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秘籍09 几何体的表面积、体积全攻略（九大热点题型）
（含导数法求体积表面积的最值）
题型 考情分析 考向预测
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 2025年新高考卷Ⅰ：第17题考查了 多面体与球的外接问题 2025年新高考卷Ⅱ：第7题考查了正三棱台结构特征及棱台体积公式 第12题考查了空间几何体组合体，即圆柱与球的内切/外切关系 2024年新高考卷Ⅰ： 第7题考查了， 圆柱、圆锥侧面积公式， 圆锥体积公式， 空间几何体表面积与体积计算 选择题中可能会出：三视图还原几何体（直四棱柱）的表面积与体积问题；也可能是台体表面积与体积问题
2.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
4.圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积
5.球的表面积与体积
6.组合体体的表面积与体积
7.多面体的外接球的表面积与体积
8.旋转体的外接球的表面积与体积
9.内切球与棱切球的表面积与体积
题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积． (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．正棱台的表面积． (1)注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． (2)一是把基本量转化到直角梯形中解决问题． (3)二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．
【例1】 （2026·福建泉州·二模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ）
A． B． C．18 D．
【答案】B
【详解】由题意，设上下底面中心分别为，则，
分别取中点，则为梯形的高，
由可得，，
作，垂足为，
则，，
则，
则.
故选：B.
【变式1-1】（25-26高三上·山东聊城·期末）粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设正四棱锥底面正方形的边长为，正四棱锥的斜高为，则正四棱锥的高为，
由题知，即，所以，
解得或（舍）
故选：C.
【变式1-2】（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上 下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接.
设四棱台的高为，
则.
由图知，,
设正四棱台的斜高.
所以正四棱台的侧面积为：.
故选：D
题型2棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1．棱柱、棱锥、棱台的体积． (1)圆柱:V=πr2h(r是底面半径,h是高); (2)圆锥:V=πr2h(r是底面半径,h是高); (3)圆台:V=πh(r',r分别是上、下底面半径,h是高). 2．正棱台的表面积和体积． (1)注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． (2)一是把基本量转化到直角梯形中解决问题． (3)二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．
【例2-1】（2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________．
【答案】
【详解】设正三棱柱的高为，底面正三角形边长，
侧面积：，
底面积：，
两个底面的总面积为，
表面积： ，
依题意得：，
代入得：
化简求解：，
正三棱柱体积：.
【例2-2】（2026·湖南·二模）如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】形成的正四棱锥如图所示，取BC中点，连接SM，OM，
由题易知SM为等腰三角形SBC的高，所以，设，中，
则，正四棱锥的体积，
令，其中即，
正四棱锥的体积最大即取得最大值，，
令得到，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在时正四棱锥的体积最大．
【变式2-1】（2026·北京朝阳·一模）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥.当平面平面时，______；当平面平面时，三棱锥的体积为______.
【答案】 /
【详解】在边长为1的菱形中，，则是正三角形，
在三棱锥中，取中点，连接，则，
由平面平面，平面平面，平面，得平面，
又平面，则，而，因此；
取中点，连接，由，得，
则是二面角的平面角，又平面平面，于是，
由，得，，
又，所以三棱锥的体积.
【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示．
因为为棱的中点，所以，又，
所以四边形是平行四边形.所以.
由，且，得是的中位线，所以分别为的中点，
故，与的面积比为.
所以三棱锥是正四面体.
取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以．
因为为正三角形，，．
在中，．
所以正四面体的体积为.
所以．
题型3 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积． (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面． (2)计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算． (3)表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【例3-1】（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【详解】依题意，该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，则由可得，
故该圆锥的侧面积为.
【例3-2】（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为，
圆锥的母线，
圆锥的侧面积是，，得，解得;
圆台的母线，
圆台侧面积为．
【变式3-1】（25-26高二上·四川泸州·期末）圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为，
依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为，
因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得，
则圆锥的高为，
所以圆锥的高与圆柱的高之比为.
故选：C.
【变式3-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为，
由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为，
所以得到的几何体的表面积为.
所以当时得到的几何体的表面积最大为.
故选：B
题型4 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积
圆柱、圆锥、圆台的体积． (1)要注意利用好几何体的轴截面． (2)准确求出几何体的高和底面积． 2. 圆柱、圆锥、圆台的体积求法 (1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出; (2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积; (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.
