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21.2.3《三角形的中位线》
一、单选题
1．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大
C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关
2．如图所示，任意四边形，点，，，分别为、、、的中点，若四边形的面积为，那么四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ABC中，，点在上，将 ABC分割成两个等腰三角形和，和分别是和的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，是边上的中线．求证：．

方法1：如图1，延长至点E，使，连接．
方法2：如图2，取边的中点E，连接．
下列说法正确的是（ ）
A．只有方法1可以证明该定理，运用了平行四边形的对角线互相平分
B．只有方法2可以证明该定理
C．方法2不可以证明该定理
D．方法1、方法2都可以证明该定理
5．数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形． 乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．
A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是
二、填空题
6．如图，在菱形中，，对角线的长为16．
（Ⅰ）对角线的长为______；
（Ⅱ）E是的中点，F是上一点．若，则线段的长为______．
7．如图，在四边形中，分别是的中点．
（1）若，则__________；
（2）若，则的度数为__________．
8．如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第个图形中有_________个平行四边形．
9．如图，点为定点，定直线是直线上一动点，点分别为的中点，对下列各值：①线段的长； ②的周长； ③的大小； ④四边形的面积； ⑤直线之间的距离，其中不会随点的移动而变化的是____________．（用序号填入）

10．如图，在 ABC中，于点H，点D，E，F分别是的中点，且点D与点H不重合，则下列结论正确的为________．
①图中有4个平行四边形；
②与全等；
③；
④当时，四边形的面积为．
三、解答题
11．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°．
(1)求∠C的度数；
(2)求四边形ADEF的周长．
12．如图，在四边形中，，分别是的中点，连接，且．
(1)求的度数；
(2)若，比长1，求的长．
13．（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出 ABC和的面积关系．
（2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹．
（3）如图3，在 ABC中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：．
14．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
【任务】
(1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论；
(2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数．
15．已知： ABC和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接．
【特例感知】
（1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形；
【类比探究】
（2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，当时．
①判断的形状，并说明理由；
②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值．
参考答案
一、单选题
1．B
解：连接，如图，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点R在上从点B向点C移动，
∴先变小再变大，
∴线段的长先变小再变大．
故选：B．
2．A
解：如图，连接，过点作于，交于，
点，分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
点为的中点，，
∴AN=AM，
，
同理可得：，，
，
故选：A．
3．A
解：∵，是等腰三角形，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴
∵和分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故选：A．
4．D
解：方法1：
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
方法2：∵，为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
故方法1，方法2均可证明；
故选D．
5．解：甲中，如图，连接，

∵矩形，
∴，
∴、、、、分别是、、、的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
乙中，由折叠可知，，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
故选：A．
二、填空题
6． 8
解：（Ⅰ）设与交于点O，
在菱形中，，对角线的长为16，
∵AC BD,OA=AC=8，
，
，
故答案为：8；
（Ⅱ）取中点M，连接，
是的中点，
是的中位线，
∵EM∥DO,EM=OD=2，
∴∠COD=∠CME=90 ，
在菱形中，，E是的中点，
∴CD=AB=4，
∴CE=AB=2，
，
，
∴FM=16-3-4=9，
在中，
∴EF===，
故答案为：．
7．
解：（1）∵分别是的中点，
∴，
∵，
∴；
故答案为∶3
（2）∵分别是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
8．
解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数，
图①中平行四边形的个数为0=3×（1-1）；
图②中平行四边形的个数为3=3×（2-1）；
图③中平行四边形的个数为6=3×（3-1）；
…
可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是3与n-1的乘积．
按照这个规律，第n个图形中共有平行四边形的个数为3n-3．
故答案为；3n-3．
9．①④⑤
解：点，为定点，点，分别为，的中点，
是的中位线，
，即线段的长度不变，故①符合题意；
、的长度随点的移动而变化，
的周长会随点的移动而变化，故②不符合题意；
的大小点的移动而变化，故③不符合题意
的长度不变，点到的距离不变，
的面积不变，
的长度是的长度一半，点到的距离是点到的距离的一半，
的面积是的面积的一半，；
的面积不变，即四边形面积不变，故④符合题意；
直线，之间的距离不随点的移动而变化，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
10．②③④
解：①∵点D，E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
同理得：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
即图中有3个平行四边形；
故①不正确；
②∵，
∴，
∵点D，E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
同理得：，
∵，
∴，
故②正确；
（2）∵点D，E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
④∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
故④正确；
本题正确的结论有：②③④
故答案为：②③④．
三、解答题
11．（1）解：∵D，F分别是边AB，AC的中点，
∴DF//BC，
∵∠ADF＝53°，
∴∠B＝∠ADF＝53°，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝180°－90°－53°＝37°．
（2）解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE//AC，，EF//AB，，AF=AC，AD=AB，
∵，，
∴AF＝DE＝2，，
∴四边形ADEF的周长．
12．（1）解：∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
在中，，
，
，
解得，
由（1）知是的中位线，
．
13．（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离
（2）如图（作法不唯一）
（3）如图，取的中点，连接，，
∵N是的中点，是的中点
∴
14．（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
∵H,G分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（2）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
15．解：（1）∵，，
∴，即，
∵的中点分别为，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰
（2）的形状不改变，理由如下：
如图，连接，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴ ACD≌ BCE ，
∴，
∵的中点分别为，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）①是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接，，延长，交于，交于，交于，
由（2）知 ACD≌ BCE，，
∴，
∵，
∴，
∵的中点分别为，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，连接，
∵，，，，，
∴，，
解得：（负值舍去），（负值舍去），
∴，即，
∴的最小值为，最大值为，
∵，
∴的最小值为，最大值为，
∴面积的最大值为，最小值为．

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