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23.4《实际问题与一次函数》
一、单选题
1．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（ ）
A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个
C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个
2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（ ）
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
A．63 B．59 C．53 D．43
3．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车行驶小时时两车相遇
B．甲车的速度为，乙车的速度为
C．甲车出发小时后乙车才出发
D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时
5．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（ ）
用水类别 现行水价 拟调整水价
第一阶梯：月用水量每户
第二阶梯：月用水量每户超过部分
B．
C． D．
二、填空题
6．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______．
7．甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距．
8．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．
x（元件） 15 18 20 22 …
y（件） 250 220 200 180 …
按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________．
9．在物理学中有很多的公式可以直接或者间接看作一次函数，例如求物体质量公式是正比例函数．在真正的物理问题中，一个变量随着另一个变量变化的例子有很多．例如匀速直线运动中，路程随着时间的变化而变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加．这些都是物理学中，应用最简单的知识．如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是_____．
10．如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______．
三、解答题
11．活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下：
项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装）
费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同）
若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？
12．小明用量杯盛某种液体进行探究，实验表明液体与量杯的总质量（）和液体的体积满足一次函数关系．测得部分数据如下表：
液体体积
总质量（）
(1)求与的函数关系式；
(2)若用天平称得液体与量杯的总质量为，那么量杯中的液体体积为多少？
13．【背景调查】龙门石窟始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kān），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长，造像最多，规模最大的石窟，与敦煌莫高窟，大同云冈石窟并称为中国三大石窟．
【数学情境】龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）：
序号 规格 单位 数量 单价 金额
1 A种 件 50 ■ 4000
2 B种 件 50 ■ 3250
店员说：“这次进货，B种文创产品的单价比A种文创产品的单价少15元，A，B种文创产品的数量相同”．
【建立模型】请你解决下列问题．
(1)求A，B两种文创产品的进货单价各是多少元．
(2)已知A种文创产品每件的售价为100元，B种文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？
14．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2．
(1)求乙班返回时的速度．
(2)求的函数表达式．
(3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值．
15．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点．
(1)直接写出直线的解析表达式为______；
(2)结合图像，当时，的取值范围是______；
(3)如果点在直线上，满足 CDM的面积是面积的2倍，请求出点的坐标．
16.如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开．
(1)直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围；
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积．
17.【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间（分钟）
增加的电量
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程（千米）
显示电量
(1)【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式．
(2)【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出）
参考答案
一、单选题
1．C
解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元．
∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的，
∴，解得：．
由题意可得：总费用，
∵，
∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小，
又∵为正整数，
∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个．
2．D
解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b，
将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：，
解得，
∴y＝﹣x+180，
将x＝137代入可得y＝43，
故选：D．
3．D
解：将代入，
得，即，
即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度．
将代入，
得，即，
则．
4．D
解：由图象可知：当时，，
∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确；
∵甲车的速度为：，乙车的速度为：，
∴B选项正确；
∵小时，
∴甲车出发小时后乙车才出发，
∴C选项正确；
∵甲车的速度为：，乙车的速度为：，
∴，
∴当甲、乙两车相距时，，即：，
解得：或，
∴或，
∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时.
∴D选项错误.
5．B
解：∵用水量不确定，
∴需分段计算：
第一阶梯水费，当x满足范围是：（元），
第二阶梯水费，当x满足范围是：（元），
都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些．
故选：B．
二、填空题
6．x＞300
解：由题设可得不等式kx＋30＜x.
∵y1＝kx＋30经过点(500，80)，
∴k＝，
∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60.
∴两直线的交点坐标为(300，60)，
∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立，
故答案为：x＞300.
7．1.5或4.5或6.5
解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为，
将，代入可得：，
解得：．
∴乙所在直线的表达式为：；
当时，，
把代入，得：，解得，
∴甲所在的直线的表达式：；
当时，；解得，
∴甲所在的直线的表达式：，其中；
当时，甲、乙两车相距．则，即，
解得或，
当时，甲、乙两车相距．则，即，
解得，
综上可知，1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距．
8．
解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设，
将点和代入，
得，
解得，
∴，
∴日销售利润销售收入总成本
．
故答案为：．
9．9
解：由题意得，设函数关系式为，
把代入得：，
解得，
∴弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是，
当时，
，
∴弹簧不挂物体时的长度是；
故答案为：9．
10． 4
解：根据题意得，当直线和x轴重合时，点P和点C重合，点A和点Q重合，
∴此时线段的长度最大，为；
当过点的直线经过点B时，，
解得，
则此时的函数解析式为，
同理可得，当直线经过点D时的解析式为，
∴函数m经过点和，
∴函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：．
三、解答题
11．解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元，
，
，
若，则解得：，
若，则解得：，
若，则解得：，
所以，
当时，选方案一费用较少；
当时，选方案一和方案二费用一样多；
当时，选方案二费用较少．
12．（1）解：设与的函数关系式为，代入，得，
解得：
∴与的函数关系式为
验证：当时，，符合表格数据
（2）将代入函数关系式：
移项计算得：，
解得
答：量杯中的液体体积为．
13．（1）解：设种文创产品的单价为元，则种文创产品的单价元．
根据表格，得，解得，（元）．
答：种文创产品的单价为80元，种文创产品的单价为65元．
（2）设购进种文创产品件，则购进种文创产品件．
根据题意，得，解得，
设获得的利润为元，则，
，
随的增大而增大，
，
当时，最大，，（件）．
答：购进种文创产品60件、B种文创产品40件才能使销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元．
14．（1）解：∵，
∴乙班返回共用走完，
∴乙班返回时的速度为：．
（2）解：∵，
设的表达式为，把代入得：
，
解得：，
∴的表达式为．
（3）解：∵，
设的函数表达式为，则，
解得：，
∴的函数表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，
∴，
解得：．
∵，
设的函数表达式为，则
，
解得：，
∴的表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
∵的表达式为，
∴，解得：．
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或．
15．（1）解：把，代入，得，
∴，
把代入，得，解得，
∴；
（2）解：由图像可知的解集为；
（3）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴或，
∴或．
16.（1）解：由题意：．
因为，，， O为BC中点，
．
当点P在上时，；
当点P在上时，，此时最长时间为，
故；
当点P在上时，，此时最长时间为，故；
综上所述，．
（2）解：当展开的画面面积达到电子屏面积的时，此时面积为，
若，解得，不在范围内，舍去；
若，解得，在范围内，符合题意，此时开始播放广告语，因为播放时间持续，结束时间为，此时满足，
故求面积时，应该选择第三阶段的表达式，此时．
17.（1）解：①设关于的函数表达式为（为常数，且），
将，代入，得，
解得，
关于的函数表达式为；
②设关于的函数表达式为（、为常数，且），
将，和，分别代入得，
解得，
关于的函数表达式为；
（2）当时，，
行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为，
充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为，
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为，
行驶完剩余的路程消耗的电量为，
，
解得，
答：电动汽车在服务区充电分钟．

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