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2026新浙教版八年级数学下册第四章单元测试卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．遵守交通，人人有责，下列四个图形是生活中常见的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，于点E，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”时，应先假设 （ ）
A．三角形中至多有一个内角不小于
B．三角形中三个内角都小于
C．三角形中至少有一个内角小于
D．三角形中三个内角都大于
4．一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图所示，是的中位线，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
9．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，等边三角形中，，D、E是边上的两点，，P是线段上一动点，过点P分别作的平行线交于点M、N，连接、，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段扫过的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为 ．
13．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
14．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ．
15．如图，在中，，M，N分别是的中点，延长至点D，使，连接，若，，则 ．
16．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，它的两条对角线交于点，以AB、为邻边作平行四边形,平行四边形的对角线交于点，同样以AB、为邻边作平行四边形,……，依次类推，则平行四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
18．（6分）如图，在中，已知，平分，E为的中点．
(1)求的长；
(2)求证：．
19．（8分）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数；
(2)如图，分别平分，，，求的值．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的．
21．（10分）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点．
(1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形；
(2)在（1）添加的条件下，写出证明过程．
22．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上．
(1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）；
(2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）．
23．（12分）（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)试猜想与的数量关系并给予证明．
24．（12分）（25-26九年级上·广东湛江·期末）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上．如图2．将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点交轴于点．
(1)当旋转角__________时，；
(2)若点，求的长；
(3)如图3，若正方形的边长为5，对角线交y轴于点，交直线于点，若，求的面积．（用含的代数式表示）
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．遵守交通，人人有责，下列四个图形是生活中常见的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．如图，在中，于点E，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”时，应先假设 （ ）
A．三角形中至多有一个内角不小于
B．三角形中三个内角都小于
C．三角形中至少有一个内角小于
D．三角形中三个内角都大于
【答案】B
【分析】本题考查反证法，掌握相关知识是解决问题的关键．反证法需假设原命题的结论不成立，据此解答即可．
【详解】解：∵原命题为“三角形中至少有一个内角不小于”，
∴应假设为“三角形中三个内角都小于”．
故选：B．
4．一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为，
又∵该多边形为七边形，即，
∴代入得．
故选：C．
5．如图所示，是的中位线，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．根据三角形的中位线定理，可得，即可求解．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴
故选：D．
6．如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题的关键，连接、、，由于图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，所以点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点，再根据，，，可得，，即可得到．
【详解】解：连接、、，如下图所示：
∵图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，且点B，点C，点D都是对应点，
∴点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点，
作该正八边形的外接圆，则点B，点C，点D都在上，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
7．如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可．
【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意；
故选D．
8．如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
【答案】D
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可．
【详解】解: ∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵的平分线交边于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．
9．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定．根据题意，得出四边形是平行四边形，再结合平行四边形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：由题知，因为，，，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以该图形的面积为：．
故选：C．
10．如图，等边三角形中，，D、E是边上的两点，，P是线段上一动点，过点P分别作的平行线交于点M、N，连接、，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段扫过的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理．过点A作，垂足为H，先证明四边形是平行四边形，在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是的中点，且到边的距离始终等于，点G的运动轨迹是的中位线，据此求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为H，
∵等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是的中点，且到边的距离始终等于，
∴点G的运动轨迹是的中位线，
∴点G的运动距离，
∴线段扫过的区域是底为2，高为的一个三角形，
∴线段扫过的区域面积．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ．
【答案】2
【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵平移，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
∴，即平移距离为2；
故答案为：2
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得，根据点得，由旋转的性质得，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5，由此即可得出点的坐标．
【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为5，
∴，
∵点，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5，
∴点的坐标为．
故答案为：．
13．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】2或4
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm，
则CF=BC-BF=（8-3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=8-3t，
解得：t=2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm，
则CF=BF-BC=（3t-8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=3t-8，
解得：t=4；
综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ．
【答案】/340度
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案．
【详解】解：由条件可知，
∵，
∴；
故答案为：．
15．如图，在中，，M，N分别是的中点，延长至点D，使，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可．
【详解】解：连接，如图，
，，，
．
、分别是、的中点，
，，
又，
∴，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，是的中点，
，
．
故答案为：．
16．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，它的两条对角线交于点，以AB、为邻边作平行四边形,平行四边形的对角线交于点，同样以AB、为邻边作平行四边形,……，依次类推，则平行四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到,而，得到，同理易知，以此类推，可以得到结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴，
又∵，
∴，
同理可得
，
，
，
以此类推有：，
而=10
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答．
（2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又分别是和的平分线，
，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形．
，
的周长．
，
的周长为16．
18．（6分）如图，在中，已知，平分，E为的中点．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解；
（2）根据中位线的性质即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴是边上的中线，
∴点D是的中点，
又∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）证明：由（1）可得，是的中位线，
∴．
19．（8分）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数；
(2)如图，分别平分，，，求的值．
【答案】(1)5
(2)120度
【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键：
（1）根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，，
解得，
这个多边形的边数为5．
（2）解：四边形的内角和为，
，
，
又分别平分，，
∴，
，
．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律．
（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点；
（2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点．
【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为，
关于原点对称的点，
关于原点对称的点，
关于原点对称的点．
顺次连接，得到，即为所求（见下图）．
（2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为，
旋转后的对应点，
旋转后的对应点，
旋转后的对应点．
顺次连接，得到，即为所求（见上图）．
21．（10分）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点．
(1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形；
(2)在（1）添加的条件下，写出证明过程．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．
（1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可．
（2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）
（2）证明∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
22．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上．
(1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）；
(2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可；
（2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求．
（2）连接交于点，作直线，直线即为所求．
23．（12分）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)试猜想与的数量关系并给予证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)，证明见解析．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题．
（1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出；
（3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证．
【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
又∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵是的中点，
∴，
∴；
（3）解：猜想，证明如下：
由（1），，
∴，，
∴．
∵与同高，
∴，
同理可得：．
又，，
∴．
24．（12分）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上．如图2．将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点交轴于点．
(1)当旋转角__________时，；
(2)若点，求的长；
(3)如图3，若正方形的边长为5，对角线交y轴于点，交直线于点，若，求的面积．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)的长为
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积计算，解题的关键是灵活运用几何图形的性质，通过全等转化、勾股定理列方程或构造特殊三角形求解。
（1）利用正方形性质及定理证明，结合直线平分第一象限直角的特点，推出，从而求得旋转角；
（2）过点、作坐标轴垂线，由旋转性质得，求出，再利用勾股定理列方程组求解的长度；（3）根据正方形对角线性质得出，构造等腰直角三角形，求出高，再代入三角形面积公式计算。
【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形，
∴ ，，，
∵ ，，
∴ ，
∴ ．
∵ 直线平分第一象限内的直角，
∴ ．
∵ ，
即，
∴ ．
故答案为：．
（2）解：过点A作x轴的垂线，垂足为点G；过点C作y轴的垂线，垂足为H。
由旋转性质可知，，
∵ 点，
∴ ，，
即 ，．
在与中，由勾股定理得，
，即，
解得：.
答：的长为．
（3）解：过作于，
∵ 为正方形的对角线，
∴ ．又，
∴ 为等腰直角三角形，．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
即．

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