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第四章《三角形》复习题--三角形全等经典模型——一线三等角
一、选择题
1．如图，已知，，，则不正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，于点，且，交的延长线于点，则的面积为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．
3．如图，在 ABC中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在 ABC和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（ ）
A．8 B．7 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝2，BF＝4，则EF＝___．
7．如图， ABC中，，，于E，于D，，，则的长为________．
8．如图，，，，于D，，，则________．
9．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______．
10．如图，在 ABC中，，过点作，且，连接，若，则的长为______．
三、解答题
11．小明和爷爷、奶奶在公园里荡秋千，开始时小明坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．如图，小明从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，奶奶在距地面1米高（即）的处接住他后用力一推，爷爷在处接住他．已知奶奶与爷爷到的水平距离，，，，，，设的延长线与地面交于．
（1）与全等吗？请说明理由．
（2）当爷爷在处接住小明时，求小明距离地面的高．
12．如图，在 ABC中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．
（1）求证：；
证明过程：
，，
，，
______（______）
在和中，
（______）
（2）若，，求的长．
13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（1）如图1，在 ABC中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______．
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系．
14．直线经过的顶点C，．E，F分别是直线上两点，且．
【数学思考】
若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题：
（1）①如图1，若，求证：；
（2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．
【问题拓展】
（3）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出和之间数量关系．
15．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且．
（1）如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）；
（2）如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
16.【基础回顾】
（1）如图1，在 ABC中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在 ABC中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以 ABC的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A.，，，，，在 ABC和中，（），结论正确，故不符合题意；
B.，，结论正确，故不符合题意；
C.由选项A得，结论错误，故符合题意；
D.，，，结论正确，故不符合题意；
故选：C．
2．D
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．C
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．C
解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：C．
5．D
解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题
6．6
解：∵AE⊥EF、BF⊥EF，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴∠BCF+∠CBF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴EC＝BF＝4，AE=CF=2
∴EF＝EC+CF＝4+2＝6，
故答案为：6．
7．
解：、，、
、
在和中
、
故答案为：．
8．
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
9．
解：过点分别作，交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积
，
故答案为：．
10．6
解：如图，作交延长线于点．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在 ABC和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：6
三、解答题
11．
解：（1）解：与全等，理由如下：
，，
∴∠BDO=∠OEC=90 ，
，
又，
，
在与中，
；
（2）解：，
，，
即小明距离地面有高．
12．解：（1）证明：∵，
，
（等角的余角相等），
在和中，
，
，
故答案为：，等角的余角相等，，；
（2）解：由（1）可得：，
，
，
∴的长为6．
13．（1）解：，证明如下；
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）．
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴．
14．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下：
当时，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
由折叠得：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
16.（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
；
（2）证明：∵是的外角，
∴∠EAB=∠ADB+∠DBA．
∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴；
（3），大小关系是：
理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴∠AGB=∠M=90 ．
∴．
∵，
∴∠BAG+∠DAM=90 ．
∴∠ABG=∠DAM．
在和中，
，
∴．
∴．
同理可证明：．
∴．
∴．
∵S1=AH DM，S2=AH EN，
∴．

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