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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十三章　一次函数
23.4 实际问题与一次函数
第3课时 最优方案
1.根据实际问题建立一次函数模型，通过比较分析选择最优方案.
2.从复杂的实际问题情境中，准确分析出多个变量之间的关系，建立合适的一次函数模型.
在日常生活中，手机已经成为必不可少的通讯工具，而选择合适的话费套餐能帮我们节省不少开支. 某移动公司现推出了两种话费套餐，如下表所示：
套餐类型 月租费(元/月) 通话费(元/分钟)
套餐A 30 0.2
套餐B 0 0.4
若每月通话约为120分钟，哪种套餐更省钱？若通话时长为300分钟呢？
(1)通话时长为多少时，两种套餐费用相同？
解：设上网时间为x分钟，套餐A的每月总费用为 yA元，套餐B的每月总费用为yB元，根据两种套餐的收费标准，从而可知：
套餐A： yA＝0.2x＋30；
套餐B：yB＝0.4x .
当 yA＝yB时，两种套餐的费用相同，即0.2x＋30＝0.4x， 解得x＝150.
所以通话时长为150分钟时，两种套餐的费用相同.
套餐类型 月租费(元/月) 通话费(元/分钟)
套餐A 30 0.2
套餐B 0 0.4
(2)若每月通话约为120分钟，哪种套餐更省钱？若通话时长为300分钟呢？
当 yA ＜ yB时，意味着套餐A更划算，即
30＋0.2x ＜ 0.4x， 解得：x ＞150；
当 yA ＞ yB时，意味着套餐B更划算，即
30＋0.2x ＞ 0.4x， 解得：x ＜150.
因为120＜150，所以当每月通话约为120分钟时，套餐B更划算；
300＞150，当每月通话约为300分钟时，套餐A更划算.
如何用函数图象直观体现出来呢？
综上所述，当x＞150时，套餐A更划算；当x＜150时，套餐B更划算.
yA＝30＋0.2x
yB＝0.4x
50
100
150
200
x/分钟
y/元
20
40
60
80
O
当x＜150时，yB图象位于yA图象的下方，此时套餐B 更划算；
当x＞150时，yA图象位于yB图象的下方，此时套餐A更划算.
当yA＝yB时，两种套餐的费用相同.
此时30＋0.2x＝0.4x，解得x＝150.
则两函数图象在x＝150处相交.
探究 某学校计划在总费用不超过 2300 元的情况下，租用客车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆客车上至少有 1 名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：
客车种类 载客量/人 租金 /元
甲 45 400
乙 30 280
(1)共需租多少辆汽车？
(2)给出最节省费用的租车方案．
条件1：总费用不超过2300元；
条件2：234名学生和6名教师，每辆客车上至少有1名教师.
客车种类 载客量/人 租金 /元
甲 45 400
乙 30 280
分析：可以从乘车人数的角度考虑租多少辆客车，要注意到以下要求：
①要保证240名师生乘车都有座位；
②要使每辆客车上至少有1名教师．
根据①可知，客车总数不能小于___；根据②可知，客车总数不能大于___.
综合起来可知客车总数为_____.
6
6
6
(1)共需租多少辆汽车？
解：①(234+6)÷45＝5…15，
若全部租甲种客车，则共需要6辆车.
(234+6)÷30＝8，
若全部租乙种客车，则共需要8辆车.
所以为保证240名师生都有座位，所需车辆应在6-8辆，所以客车总数不能小于6.
因为有6名教师，且要求每辆客车上至少有1名教师，那么车辆数不能少于教师的人数，即至少需要6辆车，这样才能保证每辆车都有至少1名教师.
综合载人需求和教师分配需求，所以共需租6辆汽车.
条件1：总费用不超过2300元；
条件2：共有240名师生；
条件3：共需租多少辆汽车.
客车种类 载客量/人 租金 /元
甲 45 400
乙 30 280
分析：租车费用与所租车的种类与数量有关，要注意到以下要求：
①要保证240名师生乘车都有座位；
②总费用不超过2300元．
因为甲种客车租金高，当客车总数确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲客车可以节省费用.
(2) 给出最节省费用的租车方案.
