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专题12 圆锥曲线小题十大热点题型
题型 考情分析 考向预测
1.求圆锥曲线的轨迹方程 2025年天津卷：第9题考查了双曲线抛物线综合性质，求双曲线的离心率 2025年新高考卷ⅠI：第6题考查抛物线性质，求焦半径 2025年新高考卷I： 第3题考察双曲线离心率 2024年天津卷：第8题由几何性质求双曲线的标准方程 2024年新高考I卷：第12题由几何性质求双曲线的离心率 1题量分值 新高考卷统一固定1道小题单选或多选为主三大曲线随机轮换命题 2难度定位 整体以中档题为主极少单纯基础送分偶尔结合临界条件设置小压轴用来划分中等以上分数段 3考查核心 弱化复杂联立运算重点围绕圆锥曲线核心定义几何性质命题 离心率渐近线焦点几何特征为长期高频核心考点 4命题规律 不单独拆分椭圆双曲线抛物线多题考查 5交汇趋势 常结合直线与圆平面向量简单不等式浅层交汇 以几何位置关系长度角度范围临界相切为主要设问形式 6命题风格 侧重动态点动态直线的位置分析突出条件转化与数形简化 7备考导向 主攻单曲线核心性质吃透离心率通用解法熟记渐近线焦点三角形基础结论
2.由几何性质求圆锥曲线的标准方程
3.与圆锥曲线定义有关的最值问题
4.圆锥曲线的焦点三角形问题
5.圆锥曲线的中点弦长问题
6.与椭圆性质有关的综合题型
7.与双曲线性质有关的综合题型（渐近线）
8.与抛物线有关的综合题型
9.直线与圆及圆锥曲线的综合题型
10.求圆锥曲线的离心率
题型1 求圆锥曲线的轨迹方程
知识点解析 1依托三大圆锥曲线几何定义与动点等量关系 2主流方法定义法直接法相关点法消参法 解题方法 1定义法满足距离和/差/等距条件直接判定曲线类型写方程 2直接法列式化简注意自变量范围限制 3相关点法动点关联已知曲线点坐标代换求解 常考结论
【例1】（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图：
又在圆上，将代入其中可得
，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A.
【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果.
【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上，
设点在轴右侧，如图，延长交于点．
因为点在的平分线上，且，
所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以，
因此．
同理，当点在轴左侧时，．
故点在以、为焦点的双曲线上，
则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为，
所以双曲线方程为．
【变式1-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切于点，是圆上一动点，点满足 ，且以为圆心，为半径的圆恰与相切，则当取最小值时，点的坐标可以为______.
【答案】或
【分析】设，根据条件，列出等式，可得点P的轨迹方程，再设，根据三角函数的定义，可得的表达式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】设，则，直线与圆相切于点，则，
由以为圆心，为半径的圆恰与相切，
可得，
化简可得，且.
再设，则，
则，
由于对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最大值-2，则取得最小值，
此时或.
题型2 由几何性质求圆锥曲线的标准方程
知识点解析 1椭圆 2双曲线 3抛物线 解题方法 1先判断焦点轴设对应标准方程 2利用顶点焦距离心率定点条件求 常考结论 椭圆双曲线渐近线随焦点轴切换抛物线为焦点到准线距离
【例2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______.
【答案】
【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程.
【详解】设，则，。
因为，所以。
根据椭圆的定义可得，得 ，
因此，。
在中，；
在 中， ， ，，
由，得，
对 用余弦定理：
，
对 用余弦定理：，
所以化简得：，
又椭圆中，
所以，即。
因此椭圆的方程为
【变式2-1】（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________.
【答案】
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，
设，，则，
由，解得，
因为，所以，求得，即，
由，解得，
由正弦定理可得：，
则由，得，
由，得，
则，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
【变式2-2】（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】A
【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得.
【详解】如图，作出抛物线C和圆E在点处的公共切线，同时过作射线轴，
则有，由抛物线的光学性质，可得，
，
且，
又，代入得，解得.
题型3 与圆锥曲线定义有关的最值问题
知识点解析 1利用曲线定义转化线段避开复杂运算 2焦半径存在固定取值区间 解题方法 1椭圆定值和转化结合三点共线求最值 2双曲线距离差定值限定单双分支 3抛物线焦点距离等价准线距离几何化秒杀 常考结论 椭圆焦半径 抛物线
【例3】【多选题】（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
【答案】BD
【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可.
【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点，
由椭圆的定义知，，如图，
由Q为圆M上的动点，得，即，
则，
即，故的最小值为7，最大值为9.
【变式3-1】【多选题】（2026·辽宁锦州·模拟预测）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值.