【例4-1】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h ，h ，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V 与圆柱的体积V 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有，
整理得，因，
代入化简得
解得：，代入，可得，
因，，
则，
故.
【例4-2】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】

设圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则，
解得，则，
所以该圆台的体积为.
故选：C
【变式4-1】 （北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________
【答案】
【详解】已知圆柱底面半径，高，圆锥高，且圆锥底面与圆柱上底面重合，故圆锥底面半径也为。
（1）体积的计算
∵ 圆柱体积公式为，
∴ 。
∵ 圆锥体积公式为，
∴ 。
∴ 组合体体积。
（2）表面积计算
先求圆锥母线长，由勾股定理：
∵ ，
∵ 圆锥侧面积公式为，
∴ 。
∵ 圆柱侧面积公式为，
∴ 。
∵ 圆柱下底面积公式为，
∴ 。
∵ 圆锥底面与圆柱上底面重合，属于内部面，不计入外露表面积，
∴ 组合体表面积。
【变式4-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设圆台上、下底面圆的半径分别为，圆台上、下底面圆的面积分别为，圆台高为，母线长为，
因为圆台的上、下底面的面积分别为，，
所以，，解得，，
由题意得，圆台的侧面积为，所以，
作圆台的轴截面，如图：
所以圆台的高，
所以圆台的体积.
故选：C.
题型5 球的表面积与体积
球的表面积与体积公式. 球的表面积:S球=4πR2; 球的体积:V球=πR3.(其中R为球的半径) 2.求球的表面积与体积的关注点 (1)一个关键:球的半径; (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
【例5-1】 （2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．

【答案】
【详解】由半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体为一个半径为的半球，
所以几何体的体积为.
故答案为：.

【例5-2】（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，
所以该圆锥的表面积为，
设球O的半径为R，则球O的表面积为，
由题意知，所以，
圆锥的体积，球O的体积，
所以.
【变式5-1】 （2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________．
【答案】
【详解】设正方体的棱长为，则，解得．
又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，
所以球的半径长是，
所以此球的体积为．
故答案为：.
【变式5-2】 （辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）圆锥的底面半径与球的半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥与球的体积之比为（ ）
A．1:3 B．1:2 C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥母线长为l，底面半径为r，高为h，
，
,即圆锥母线长是底面半径的3倍.
又因为,且，可得.
.
题型6 组合体体的表面积与体积
组合体体的表面积与体积： （1）解题先拆分组合体，明确由柱、锥、球等基本几何体构成。 （2）求体积直接分割或补形，分别计算再加减。 （3）算表面积需重点扣除重合贴合面，避免重复计算。 （4）牢记基础公式，注意几何体棱长、高、半径等量的转化，留意外接、内切特殊位置关系，结合数形结合快速解题。
【例6-1】（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I，

则多面体可以分成8个全等三棱锥，
则，且平面，，
则，
该“十字贯穿体”的体积即为.
【例6-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________．
【答案】
【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面，
取MN的中点H，连接，因为平面，
所以平面平面，所以，
又因为平面，
所以平面，，，
所求几何体的体积为
解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，
又，
所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱，
其中，，
因此，即，
根据三棱柱体积公式，，
故该几何体的体积是．
【变式6-1】 （25-26高三·全国·二轮复习）一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______.
【答案】
【详解】设圆锥的半径为，母线长为，高为，截去的小圆锥的半径为，母线长为，高为，
依题意，，则，，
又过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下的几何体为圆台，
所以，所以，
所以，，.
设圆台的母线长为，高为，
所以，
所以圆台的侧面积为：，
上底面积为，下底面积为，
所以圆台的表面积为，
故答案为：.
【变式6-2】 （2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______．
【答案】
【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为处作水平截面，半球壳的截面为圆环，
则圆环外半径为，内半径为，
则浸入水中部分的截面面积为，与无关，
发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为，底面半径为的圆柱的截面面积相同，
又浸入水中部分的深度为，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为．
，
梯形的面积.
四棱锥以为底面的高等于三角形的高，所以.
几何体体积为.
题型7 多面体的外接球的表面积与体积
外接球内切球问题． (1)空间问题尝试向平面进行转化，如恰当做出截面，建立多面体基本量与球的半径（直径）之间的数量关系． (2)化归到平面图形后，注意直角三角形的构造与勾股定理的使用． 2. 旋转体的“切”“接”问题的解题策略 在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面.
