资源简介

21.3.1《矩形》小节习题
一、单选题
1．下列条件中，能够判定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ABC中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．证明：矩形的对角线相等．
已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．

证明：四边形是矩形，，______．
又，，．
则“______”在处应该补充的证明过程是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，为边上一动点．过点P分别作于点于点为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．4.8 B．4 C．3 D．2.4
二、填空题
6．如图，四边形各角的平分线分别相交于点．若，则四边形是________形．
7．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．
9．如图，在 ABC中，于点于点为的中点，，则的周长为____________．

10．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________．
三、解答题
11．如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：．
12．如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．
(1)你添加的条件是________（填序号）．
(2)添加条件后，请证明为矩形．
13．如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）．
(1)请在图中画出线段的中点．
(2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形．
14．情景：
现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）．
发现：
如图2，________，________；
操作：
将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）．
探究：
通过计算确定矩形的周长．
15．问题探究
（1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决
如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由
参考答案
一、单选题
1．D
解：在平行四边形中，
当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误；
当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误；
当，这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故错误；
当，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确．
故选：．
2．C
解： E，F分别是，的中点，，
，
，，
，
．
3．D
解：如图所示：
∵是折痕，
，
，
，
又 ∵，
，
，
又 ∵，
．
4．C
证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
则在“______”处应该补充的证明过程是，
故选：C．
5．D
解：，
，
四边形为矩形．
为矩形对角线的中点，
延长应过点P，如图所示，
．
由勾股定理，得．
当为斜边上的高，即时，有最小值，则也有最小值．
此时，
，
的最小值是2.4．
故选：D．
二、填空题
6．矩
，
，
．
四边形各角的平分线分别相交于点，
，
，
，
，
∴四边形是矩形．
7．
解：根据题意，得，
设，则，
，
，
解得，
故．
8．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，
∴AB h=AB AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=6，AE=2+2=4，
∴BE==2，
即PA+PB的最小值为2．
故答案为：2．
9．
解：，，为的中点，
，
∵，
，
的周长．
故答案为：．
10．
解：过点作，交于点，如图：
∵四边形是矩形，，，
∴四边形、是矩形，
∴，
∵点 M是矩形的对角线上一点，，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．证明：在矩形中， ，，，
根据折叠，可得，，，，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（HL）．
12．（1）解：①或②（选一项即可）；
（2）选择①：证明：如图，过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
为矩形；
选择②：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
为矩形．
13．（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求．
14．解：发现：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴点A与点C，点D与点F，点E与点E是对应顶点，
∴，
；
故答案为：4；24
操作：如图所示
方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；
方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；
方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，
如图，方案一：过点A作于点M，交于点N，设交于点P，
∵，，
∴，
∴，
由发现得：四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
此时方案一：矩形的周长为；
同理方案二：矩形的周长为；
方案三：由操作方法得：，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
过点A作于点M，则，
∴矩形的周长．
综上所述，矩形的周长为或．
15．解：（1）如图①
（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．
（3） 如图③存在直线l
过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A
则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可．
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积
即直线 PH为所求直线l
设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4，2)，
∴2=4k+b 即b=2-4k
∴y=kx+2-4k
∵直线OD的表达式为y=2x
∴ ，解得
∴点H的坐标为（ ）
∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k）
∴0＜2-2k＜4
∴-1＜k＜1
∴S△DHF=
∴解之得．（舍去）
∴b=8-
∴直线l的表达式为y=．

展开更多......

收起↑