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第21章《四边形》复习题---平行四边形及其性质与判定
一、单选题
1．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段 B．线段
C．线段的长度 D．线段的长度
3．如图，平行四边形的周长为， ABC的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A．四边形的周长 B．的大小
C．四边形的面积 D．线段的长
5．图是甲、乙两名同学的作业（题中 ABC为等腰三角形，）
甲： 1．过点A作．垂足为D； 2．延长到N，作的角平分线； 3．过点C作，垂足为E四边形为矩形．
乙： 1．过点A作．垂足为D； 2．以A为圆心，长为半径画弧；以B为圆心，长为半径画弧； 3．两弧交于上方一点E．连接；四边形为矩形．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二、填空题
6．在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________．
7．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）．
8．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）．
9．如图，在等边 ABC中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
10．如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动________s时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
11．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离．
12．如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由．
13．如图，已知在中，点E、F分别在边、上，且．求证：．
14.如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示 ；
(2)当时，求t的值；
(3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
15.（1）如图1，在的网格中， ABC的三个顶点都在格点上，请在图1中画出一个以为边的平行四边形ABDE，顶点，在格点上且满足；
（2）如图2，中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图2中作出符合题意的点．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
16.图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹.
(1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形.
(2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形.
17.问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图．
探究实践1：
老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究：
（1）的度数是 ．
探究实践2：
完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现：
（2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．”
请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形；
B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形；
C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形；
D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形．
2．D
解：∵，，
∴线段的长度是直线a，b之间的距离，
故选：D．
3．B
解：∵平行四边形的周长为，
∴，
∵ ABC的周长为，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
4．C
解：连接，
在中，，分别为，中点，
且，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
同理，且．
∴四边形是平行四边形，
则与的面积分别为与面积的一半，
四边形的面积，
四边形的面积始终为面积的一半，是定值．
选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误．
选项B：随位置改变，错误．
选项D：长度随、移动改变，错误．
综上，四边形的面积是定值，
故选：．
5．A
解：由甲同学的作业可知，，，
∴平分，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
由乙同学的作业可知，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
综上，甲、乙两位同学的作业都符合题意，
故选：A．
二、填空题
6．2或10
解：当直线在之间时，
是三条平行直线，
而与的距离为与的距离为
与的距离
当直线在之间时，
是三条平行直线，
而与的距离为与的距离为
与的距离
综上所述，与的距离为或.
故答案为：或．
7． 3 ，，
解：，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
则图中共有个平行四边形，它们分别是，，，
故答案为：；，，．
8．（答案不唯一）
解：添加的条件是（答案不唯一）．
理由如下：，，
，即，
又，
∴四边形为平行四边形，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
9．或5
解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：
，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：
，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形
即，
解得：；
综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或5．
10．4或
解：四边形是平行四边形
cm
cm
cm
是的中点
cm
要使以点为顶点的四边形是平行四边形
则
或
解得或．
三、解答题
11．解：如图，连接，过点作，交的延长线于点．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以平行线与之间的距离为．
12．解：点为的中点，，
在和中， ，
，
，，
，
添加①，理由如下，
，
，
四边形是平行四边形；
添加③，理由如下，
∵AB∥CD,AD∥BC，
四边形是平行四边形．
13．证明：四边形是平行四边形，
，．
，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
∴．
14.（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，
∴；
（2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，
∴，，
∴，
∴，
解得．
（3）解：存在，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，
∴，，
∴当点P与点D重合时，，
故，
解得，
∴当点Q与点B重合时，，
故，
解得，
∴当时，；
当时，，
∵，
∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
当时，如图2，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
解得；
当时，如图3，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
解得；
综上所述，t的值为或．
15.解：（1）如图1中，四边形即为所求；
（2）如图2中，点即为所求．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
16.（1）解：点D位置如图所示：
（2）解：点E、F位置如图所示：
17.（1）解：由折叠得：
∴故答案为：
（2）小虎的结论正确，理由如下：
∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．

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