【例7】（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，
且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为，
则球的体积是.
【变式7】 （25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.
【答案】
【详解】正四棱锥中，设，连接，则平面，
设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，
因为正四棱锥的高为，所以，
底面正方形的边长为6，则有，所以即为，
正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为.
故答案为：
题型8 旋转体的外接球的表面积与体积
旋转体的外接球： (1)圆柱模型：外接球半径公式： （为该柱体的高，为上下底面外接圆的半径）． (2)圆锥模型：作出直角三角形，由勾股定理求解．
【例8-1】（2026·江西上饶·二模）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得，
则该圆锥的外接球表面积．
【例8-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上 下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设该圆台的上 下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为
，求解可得，
设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以，
设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得，
所以该圆台外接球的体积为.
【变式8-1】 （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设该圆锥的高为，所以，解得，
设球的半径为，由题意知，解得，
所以球的表面积为．
【变式8-2】（2026·陕西·模拟预测）已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆台上底半径为，则其下底半径为，高，
此圆台的体积，，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则当，即时，此圆台体积取得最大值，
设球的半径为，则球心到两个截面距离分别为，
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上，
则或，
解，无解；解，得，
所以此圆台的外接球的表面积为.
故选：C
题型9 内切球与棱切球的表面积与体积
球与多面体的接、切问题： (1)球心与多面体中心的位置关系． (2)球的半径与多面体的棱长的关系． (3)球自身的对称性与多面体的对称性． (4)能否做出轴截面．
【例9-1】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（ ）
A．108 B．108 C．162 D．
【答案】D
【详解】设正三棱柱的内切球的半径为 ，由题意可知，解得，
设正三棱柱的底面边长为 ，高为 ，内切球的球心位于棱柱的几何中心，
由于球与两个底面相切，球心到底面的距离为 ，且等于半径 ，则，
球与侧面相切，底面为正三角形，其内切圆半径（即几何中心到边的距离）为 ，
由于侧面垂直于底面，球心到侧面的距离等于底面内切圆半径，且等于 ，
则，正三棱柱的表面积由两个底面和三个侧面组成，
两个底面的面积为：，侧面为矩形，侧面的面积为 ，
所以总表面积为
故选：D
【例9-2】（四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测试题）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________．
【答案】
【详解】如图，作圆台的轴截面：

设，则，且，
由，则，
由，即，
所以，可得，
由题意，球与圆台的侧面切点所形成的曲线是以为直径的圆，其半径为，
所以曲线的长度为.
【变式9-1】 （25-26高三上·北京朝阳·期末）古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，
圆柱的高等于直径，圆柱的高等于，
球的体积为，，
，
圆柱的表面积公式为.
故选：D.
【变式9-2】 （25-26高三下·重庆·月考）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，
延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接，
则点是的中点，为正四面体内切球的半径，
，，
由正四面体的体积为，得，解得，
由，解得，
则，最大球半径，
因此最大球的表面积为；
小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高，
因此最小球半径，
因此最小球的表面积为，
所以5个球的表面积之和为.
单选题
1．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+12
【答案】B
【详解】设外接球的半径为r，则，解得，
设正三棱柱的底面边长为a，由题意知侧棱长为a，
如图所示：
设外接球的球心为O，底面的中心为，
则，
即，即，解得，
所以该三棱柱的表面积为，
故选：B.
2．（2026·北京昌平·一模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取的中点，的中点，连接，
如图所示：

因为，为的中点，所以，且，
过点作平面的垂线交于点，
又因为底面为矩形，所以，
故平面与平面的夹角为，，，
因为，平面，所以平面，
因为，所以平面，
又平面，则，
所以，
所以，
，
点到的距离为1，点到的距离为，
同理点到的距离为，
所以，
所以该四棱锥的侧面积为：
.
3．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上 下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆柱底面半径为，高为，已知球半径.
因为圆柱上下底面圆周都在球面上，球心在圆柱的轴线的中点，
由勾股定理得：，
所以，即，当且仅当.
则该圆柱侧面积为，故其最大值为.
4．（2026·四川·二模）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，圆锥轴截面对应三角形内接于球体最大圆时，球体的半径最小，此时表面积最小，
若圆锥的高为，而其底面半径为2，则，可得，
令球体半径为，则，可得，
所以球体表面积为.