【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、，
由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得，
因此：，
由三角形不等式：，
又，则，
故，故A错误，B正确；
由双曲线可得：，，焦点同样为、，
由双曲线的定义：若在右支：，得，
因此：，
由三角形不等式：，得，
若在左支：，得，
因此，
综上，总有，故C正确，D错误.
【变式3-2】【多选题】（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ）
A．若，则点P的坐标为
B．若，则的最小值为6
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值.
【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得，
所以，故A错误；
对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内，
所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确；
对于C，设，则，
所以，
所以的最小值为，C正确；
对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限，
如图所示：
则
，
令，分母为，则，
当，，所以在上单调递减；
当，，所以在上单调递增；
所以当时，，
此时，由图知，所以，故D正确.
题型4 圆锥曲线的焦点三角形问题
知识点解析 1曲线上动点与两焦点构成三角形 2结合正余弦定理边长角度面积综合考查 解题方法 1联立曲线定义与余弦定理构造边角关系 2直接套用二级面积公式快速运算 常考结论
【例4】【多选题】（2026·重庆九龙坡·一模）已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．
C．直线 的斜率为 2 D．
【答案】BD
【分析】根据椭圆的标准方程和定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断.
【详解】对于A，由题意知，所以，所以，
所以离心率，故A错误；
对于B，由椭圆定义可知，
在中，由余弦定理得：，
即，所以，故B正确；
对于C，由得，
因为点和点关于原点的对称，所以，
又为椭圆上一点，所以，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
故D正确；
故选：BD
【变式4-1】【多选题】（2026·四川泸州·模拟预测）已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若，则（ ）
A．|OH|＝2 B．
C．双曲线C的渐近线方程是 D．四边形的面积为15
【答案】AD
【详解】对于A，已知是过作的一条渐近线的垂线的垂足，
其渐近线方程为，即，，
所以，
所以，故A正确；
对于B，过点作，所以，所以，
所以，
又，，所以，
又，所以，故B错误；
对于C，由B选项可知，
因为，所以，
在中，，
所以，
所以，，所以，
所以双曲线C的渐近线方程是，故C错误；
对于D，四边形的面积为
，故D正确.
【变式4-2】【多选题】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ）
A． B．
C．的渐近线方程为 D．的面积为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据计算可判断B；根据双曲线定义结合B可得，再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D.
【详解】对于A，双曲线，则，
不妨设点在第一象限，由双曲线定义可知，
因为，所以，，故A正确；
对于B，因为，，
所以，
故，所以，故B正确；
对于C，由B可知，，
因为，所以，所以，即，
所以，即，
所以的渐近线方程为，故C错误；
对于D，由余弦定理可得，
，
所以，故D正确.
题型5 圆锥曲线的中点弦长问题
知识点解析 1中点弦核心为点差法弦长依托韦达定理 2斜率垂直关系为高频考点 解题方法 1点差法两点代入作差快速求中点弦斜率 2通用弦长公式结合判别式计算 常考结论 椭圆中点弦
【例5】（2026·河北·模拟预测）已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，进而根据点差法求得，再结合即可求得的轨迹方程为，并检验直线的斜率不存在时点满足，再根据方程即可求得，最后根据距离公式求解得.
【详解】设，
因为为的中点，所以，，
因为，，两式作差得，
所以，当直线的斜率存在时，，
因为四点共线，
所以，即（），整理得（），
当直线的斜率不存在时，点的坐标为，满足方程，
所以，点的轨迹方程为，即
所以，
所以 ，
由方程得，即，解得，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
【变式5-1】（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】讨论已知点的位置，将点坐标代入双曲线方程得的范围，代入离心率公式，可得e的范围.
【详解】若点在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以为中点的弦，
此时，解得，则，
所以，符合题意；
若点在右焦点所在的双曲线外部，则，
设以为中点的弦与双曲线E交于两点，
则，
则，，
两式作差得，整理得弦的斜率，
因为存在该中点弦，所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点，
则，解得，所以，
则，符合题意.
综上，离心率的取值范围是.
故选：C
【变式5-2】（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______.
【答案】
【分析】先根据题意设出直线的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理求出中点的坐标，进而求出直线斜率，分类讨论求斜率最大值.
【详解】由得，由题意知直线的斜率不为0，
所以设直线的方程为，，
联立消去得，
，则由韦达定理得，所以，
所以，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，，
综上，直线OM的斜率的最大值为.
题型6 与椭圆性质有关的综合题型
知识点解析 1离心率对称性焦半径公式 2常与向量不等式范围问题交汇 解题方法 1利用对称简化计算齐次化求解离心率 2坐标转化处理向量数量积 常考结论
【例6】【多选题】（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．
D．存在点，使得
【答案】BCD
【分析】设的左焦点为，利用对称性，如，，取具体的点验证是否有判断A，利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B，结合椭圆定义判断C，设，由求出判断D.
