如图，某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，若B方案更优惠，则通话时间x的取值范围是_________________.
0
120
50
x/分
y/元
30
200
70
250
170
B方案
A方案
x＞170
2.某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．a＝400
B．原票价为400元/人
C．方案二中y关于x的函数解析式为y＝240x
D．若方案一比方案二更优惠，则x＞6
D
3.(2023丽水)我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
解：观察图象得方案一与方案二相交于点(30，1200)，
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数解析式；
设方案二的函数解析式为y＝kx+b，
将点(0，600)、点(30，1200)分别代入y＝kx+b，
即方案二y关于x的函数解析式为y＝20x+600.
300k+b＝1200，
b＝600，
k＝20，
b＝600，
解得：
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
由两方案的图象交点(30，1200)可知：
若生产件数x的取值范围为0≤x＜30，则选择方案二，
若生产件数x＝30，则选择两个方案都可以，
若生产件数x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
4.随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如表：
A超市 B超市
优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
(1)当购物金额为90元时，选择______超市填“A”或“B”更省钱；
当购物金额为120元时，选择______超市(填“A”或“B”)更省钱；
A
B
4.随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如表：
A超市 B超市
优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
(2)当购物金额为x(0≤x＜200)元时，请分别写出它们的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
(2)当0≤x＜200时，在A超市购物实付金额yA＝0.75x；
在B超市购物实付金额yB＝
当x＝0时，yA＝yB＝0；
当0＜x＜100时，yA＜yB；
当100≤x＜200时：
若yA＜yB，0.75x＜x－40，解得x＞160；
x (0≤x＜100)，
x－40 (100≤x＜200).
A超市 B超市
优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
若yA＝yB，0.75x＝x－40，解得x＝160；
若yA＞yB，0.75x＞x－40，解得x＜160．
综上，当0＜x＜100或160＜x＜200时，在A超市购物更省钱；
当x＝0或x＝160时，在A超市购物和B超市购物实付金额一样多，任选一家即可；
当100≤x＜160时，在B超市购物更省钱．
4.随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如表：
A超市 B超市
优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
(3)对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为25%（注：优惠率＝ ×100%）．若在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．举例说明如下：
当在B超市购物金额为100元时，返40元，实付金额为
100－40＝60(元)，优惠率为 ；
当在B超市购物金额为160元时，返40元，实付金额为
160－40＝120(元)，优惠率为 ；
∴在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
方案选择
用一次函数做方案选择的一般步骤:
1.析：分析题意，弄清数量关系；
2.列：列出函数解析式、不等式或方程；
3.求：根据函数图象求出不同取值时各函数的值；
4.选：结合实际需要选择最佳方案.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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