客车种类 载客量/人 租金 /元
甲 45 400
乙 30 280
解：设租车的费用为y元，租甲种客车x辆，则租用乙种客车(6－x)辆，由已知可得y＝400x+280(6－x)＝120x+1680，则x的取值范围为
45x＋30(6－x)≥240；
120x+1680≤2300.
解得4≤x≤ ，
∵x为整数，
∴x＝4 或 x＝5.
条件1：总费用不超过2300元；
条件2：共有240名师生；
条件3：共需租多少辆汽车.
(2) 给出最节省费用的租车方案.
在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？
客车种类 载客量/人 租金 /元
甲 45 400
乙 30 280
条件1：总费用不超过2300元；
条件2：共有240名师生；
条件3：共需租多少辆汽车.
(2) 给出最节省费用的租车方案.
方案一：租甲种客车4辆，乙种客车2辆；
方案二：租甲种客车5辆，乙种客车1辆.
方法一：直接判定
方案一的租车费用为
400×4+280×2＝2160元，
方案二的租车费用为
400×5+280×1＝2280元.
因为2160＜2280，
所以选择方案二所需费用最低，
最低费用为2160元.
方法二：代入比较
因为甲车费用400元/辆，
乙车费用280元/辆，
应尽可能地少租用甲，
故甲种车4辆，乙种车2辆时最省钱，
此时租车费用为400×4+280×2＝2160元.
客车种类 载客量/人 租金 /元
甲 45 400
乙 30 280
条件1：总费用不超过2300元；
条件2：共有240名师生；
条件3：共需租多少辆汽车.
(2) 给出最节省费用的租车方案.
方法三：利用一次函数的性质判断
已知租车的费用y(元)与甲种客车数量x(辆)的函数关系为
y＝120x+1680
因为k＝120＞0，所以y随着x的增大而增大，当x最小时，y也最小，
所以当x＝4时，y＝120×4+1680＝2160.
故甲种车4辆，乙种车2辆时最省钱，此时租车费用为2160元.
(4≤x≤ )
归纳总结
解决多个变量的问题：
(1)首先分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.
(2)然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
用一次函数选择最佳方案的一般步骤
1.析：分析题意，弄清数量关系；
2.列：列出函数解析式；
3.求：根据函数图象求出不同取值时各函数的最小(最大)值；
4.选：结合实际需要选择最佳方案.
归纳总结
1.甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、(单位：元)与商品原价(单位：元)之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择( )
A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.不确定
B
2.某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程x(km)计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1(元)，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2(元)，若y1、y2与x之间的函数关系如图，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是( )
D
A.当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B.当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C.除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
D.甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少
3.(2025深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类. 已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元.
根据条件①②，由题意得
解得
所以篮球的单价为60元，足球的单价为50元.
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
x＝60，
y＝50.
x＋y＋30＝140，
2y－x＝40.
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
解：(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10－m).
根据题意得 10－m ≤ 2m，
解得：m≥ ，又∵m≤ 10，∴ ≤ m≤ 10.
设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，
根据题意得 w＝60m＋50(10－m)＝10m+500，
∵10＞0，∴ w随着m的增大而增大，
∵ ≤ m≤ 10，且m为正整数，∴当m＝4时，w最小，最小值为540.
所以购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元.
4.(跨历史学科)中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
(1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
(2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设大号中国结编了x个，小号中国结编了y个，
根据题意得：4x＋3y＝25，
∴
∵x，y均是正整数，
∴当y＝3时，
所以大号中国结编了4个，小号中国结编了3个或者大号中国结编了1个，小号中国结编了7个.
当y＝7时，
解：(2)设大号中国结编了m个，小号中国结编了(350－m)个，
则4m＋3(350－m)≤1200，
解得m≤150.
∵m为正整数，
∴0＜m≤150.
设总利润为w元，则 w＝12m＋8(350－m)＝4m＋2800，
∵4＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝150时，w取得最大值，最大值为4×150＋2800＝3400，
所以当大号中国结编织150个时利润最大，最大利润是3400元.
(1)首先分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量；(2)然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
最优方案
选择最佳方案
的一般步骤
离差
解决多个变
量的问题
1.析：分析题意，弄清数量关系；
2.列：列出函数解析式、不等式或方程；
3.求：根据函数图象求出不同取值时各函数的值；
4.选：结合实际需要选择最佳方案.
Thanks!
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