【详解】对于选项A，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由，取点，得，故A错误；
对于选项B，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故B正确；
对于选项C，因为分别为线段的中点，所以，由椭圆的定义知，故C正确；
对于选项D，设，则，且，由，得，所以.，若，则，此时，故存在点，使得，故D正确.
【变式6-1】【多选题】（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ）
A．的周长为
B．若，则的最小值为
C．满足是直角三角形的点有 8 个
D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分、、三种情况得到点个数，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得取值范围，从而得到的最大值，判断D.
【详解】
对于A：易知，，则.
由椭圆的定义可知，，
所以的周长为，故A正确；
对于B：，.
当时，，故B错误；
对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个；
以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为，
故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个；
综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确；
对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率.
设该直线的方程为.
联立，整理得，
，
由，得，即，解得.
所以的最大值为，故D正确.
【变式6-2】【多选题】（2026·四川广安·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ）
A．的短轴长为 B．的焦距为2
C．的周长为8 D．的离心率为
【答案】BC
【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项.
【详解】由图知，，因，则是正三角形，
又，则，故椭圆的离心率为，故D错误；
由可得，则，
由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误；
焦距为，故B正确；的周长为，故C正确.
题型7 与双曲线性质有关的综合题型（渐近线）
知识点解析 1离心率渐近线为核心特色考点 2焦点到渐近线距离为定值 解题方法 1渐近线方程直接列式结合距离公式求解 2由渐近线斜率快速推导离心率 常考结论 渐近线 焦点到渐近线距离
【例7】【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的离心率为2
C．面积的最小值为 D．直线，的倾斜角之和为
【答案】ACD
【分析】根据求出，设，，利用点到直线距离公式求出到两条渐近线的距离，由题意列式即可求出，可判断A；根据求出，可判断B；设直线，将直线方程与双曲线方程联立求出，，进而求出，根据函数的单调性即可判断C；设直线，的倾斜角分别为，，证明即可判断D.
【详解】由，得，
设，，则点到渐近线的距离分别为，，
所以，
所以，故的渐近线方程为，故A正确；
，所以，故B错误；
由上知，设直线，
将其代入，得，
则，，
所以 ，
函数在上单调递增，
所以当时取得最小值，故C正确；
设直线，的倾斜角分别为，，
易知，，，，
，
又，所以，D正确．
【变式7-1】【多选题】（2026·甘肃酒泉·二模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则双曲线的离心率为
C．若双曲线的离心率为，则
D．若为线段的中点，则双曲线的离心率为
【答案】ACD
【分析】A易得双曲线的一条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求得，再结合勾股定理求解即可判断；B设在渐近线上，先求出，再结合可得，再代入双曲线方程即可得到，进而求解判断即可；C由双曲线的离心率为，结合B可得，，进而根据平面向量的夹角的余弦公式求解判断即可；D结合B可得，进而得到，再代入双曲线方程即可得到，进而求解判断即可.
【详解】A，双曲线的一条渐近线方程为，即，
不妨设在渐近线上，则，
而，则，故A正确；
B，不妨设在渐近线上，
由A知，，，，且，
则，即，则，
即，
因为，所以，即，
将代入双曲线方程，得，
整理得，则，所以双曲线的离心率为，故B错误；
C，由双曲线的离心率为，则，即，
则，即，由B知，，即，
而，则，，
则，故C正确；
D，由B知，，若为线段的中点，则，
将代入双曲线方程，得，
整理得，则，所以双曲线的离心率为，故D正确.
【变式7-2】（2026·广东佛山·一模）设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为
C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为
【答案】ACD
【分析】对A，根据渐近线斜率求出倾斜角，直接计算两条渐近线的夹角；对B，利用平方差公式和双曲线定义化简表达式，再结合直线与双曲线的交点条件判断最小值能否取到；对C，由推出点在以为直径的圆上，联立方程求高，进而计算三角形面积；对 D，利用双曲线定义将周长转化为，再求出弦长的最小值，从而得到周长的最小值.
【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的倾斜角为，由对称性可知，两条渐近线的夹角为，A正确；
对于B：由双曲线的定义可得，
所以，
又，所以，
因为，所以，B错误；
对于C：，故，即A在以为直径的圆上，
由，解得，所以，
所以，C正确；
对于D：由双曲线定义可得，
所以周长，
当轴时，最小，将代入双曲线方程，得，故，
所以，D正确.