5．（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h ，h ，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V 与圆柱的体积V 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有，
整理得，因，
代入化简得
解得：，代入，可得，
因，，
则，
故.
6．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，
所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图，
则，
则其外接球的半径为,
解得，所以，
7.（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．3：1
【答案】C
【详解】设它们底面圆半径为，母线长为，
记圆柱的表面积为，则，
记圆锥的表面积为，则，
所以圆柱与圆锥表面积之比.
故选：C
8．（2026·陕西咸阳·二模）已知圆锥的侧面积为，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则挖去的圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由母线与底面所成角是60°，知，，
所以侧面积为．
设挖去的圆柱底面半径为，高为，要圆柱体积最大，
首先有，所以，
圆柱的体积，，
则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取得最大值，最大值为．
9.（2026·吉林长春·二模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径.
因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高；
球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，
根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长；
由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：，
代入已知量得，解得；
代入球的表面积公式，得.
10.（2025·江西萍乡·二模）在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如下图所示：
因为平面，平面，平面平面，所以，
易知为等边三角形，故也为等边三角形，所以，
所以，
易知，故，故，
在正四面体中，，所以，
故，所以，
设点到平面的距离为，故.
11.（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取中点中点，，则，
由平面，平面平面，平面平面得平面，
由勾股定理知，可得，
设，可得，
同理，由知．
由勾股定理得，
于是三棱柱的体积，
记，
结合二次函数单调性可得，于是．
二、多选题
12．（广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题）已知正三棱柱的高为2，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ）
A．
B．平面平面
C．截面的面积为
D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
【答案】BCD
【详解】A选项，如图，取上底面，下底面的中心分别为，取的中点，
取中点，于是四边形为矩形，则，
于是，
又为等边三角形，则，A错误；
选项B，由于，且平面 平面，则平面，
又因为平面，平面平面，则，
如图，连接，由于，
则为平面与平面所成角的平面角，
由于，则，
于是平面平面，B正确；
选项C，如图，连接，交于点，过点作的平行线交于，
由于∽，则 ，则为上靠近的三等分点，
于是，由于为中点，为中点，
则四边形为等腰梯形，且，
于是，C正确；
选项D，由于正三角形与正三角形相似，三条侧棱延长相交于一点，
于是为正三棱台，
该三棱柱被截面分成两部分，分别为三棱台和剩余部分，
其中，同理可得，
三棱台的体积，
而三棱柱的体积，
于是截面所截的另一部分的体积，
则较小部分与较大部分的体积之比为，D正确．
13．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面平面ABCD，则
B．四棱锥的体积最大值为
C．点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
【答案】AD
【详解】对于A：因为平面平面，平面平面，
因为是中点，，所以，
所以，所以，平面，
所以平面，平面，所以，故A正确；
对于B：由已知梯形的面积为， ，直角斜边上的高为，
当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，故B错误；
对于C：如图1，取的中点，则，平行且相等，四边形是平行四边形，
所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，过点作的垂线，垂足为，，
点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，故C错误；
对于D：如图2，的外接圆的半径为，是的中点，外接圆的半径为2，
是圆与圆的公共弦，，设三棱锥外接球心为O，半径为，
则，
因为，所以，所以的最小值为2，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确．
填空题
14．（25-26高三·全国·二轮复习）柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为______．
【答案】
【详解】设圆台的高为，又圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
则圆台的体积，
解得，
所以圆台的母线，
所以圆台的侧面积．
15．（2026·河南南阳·模拟预测）已知圆台的上 下底面半径分别为，母线长为，若圆台的侧面积为，则该圆台的体积为__________.
【答案】
【详解】由题意知，，则，
则圆台的高为，
则该圆台的体积为.
故答案为：
16．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为______.
【答案】
【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
则底面正三角形的外接圆半径为，
由正三棱柱性质可知平面，所以是直线与平面所成角，
所以，则，所以，
取的中点，连接，则且，
又由正三棱柱性质可知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积为，
所以正三棱柱高为且底面正三角形的外接圆半径为，
所以该三棱柱的外接球的半径为，
所以该三棱柱的外接球的表面积为.
