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21.3.2《菱形》小节习题
一、单选题
1.如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（ ）
A．12 B．24 C．30 D．48
二、填空题
6．已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可）
7．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____．
8．如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______．
9．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________．
10．如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线．
【第一次操作】
作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形．
【第二次操作】
作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形．
【第三次操作】
作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形．
……重复上述操作．
（1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为______；
（2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有______个不同的取值．
三、解答题
11．如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形．
12．如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长．
13．如图，在四边形中，为对角线，．
(1)用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若，点E是的中点．求证：四边形是菱形．
14．如图，为的对角线，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN分别交于点E、F、O，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，平行四边形的周长为12，，求菱形的面积．
15．在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：
第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形．
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
_____________，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
_____________，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（④_____________）．
16.将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）：
(1)当时，求的长；
(2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
17.如图，在中，，D，E是斜边上的两个动点（不与点A，B重合），过E作于点F，设，且，连结．
　　
(1)当时，
①求长；
②求 BDF的面积．
(2)是否存在点P，使得以D，E，F，P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．A
解：四边形是菱形，
，
，
是菱形的对角线，
，
∵AE CD，
，
，
，A选项正确；
若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，B选项错误；
若，则，即，题目中没有说明，无法推出，C选项错误；
若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，D选项错误；
故选：A．
2．B
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：B．
3．B
解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵矩形的对角线，相交于点，
∴，
∴
∴四边形是菱形，
∴，故A正确，
∴，，故C，D正确，
没有条件得出B选项．
故选：B．
4．A
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．B
解：根据题意可得，，
∴四边形 是菱形，
∴设 和 交于点O，
∴，，
∴
∴
∴四边形的面积．
故选：B．
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，为菱形，
此时．
∴增加的一个条件可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
7．
解：如图：
由题意得：，，
由折叠得：，
四边形是菱形，
．
8．
解：在菱形中，对角线、相交于点，
，
，
，
设，
∵ ，，
，
，
，
，
∴．
9．60
解：∵中，，
∴是菱形，，
∴平分，
延长至E，则，
∵平分，
∴，
∴，
连接交于点G，则，且平分，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴的高为，
∴，
故答案为60．
10． 2 4
解：（1）∵第一次操作后四边形为菱形，四边形为平行四边形，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
则x的最小正整数值为；
（2）根据题意：对进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果如图所示：
①，
则；
②，
则；
③，
则；
④，
则；
综上，x有个不同的取值．
三、解答题
11．证明：，，
四边形是平行四边形，
又菱形的对角线、相交于点，
，
，
四边形是矩形．
12．解：∵四边形是菱形，
，，，
，
，
，即，
解得．
13．（1）解：如图，点为所作；
（2）证明：，
，
，
，
．
∵∠CAD=∠ACB，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
∵点E是的中点，
．
，
，
∴四边形是菱形．
14．（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，，，．
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的周长为12，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
设平行四边形的边上的高为
∴，
∵，，
∴．
15．解：如图所示，就是所求作的图形；
证明：在菱形中，，，，
（两直线平行，内错角相等），
平分，平分，
，，
，
（内错角相等，两直线平行），
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且E、F均在上，
，
即，
四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
16.（1）解：在中
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，
∴，当时，，
∴．
（2）解：存在；理由：
依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且
即，
解得，
当时，，
∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形；
（3）解：不存在；理由：
若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
由（1）知，
∴不存在的值，使得与互相平分．
17.（1）解：①当时，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图1中，过点D作于F点．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：存在．当D在点E的左侧时，
∵，
∴当四边形是菱形时，只有一种情形如图2中，

此时，由（1）得，，
∴，
∴．
当点D在点E的右侧时，
∵，
∴分两种情形，
当四边形或四边形都是菱形时，如图3中，

均可得到是等边三角形，
∴，
此时，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的n的值为或．

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