题型8 与抛物线有关的综合题型
知识点解析 1离心率定义等价转化为核心 2焦点弦存在固定坐标乘积结论 解题方法 1准线等距转化解决最值与距离问题 2焦点弦设线联立用韦达定理秒杀 常考结论
【例8】（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（ ）
A． B．．
C．可能为锐角 D．三点共线
【答案】ABD
【分析】对于A，因为抛物线的定义是抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于点A在抛物线C上，AP是A到准线l的垂线，可判断|AP|与|AF|的关系；对于B，根据抛物线性质，结合等腰三角形性质即可判断；对于C，设出A、B两点的坐标，设直线，联立抛物线方程，可得根与系数关系，计算，根据其正负判断是否可能为锐角；对于D，求出直线OP和直线OB的斜率，判断P、O、B三点是否共线.
【详解】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，
从而有，选项A正确；
对于选项B，设准线与轴交于点，
由，，所以为的中位线，
从而，又，从而，选项B正确；
对于选项C，由题意，直线的斜率存在，故可设，，直线，
联立：，化简整理得，，
从而有，由，，
得，
则，，，
则不可能为锐角，选项 C错误；
对于选项D，直线的斜率，
由，可得直线的斜率，
由，得，从而，
则三点共线，选项D正确.
【变式8-1】【多选题】（2026·湖南·二模）设抛物线的焦点为，到准线的距离为，过的直线交于、（在第一象限）两点，过点作准线的垂线，垂足为，直线交轴于点，则（ ）
A．抛物线的方程为 B．若，则
C．若，则 D．若，则直线AB的方程为
【答案】ABD
【分析】利用焦点到准线的距离计算即可得A；由抛物线定义可计算出点坐标，再利用面积公式计算即可得B；利用焦半径公式计算可得点坐标，则可得点、坐标，即可得C；设出直线的方程，联立曲线方程，利用韦达定理计算可得、，再利用焦点弦公式计算即可得D.
【详解】对A：因为到准线的距离为2，所以，故抛物线方程为，故A正确；
对B：因为，则，，即，
则，故B正确；
对C：若，则，，即，
所以，，则直线FN的方程为，
所以，故，故C错误，
对D：易知直线AB的斜率不为0，设直线的方程为，，
联立，得，易知，则，
又，，，
因为，即，设，
则，
所以，，所以，所以，
又点A在第一象限且，所以，所以直线的方程为，故D正确．
【变式8-2】【多选题】（2026·湖北十堰·二模）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（ ）
A．若，则直线的斜率为
B．若过点的的切线与交于点，则
C．若的面积为，则
D．若，则直线的倾斜角为
【答案】BCD
【分析】根据题意先求，进而得抛物线方程，再根据抛物线的性质和直线与抛物线的关系逐项验证即可求解.
【详解】如图：
由题意得，所以抛物线，所以，
设，直线
对于A：由，解得，所以，解得，所以，所以，故A错误；
对于B：由，所以，又点位于第一象限，所以，，所以，所以，
所以过点的切线方程为：，即，令，，所以，
所以，所以，所以，故B正确；
对于C：由，消元整理得，所以，
所以，所以，
又到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的直线方程为：，令得，所以，
同理得，所以
，故C正确；
对于D：由直线，令，得，所以，
所以，所以 ，
由得：，
所以，
又，
所以，解得，所以，
又因为，解得，又，
所以，即，又，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故D正确.
题型9 直线与圆及圆锥曲线的综合题型
知识点解析 1以直线圆几何性质为载体结合曲线位置关系 2多考查距离相切范围最值 解题方法 1先判定直线与圆位置对比分析 2圆心距加减半径求解曲线上动点距离最值 常考结论 点到直线距离公式
【例9】（2026·四川·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，若抛物线与椭圆共焦点，为椭圆与抛物线的一个公共点，且在中，，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】设，求得，再由抛物线定义求得，得到，结合，列出方程，得到，即可求解.
【详解】设，则，可得，
则，
所以，
因为抛物线与椭圆共焦点，可得，
根据抛物线定义，可得，所以，
即，所以，
过点作，垂足为，如图所示，
所以，
整理得，即，解得或（舍去），
所以椭圆的离心率为.
【变式9-1】（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.
【答案】
【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率.
【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以.
由直线与的一条渐近线平行可得，所以，
又由双曲线定义可得，所以，得，所以.
由得，即，整理得，
所以，，离心率.
【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率.
【变式9-2】（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________．
【答案】
【详解】由题意得圆心坐标为，则，，则，准线方程为
不妨取，因为该圆与抛物线交于，两点，则，
联立，解得或（舍去），
则根据对称性有，解得，
则圆，则.
