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第四章《三角形》复习题--三角形全等经典几何模型——倍长中线
一、选择题
1．如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
2．已知 ABC的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．在 ABC中，，边上的中线，则边的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在 ABC中，D为的中点，若，．则的长不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，在 ABC中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．在 ABC中，若，则中线的最大整数值是 ___．
8．如图，在 ABC中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________．
9．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图， ABC中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）；
②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）．
10．如图， ABC和 ADE都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号）
三、解答题
11.如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．

12.（1）已知，如图 ABC中，是边上的中线，求证：
（2） ABC中，已知，求的取值范围是________．
13.如图，在四边形中，为的中点，E在线段上，过点G作交于点F．若，求的长．
14.如图， ABC中，D是的中点，M在边上，与交于点F．
（1）若，，直接写出的取值范围是 ；
（2）若，求证：．
15.如图，已知在 ABC中，点E是的中点，，那么线段之间具有怎样的数量关系？并证明你得到的结论．

16.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
17.（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________．
（2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
参考答案
一、选择题
1．B
解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图，
∵点为的中点，，，
∴，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．B
解：延长到点E，使得，连接，则，
∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
故选：B．
3．D
解：如图，延长至，使，
是 ABC的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
A、错误，不符合题意；
B、错误，不符合题意；
C、错误，不符合题意；
D、正确，符合题意．
故选：D．
4．A
解：如图，延长至，使，连接，

则，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
5．D
解：如图所示，
在中，则，
即，，
延长至点，使，连接，
是的边上的中线，
，
又，
，
，
在中，，即，
，即，
．
故选：D．
6．D
解：作，如图：

∵
∴ BDG≌ CDF
∴DG=DF,BG=CF,S BDG=S CDF
∵，
∴ CEF≌ BAG
∴AB=CE,AG=EF,S CEF=S BAG
①无法推出，故①错误；
②正确；
③∵
且
∵DG=DF
∴
故③正确；
④∵为中线
∴
故④正确；
⑤
故⑤正确；
故选：D
二、填空题
7．5
解：如图，延长到E，使，连接，
∵是 ABC的中线，
∴，
在与中，
，
，
，
根据三角形的三边关系得：，
，
，
，
∴中线的最大整数值是5．
故答案为：5．
8．8，10，12
解：如图，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
∵在和中，
，
，
，
，
∴．
为偶数，
∴，10，12．
故答案为：8，10，12
9．
解：①是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
②∵，
，
，
，即，
，
，
，
故答案为：．
10．①④⑤
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴结论①正确；
∵题目中没有给出的条件，只有和是等腰直角三角形，即 ，，
∴和不一定相等，
∴不一定是等腰直角三角形，
∴结论②错误；
∵点的位置不一定使得，
∴结论③错误；
如图，延长到，使，连接，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴结论⑤正确．
综上，正确的是①④⑤．
故答案为：①④⑤．
三、解答题
11.
解：证明∶延长至F使，连接，如图所示：

∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
12.解：证明：延长到，使，连接，
是边上的中线，
在和中，
（）
在中，则，
即，
（2）解：在中，，
由（1）知，，，
，，
，
13.解：延长交于点K．如图，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵过点G作交于点F．
∴，
又∵
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
14.解：（1）解：延长至E，使，
．
∵D为的中点，
∴，
在和中
，
∴
∴，
在中，
∵，
∴，，
，，
，
故答案为：．
（2）由（1）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
15.解：延长，交于点F（如图）．

∵由得∠BED=∠BEF=90 ，，
∴
∴，，
点E是的中点，则
在与中，
∴
∴
∴
即．
16.
解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠F，
在△AEB和△FEC中，，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠F，
∴∠EAD=∠F，
∴AD=DF，
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，
（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF，
17.解：（1）；理由如下：
∵是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在，且，
，
，
，
．
（2）解：如图，延长到，使得，连结，．
∵在中，是边上的中线，
∴ ，
在 BDE和中，
，
，
，
，
又，
，
在中，，
，，
．
（3）解：结论：．
理由：延长到，使得．
，
，
∴∠A=∠DCH，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．

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