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21.3.3《 正方形》小节习题
一、单选题
1．如图，在中，添加下列条件，不能使成为正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如下图，在的方格纸上，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
5．在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________．
7．如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________．
8．如图，在中，，点P在边上以的速度从点A出发在上往返运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（点P同时也停止运动），设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则t的值是________．

9．图（1）是一张矩形纸片，将其依次按图（2）、图（3）的方式折叠，AE与AD恰好重合．
（1）如图（3），折痕AM与EF交于点G，则∠AGD＝______．
（2）若DFG的面积为S，则矩形ABCD的面积为______．
10．如图，以 ABC的三边为边在上方分别作等边、、 BCF．且点A在 BCF内部．给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有__________（填上所有正确结论的序号）．
三、解答题
11．如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由．
12．如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，画出边的中点；
(2)在图2中，画出边的中点．
13．在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
14．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．

(1)若，
①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长；
(2)如图2，于点M，于点N，探究：
①当为何值时，四边形是正方形；
②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由．
15．实践探究：
（1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角．
知识应用：
（2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证．
拓展延伸
（3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积．
16.矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．

17.在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究．
【活动1】折叠矩形纸片：
第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处．
【活动2】折叠正方形纸片：
第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点．
(1)在活动1中，求证：；
(2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长．
18.小红在学习了图形的旋转后，用它来探究直角在正方形中的旋转问题．如图1，有和一个边长为a的正方形ABCD，点O是正方形的中心．
(1)如图2，当顶点P是正方形边上任意一点时，的两边分别与正方形的边BC，AD交于E，F两点，连接EF．若绕P点旋转，在旋转过程中EF长的最小值为______．
(2)如图3，当点P与正方形的中心O重合时，的两边分别与正方形的边BC和AB交于E，F两点，连接EF．若绕O点旋转，在旋转过程中．
①求EF长的最小值；
②四边形EOFB的面积是否会发生变化，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．B
解：A、中，若，则是矩形，再由，可得是正方形，故此选项不符合题意；
B、中，若，则是菱形，再由，可得是矩形，但不一定是正方形，故此选项符合题意
C、中，若，则是菱形，再由，可得是正方形，故此选项不符合题意；
D、中，若，则是矩形，再由，可得是正方形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．C
解：如图：
由正方形的性质可知，和分别为的正方形的对角线，
则，即，
由图可知，和分别为的正方形的对角线，
，
，
，
同理可得：，
，
，
．
3．B
解：连接，，如图，
在中，，
在中，，
根据折叠的性质可知，，
，
四边形是边长为9的正方形，，
，，，
，
解得．
故选：B．
4．A
解：四边形是矩形，
，
，，
四边形是正方形，四边形是矩形，
设，，则，
，，
，
，
，
．
故选：A．
5．A
①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形；
②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时，
此时不满足邻等对补四边形的定义；
③当等 直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时，
此时不满足邻等对补四边形的定义；
④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补．
综上，只有1个．
故选：A．
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：平行四边形中，，
四边形是矩形，
当时，
根据有一组邻边相等的矩形是正方形，
可知四边形是正方形．
故答案为：(答案不唯一)．
7．
解：由折叠的性质得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
连接，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
即，
故答案为：．
8．4或8或12．
解：设经过秒，四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
分为以下情况：①点P的运动路线是，方程为，
解得：；
②点P的运动路线是，方程为，
解得：；
③点P的运动路线是，方程为，
解得：；
④点的运动路线是，方程为，
解得：（舍去）；
或8或12．
故答案为：4或8或12．
9． 112.5° ()
解：（1）由题意可知四边形ABEF是正方形，
∴∠EAF=∠AEF=45°，
∴∠ADG=∠AEG=45°.
根据折叠的性质知AM平分∠DAE，
∴∠DAG=22.5°，
∴∠AGD=180°-∠DAG-∠ADG=112.5°；
故答案为：112.5°；
（2）由（1）知∠ADG=45°，∠DFG=90°，可知△DFG是等腰直角三角形，
设DF=FG=a，则S=a2，EG=DG=a，
∴a2=2S，AB=EF=(1+)a，
∴AD=AE= (1+)a=(+2)a，
∴= AB AD
=(1+)a (+2)a
=(3+4)a2
=2(3+4)S
=(6+8)S．
故答案为：(6+8)S．
10．①②③④
解析：①、 CBF是等边三角形，
，，，
，
，
∴EF=AC=AD，
同理由，得，
由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确；
②当时，
，
由①知四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故结论②正确；
③由①知，，四边形是平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，
四边形是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题
11．解：如图，连接，．
，分别为，的中点，
∴，．
同理可得，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，分别为，的中点，
∴，．
当四边形为矩形时，，
∴，
∴四边形是菱形．
当四边形为菱形时，，
∴，
∴四边形是矩形．
当四边形为正方形时，，，
∴，，
∴四边形是正方形．
12．（1）解：如图1，点即为所作；
；
（2）解：如图2，点即为所作；
．
13．（1）∵，，
∴当时，四边形成为矩形，
由运动知，，，
∴，
∴，
解得．
∴当时，四边形成为矩形；
（2）①当时，，
此时，四边形是平行四边形；
②当时，，
此时，四边形是平行四边形时；
③当时，，
此时，四边形为平行四 边形；
综上所述，当或或时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
（3）四边形不能成为菱形．理由如下：
∵，
∴当时，四边形能成为菱形．
由，得，
解得：，
当时，，，．
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴四边形不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形，
由题意得，
解得：．
故点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．
14．（1）证明：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②在矩形中，，
∵，
∴，
∴在中， ，
∴，
∴四边形的周长；
（2）①∵，
∴．
∵．
∴．
∴四边形是矩形．
要使四边形是正方形，必须．
∵
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，四边形是正方形；
②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20．
15．解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形．
故答案为：45；
（2）证明：在正方形和正方形中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，
∴，
∴，
∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，
∴正方形重叠阴影部分的面积为：
16.（1）证明：连接，
由折叠可得，．
∵四边形为矩形，．
∵为的中点，，
∴．
在与中，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，点在移动过程中，不变．
∴点在以为圆心，10为半径的的弧上．
连接，，

∴，
当点在线段上时，有最小值．
∵，，，
∴．
∴，
∴的最小值为．
17.（1）证明：如图，连接．
由图形折叠的特征可得：，，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
设，则．
由图形折叠的特征可得：，，，．
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，即．
18.（1）解：过点E作EH⊥AB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠AHE=90°，
∴四边形AHEB是矩形，
∴EH=AB=a，
故答案为：a；
（2）①如图，连接AC、BD交于点O，
∵∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOF=∠COE，
∵OB=OC，∠OBF=∠OCE=45°，
∴△OBF≌△OCE（ASA），
∴OF=OE，
∵∠EOF=90°，
∴，
∴当OE⊥BC时，OE与OF最小，即EF最小，
此时OE=OF=BC=a，
∴；
②四边形EOFB的面积不会变化，理由如下：
∵△OBF≌△OCE（AAS），
∴，
∴四边形EOFB的面积=，
∴四边形EOFB的面积不会变化．

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