题型10 求圆锥曲线的离心率
知识点解析 1核心求量依托等量关系 2几何条件齐次化是通用思路 解题方法 1几何法直角三角形相似焦点三角形构造等式 2齐次法条件化为二次齐次式同除 3双曲线可借助渐近线斜率快速求解 常考结论 椭圆双曲线
【例10】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知双曲线，为右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，点，在轴两侧，，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由对称性，不妨设点在直线上，则可表示出直线的方程，联立另一渐近线可求出点坐标，则可表示出，再利用离心率定义计算即可得.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由对称性，不妨设点在直线上，则，
则，联立，解得，
由点，在轴两侧，则，故，
则，整理得，
则.
【变式10-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率.
【详解】记，则：，整理得，
则，因为为的中点，所以，
因为点B在双曲线E上，则，令，得，
化简得，又，则，故离心率.
【变式10-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意有且，中由勾股定理，得的齐次式可求离心率的大小.
【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，，
由直线的斜率为3，可知，所以，
因为，所以，，
因为，所以，即，
所以，所以.
一、单选题
1．（2026·陕西·二模）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】依题设，利用题设条件与焦准距可得，再由三角形面积计算即得.
【详解】由题意可知：，则，
设，则，可得，即，
又因为的面积为，解得.
2．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】计算，再计算的面积和周长得出即可求出.
【详解】令，其中，则，得，
因为，所以，
则由双曲线的定义可知，，
则的面积为，
周长为，
则，则，
则的离心率为.
3．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值．
【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1，
过点作直线，垂足为，如图所示，
由抛物线定义可知，，
所以，
当点在同一直线时，可取到最小值，
因为点到直线的距离为6，
所以，即的最小值为5．
4．（2026·青海西宁·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过抛物线上另一点反射后射出，经过点，且轴，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】先设出直线的方程及，根据题意可得到的坐标，联立抛物线方程后根据韦达定理得到的值，进而可得到的坐标，根据抛物线的定义可得结果.
【详解】由抛物线得其焦点为，如图：
设直线的方程为，
由题意知轴，，所以点的纵坐标为，
代入抛物线方程，可得，所以的坐标为.
由消去，得，所以，
所以，
由抛物线的定义知，
所以 ．
5．（2026·辽宁沈阳·三模）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线定义知，，设，，则.
双曲线离心率，故.
在中，，由余弦定理得：，
又，代入得.
将、代入上式：.
化简得.
即，整理为.
因式分解得，因，故.
则，因此.
6．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左 右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（ ）
A．14 B．14或17 C．22 D．14或22
【答案】C
【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即.
由，可得，则.
若点在双曲线的左支上，由，可得，
此时的周长为；
若点在双曲线的右支上，，与不符.
综上，的周长为22.
7．（2026·湖南·一模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以点在轴左侧，如图，作轴，垂足为．
由，得，
所以，即，
则 ，，
所以，即，
则．
8．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可.
【详解】由题意知，，且，
则，
由椭圆的定义可知，，
则的周长为，
因为，等号成立时三点共线，
所以周长的最大值为，得，则，得，
故C的焦距为.
9．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】A
【详解】
圆的标准方程为，则圆心，半径，
在线段的垂直平分线上，
，
在线段上，且是圆的半径，
，
定点间的距离为，
，满足椭圆的定义，
N点的轨迹为椭圆．
10．（2026·浙江杭州·二模）设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】由条件先判断四边形为梯形，设出直线的方程，与椭圆方程联立求出，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值.
【详解】由和可得，所以椭圆方程为，
因直线的斜率为，可得其方程为，
又因，故可设直线的方程为，
将其与联立消去，可得，
由解得，
由韦达定理得，
所以，
由可知四边形为梯形，而直线的方程即，
则梯形的高也即点到直线的距离为，
故梯形的面积为，
由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑，
令，则，则，则，
再令，则，，
故，
故当时，取得最大值为.
【点睛】对于形如的根式，可以利用三角换元处理.
11．（2026·河北沧州·二模）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，不妨设，，则，于是，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
又，所以，
在中，，，，
设内切圆的半径为，则，即，
解得.
二、多选题
12．（2026·江西上饶·一模）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】分别设出后代入到双曲线方程，使用点差法，将之作差并结合中点坐标即可得到，分别把选项代入，求得的直线与双曲线联立，需要满足化简后的式子有2个解，即化简后的二次函数，以此判断选项是否满足题意即可.
【详解】设直线的斜率为，，
则有，，
两式相减得，即，
又为的中点，即，且，
所以，且直线与双曲线有两个交点，
对于A：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，得，
，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确；
对于B：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误；
对于C：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，得，
，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误；
对于D：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，得，
，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确；
故选：AD.
13．（2026·河北邢台·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，H是C上异于左、右顶点的点，则（ ）
A．的周长为12
B．存在点H，使得
C．当内切圆的半径为时，
D．当直线l被C所截得线段AB的中点是时，直线l的方程为
【答案】ACD
【分析】由椭圆的定义可判断A，由，得到在以 为直径的圆上，联立椭圆方程求解即可判断B，由三角形面积公式（三角形周长），确定坐标，进而由向量数量积的坐标表示可判断C，由点差法可判断D.
【详解】
由已知椭圆 ，得 ，
左右焦点 ，
由椭圆的定义得 ，，
A，的周长为 ，故A正确
B，若 ，则 在以 为直径的圆上，
联立圆与椭圆方程： ，消去 得： ，无解，
不存在这样的点 ，故B错误；
C，设内切圆半径为，又的周长为12，
又三角形的面积（三角形周长），所以 ，
又 ，得 ，
则，
代入 ，得 ，C正确
D，设 ，则 ，
两式相减得 ，
又点 ，故 ，
斜率 ，
直线方程：整理得 ，
经验证符合题意，D正确.
14．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与椭圆的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为
B．若，则点的横坐标为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
【答案】BCD
【分析】由椭圆方程求得抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义和焦半径公式，可判定B正确；联立方程组，求得交点的坐标，可判定A错误；求出外接圆的半径，求得圆的面积，可判定C正确；利用抛物线的定义转化，结合三角形两边之和大于第三边，可判定D正确.
【详解】椭圆中，， 则，右焦点.
抛物线焦点为，与 重合得，，
因此抛物线方程为，准线.
选项，将准线代入椭圆方程得，解得 ，
截得线段长度为，错误；
选项 ，由抛物线定义，解得，正确；
选项，中，，外接圆圆心在的垂直平分线上，设圆心为.
圆与准线相切，半径，圆面积，正确；
选项，周长，
先计算定值.
由抛物线定义，为点到准线的距离，因此，
最小值为到准线距离，即.因此周长最小值为，正确.
15．（2026·河南焦作·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（ ）
A．的方程为
B．
C．的最大值为9
D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1
【答案】BCD
【分析】先求出轨迹方程，结合椭圆定义和性质可判断A,B,C，求出椭圆的切线，结合切线和直线间的距离可判断D.
【详解】设，由可得，
因为， ，所以，
解得，所以，整理得，A不正确；
，因为，所以，，B正确；
因为的方程为，所以，为其焦点，
由可得，，当且仅当时，取到最大值，C正确；
设直线与相切，联立，，
由可得，即.
当时，与的距离为；
当时，与的距离为；
曲线上有且仅有两点到直线的距离为1，D正确.
16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，双曲线的离心率是，左、右顶点分别为，直线与双曲线交于两点，与交于点，下列说法正确的是（ ）
A．可能是等腰直角三角形 B．当是等边三角形时，
C．直线斜率之积为定值 D．点在以为直径的圆上
【答案】BCD
【详解】由题意得双曲线：的离心率是，
所以，则双曲线的渐近线方程为.
已知直线与双曲线交于两点，由对称性得是等腰三角形.
若是等腰直角三角形，则直线与渐近线平行，
直线与双曲线不存在两个交点，
故不可能是等腰直角三角形，A不正确；
设，，则，
可得，，点在以为直径的圆上，CD正确；
当是等边三角形时，因为，即，
所以也是的中点，是的重心，
到的距离为，，B正确.
三、填空题
17．（2026·河北衡水·一模）已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则______，点到轴的距离为______.
【答案】 /
【分析】由椭圆的定义可得是等边三角形，进而计算可解.
【详解】因为，分别为的左、右焦点，
所以，
又，所以，，
因为，所以是等边三角形，
过点作的垂线，垂足为，则为的中点，
所以.
设点在轴上的射影为，为坐标原点，
因为，
所以，
则点到轴的距离为.
18．（2026·湖北黄石·一模）已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________.
【答案】/
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，，再由及余弦定理得到，从而结合椭圆定义表示出，结合椭圆的离心率定义求出其离心率.
【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距也为，
双曲线的离心率为，则，
延长交双曲线于点，
因为，由双曲线的对称性得.
设，则，由双曲线的定义得，，
由，
知，结合，
化简得，即，，
由P点在椭圆上，可得，即，则，
结合，可得椭圆离心率为.
19．（2026·重庆渝中·二模）已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______．
【答案】
【分析】过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作于点，借助抛物线定义结合锐角性质可得，再利用斜率与倾斜角的关系计算即可得.
【详解】过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作于点，
由抛物线定义可得，，令，
则，故，则，
由是锐角，则，
所以，
则直线的斜率，
所以直线的斜率的取值范围为．
20．（2026·河北邯郸·二模）用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________．

【答案】
【分析】根据给定信息，作出相关图形并推理计算，再以抛物线方程为标准形式建立平面直角坐标系，确定抛物线所过的一个点的坐标即可计算得解.
【详解】如图1，设截面平行于母线，连接并延长交圆于，交抛物线于点，
则点为抛物线的顶点，设截面与交于点，过点分别作平行于圆锥底面的截面得圆，圆，
作圆锥的轴截面（如图2），连接交于点，圆与抛物线交于点，

圆与交于点，由，得，由平面平面，
平面平面，平面平面，得，
同理，而，于是，由对称性可得是中点，
则，，
，以点为原点，向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则且，令抛物线方程为，由点在抛物线上，得，
所以抛物线的焦点和准线之间的距离为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 圆锥曲线小题十大热点题型
题型 考情分析 考向预测
1.求圆锥曲线的轨迹方程 2025年天津卷：第9题考查了双曲线抛物线综合性质，求双曲线的离心率 2025年新高考卷ⅠI：第6题考查抛物线性质，求焦半径 2025年新高考卷I： 第3题考察双曲线离心率 2024年天津卷：第8题由几何性质求双曲线的标准方程 2024年新高考I卷：第12题由几何性质求双曲线的离心率 1题量分值 新高考卷统一固定1道小题单选或多选为主三大曲线随机轮换命题 2难度定位 整体以中档题为主极少单纯基础送分偶尔结合临界条件设置小压轴用来划分中等以上分数段 3考查核心 弱化复杂联立运算重点围绕圆锥曲线核心定义几何性质命题 离心率渐近线焦点几何特征为长期高频核心考点 4命题规律 不单独拆分椭圆双曲线抛物线多题考查 5交汇趋势 常结合直线与圆平面向量简单不等式浅层交汇 以几何位置关系长度角度范围临界相切为主要设问形式 6命题风格 侧重动态点动态直线的位置分析突出条件转化与数形简化 7备考导向 主攻单曲线核心性质吃透离心率通用解法熟记渐近线焦点三角形基础结论
2.由几何性质求圆锥曲线的标准方程
3.与圆锥曲线定义有关的最值问题
4.圆锥曲线的焦点三角形问题
5.圆锥曲线的中点弦长问题
6.与椭圆性质有关的综合题型
7.与双曲线性质有关的综合题型（渐近线）
8.与抛物线有关的综合题型
9.直线与圆及圆锥曲线的综合题型
10.求圆锥曲线的离心率
题型1 求圆锥曲线的轨迹方程
知识点解析 1依托三大圆锥曲线几何定义与动点等量关系 2主流方法定义法直接法相关点法消参法 解题方法 1定义法满足距离和/差/等距条件直接判定曲线类型写方程 2直接法列式化简注意自变量范围限制 3相关点法动点关联已知曲线点坐标代换求解 常考结论
【例1】（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切于点，是圆上一动点，点满足 ，且以为圆心，为半径的圆恰与相切，则当取最小值时，点的坐标可以为______.
题型2 由几何性质求圆锥曲线的标准方程
知识点解析 1椭圆 2双曲线 3抛物线 解题方法 1先判断焦点轴设对应标准方程 2利用顶点焦距离心率定点条件求 常考结论 椭圆双曲线渐近线随焦点轴切换抛物线为焦点到准线距离
【例2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______.
【变式2-1】（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________.
【变式2-2】（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
题型3 与圆锥曲线定义有关的最值问题
知识点解析 1利用曲线定义转化线段避开复杂运算 2焦半径存在固定取值区间 解题方法 1椭圆定值和转化结合三点共线求最值 2双曲线距离差定值限定单双分支 3抛物线焦点距离等价准线距离几何化秒杀 常考结论 椭圆焦半径 抛物线
【例3】【多选题】（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
【变式3-1】【多选题】（2026·辽宁锦州·模拟预测）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】【多选题】（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ）
A．若，则点P的坐标为
B．若，则的最小值为6
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
题型4 圆锥曲线的焦点三角形问题
知识点解析 1曲线上动点与两焦点构成三角形 2结合正余弦定理边长角度面积综合考查 解题方法 1联立曲线定义与余弦定理构造边角关系 2直接套用二级面积公式快速运算 常考结论
【例4】【多选题】（2026·重庆九龙坡·一模）已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．
C．直线 的斜率为 2 D．
【变式4-1】【多选题】（2026·四川泸州·模拟预测）已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若，则（ ）
A．|OH|＝2 B．
C．双曲线C的渐近线方程是 D．四边形的面积为15
【变式4-2】【多选题】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ）
A． B．
C．的渐近线方程为 D．的面积为
题型5 圆锥曲线的中点弦长问题
知识点解析 1中点弦核心为点差法弦长依托韦达定理 2斜率垂直关系为高频考点 解题方法 1点差法两点代入作差快速求中点弦斜率 2通用弦长公式结合判别式计算 常考结论 椭圆中点弦
【例5】（2026·河北·模拟预测）已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______.
题型6 与椭圆性质有关的综合题型
知识点解析 1离心率对称性焦半径公式 2常与向量不等式范围问题交汇 解题方法 1利用对称简化计算齐次化求解离心率 2坐标转化处理向量数量积 常考结论
【例6】【多选题】（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．
D．存在点，使得
【变式6-1】【多选题】（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ）
A．的周长为
B．若，则的最小值为
C．满足是直角三角形的点有 8 个
D．的最大值为
【变式6-2】【多选题】（2026·四川广安·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ）
A．的短轴长为 B．的焦距为2
C．的周长为8 D．的离心率为
题型7 与双曲线性质有关的综合题型（渐近线）
知识点解析 1离心率渐近线为核心特色考点 2焦点到渐近线距离为定值 解题方法 1渐近线方程直接列式结合距离公式求解 2由渐近线斜率快速推导离心率 常考结论 渐近线 焦点到渐近线距离
【例7】【多选题】（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的离心率为2
C．面积的最小值为 D．直线，的倾斜角之和为
【变式7-1】【多选题】（2026·甘肃酒泉·二模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则双曲线的离心率为
C．若双曲线的离心率为，则
D．若为线段的中点，则双曲线的离心率为
【变式7-2】（2026·广东佛山·一模）设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为
C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为
题型8 与抛物线有关的综合题型
知识点解析 1离心率定义等价转化为核心 2焦点弦存在固定坐标乘积结论 解题方法 1准线等距转化解决最值与距离问题 2焦点弦设线联立用韦达定理秒杀 常考结论
【例8】（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（ ）
A． B．．
C．可能为锐角 D．三点共线
【变式8-1】【多选题】（2026·湖南·二模）设抛物线的焦点为，到准线的距离为，过的直线交于、（在第一象限）两点，过点作准线的垂线，垂足为，直线交轴于点，则（ ）
A．抛物线的方程为 B．若，则
C．若，则 D．若，则直线AB的方程为
【变式8-2】【多选题】（2026·湖北十堰·二模）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（ ）
A．若，则直线的斜率为
B．若过点的的切线与交于点，则
C．若的面积为，则
D．若，则直线的倾斜角为
题型9 直线与圆及圆锥曲线的综合题型
知识点解析 1以直线圆几何性质为载体结合曲线位置关系 2多考查距离相切范围最值 解题方法 1先判定直线与圆位置对比分析 2圆心距加减半径求解曲线上动点距离最值 常考结论 点到直线距离公式
【例9】（2026·四川·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，若抛物线与椭圆共焦点，为椭圆与抛物线的一个公共点，且在中，，则椭圆的离心率为__________.
【变式9-1】（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.
【变式9-2】（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________．
题型10 求圆锥曲线的离心率
知识点解析 1核心求量依托等量关系 2几何条件齐次化是通用思路 解题方法 1几何法直角三角形相似焦点三角形构造等式 2齐次法条件化为二次齐次式同除 3双曲线可借助渐近线斜率快速求解 常考结论 椭圆双曲线
【例10】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知双曲线，为右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，点，在轴两侧，，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式10-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
【变式10-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2026·陕西·二模）已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2026·青海西宁·二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过抛物线上另一点反射后射出，经过点，且轴，则（ ）
A． B． C．4 D．
5．（2026·辽宁沈阳·三模）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左 右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（ ）
A．14 B．14或17 C．22 D．14或22
7．（2026·湖南·一模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
9．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
10．（2026·浙江杭州·二模）设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
11．（2026·河北沧州·二模）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2026·江西上饶·一模）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ）
A． B． C． D．
13．（2026·河北邢台·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，H是C上异于左、右顶点的点，则（ ）
A．的周长为12
B．存在点H，使得
C．当内切圆的半径为时，
D．当直线l被C所截得线段AB的中点是时，直线l的方程为
14．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与椭圆的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为
B．若，则点的横坐标为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
15．（2026·河南焦作·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（ ）
A．的方程为
B．
C．的最大值为9
D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1
16．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，双曲线的离心率是，左、右顶点分别为，直线与双曲线交于两点，与交于点，下列说法正确的是（ ）
A．可能是等腰直角三角形 B．当是等边三角形时，
C．直线斜率之积为定值 D．点在以为直径的圆上
三、填空题
17．（2026·河北衡水·一模）已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则______，点到轴的距离为______.
18．（2026·湖北黄石·一模）已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________.
19．（2026·重庆渝中·二模）已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______．
20．（2026·河北邯郸·二模）用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________．

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