17．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________．
【答案】
【详解】
已知，即、均为边长为的等边三角形，
根据等边三角形面积公式（为边长）：，
因此，两个固定面的面积和为：；
取的中点，连接、，
由等边三角形“三线合一”的性质：，（三线合一），
因此是二面角的平面角，记（），
在中，，，
由勾股定理：
连接，在中，由余弦定理可得
在中，已知，，，
再由，得 ，
因此：
化简得：
由对称性可知，因此两个可变面的面积和为：
令，由得，
则需最大化二次函数：
该二次函数的二次项系数，开口向下，对称轴为：
对称轴 ，代入得 的最大值：
因此，可变面面积和的最大值为：
三棱锥表面积 ，代入最大值得：
三棱锥表面积的最大值为.
故答案为：.
18．（2026·四川·二模）已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________．
【答案】
【详解】
设正方体棱长为，体积为，
如图1，过O、M两点的平面与交于点，
过O、M两点的平面将正方体分为两部分，
记两部分的体积分别为、，设，
如图2，当时，两部分的体积分别为和，此时，
当时，如下图
的体积相对于时
增加了一个斜三棱柱的体积，
同时减少了多面体的体积，
观察上图发现增加的体积多于减少的体积，且其体积是连续变化的，
当，如下图的体积必然大于多面体的体积，
计算多面体的体积为，
，
所以多面体的体积为，
所以当，如下图的体积必然大于，
如下图，当截面与上底面的交点在上时，
考虑特殊情况为上的中点时，，此时，根据对称性，，
且从运动到上的中点过程中，同时一样，的体积必然大于，，
再根据对称性，及体积变化的连续性知，的取值范围是.
19．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____.
【答案】
【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心，
是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点.
分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点．
则，且，，．
过点作交于，显然，可知四边形为矩形，
且，
在直角三角形中，，
且为锐角，则，
由可得，所以，
在直角三角形中，，得，所以．
在直角三角形中，．
在直角三角形中，,．
即圆台的上底面半径，下底面半径，高．
可得圆台的体积，
所以水的体积为．
故答案为：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍09 几何体的表面积、体积全攻略（九大热点题型）
（含导数法求体积表面积的最值）
题型 考情分析 考向预测
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 2025年新高考卷Ⅰ：第17题考查了 多面体与球的外接问题 2025年新高考卷Ⅱ：第7题考查了正三棱台结构特征及棱台体积公式 第12题考查了空间几何体组合体，即圆柱与球的内切/外切关系 2024年新高考卷Ⅰ： 第7题考查了， 圆柱、圆锥侧面积公式， 圆锥体积公式， 空间几何体表面积与体积计算 选择题中可能会出：三视图还原几何体（直四棱柱）的表面积与体积问题；也可能是台体表面积与体积问题
2.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
4.圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积
5.球的表面积与体积
6.组合体体的表面积与体积
7.多面体的外接球的表面积与体积
8.旋转体的外接球的表面积与体积
9.内切球与棱切球的表面积与体积
题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积． (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．正棱台的表面积． (1)注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． (2)一是把基本量转化到直角梯形中解决问题． (3)二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．
【例1】 （2026·福建泉州·二模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ）
A． B． C．18 D．
【变式1-1】（25-26高三上·山东聊城·期末）粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上 下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
题型2棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1．棱柱、棱锥、棱台的体积． (1)圆柱:V=πr2h(r是底面半径,h是高); (2)圆锥:V=πr2h(r是底面半径,h是高); (3)圆台:V=πh(r',r分别是上、下底面半径,h是高). 2．正棱台的表面积和体积． (1)注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． (2)一是把基本量转化到直角梯形中解决问题． (3)二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．
【例2-1】（2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________．
【例2-2】（2026·湖南·二模）如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式2-1】（2026·北京朝阳·一模）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥.当平面平面时，______；当平面平面时，三棱锥的体积为______.
【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型3 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积． (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面． (2)计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算． (3)表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【例3-1】（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
【例3-2】（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（25-26高二上·四川泸州·期末）圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
题型4 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积
圆柱、圆锥、圆台的体积． (1)要注意利用好几何体的轴截面． (2)准确求出几何体的高和底面积． 2. 圆柱、圆锥、圆台的体积求法 (1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出; (2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积; (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.
【例4-1】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h ，h ，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V 与圆柱的体积V 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【例4-2】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】 （北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________
【变式4-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
题型5 球的表面积与体积
球的表面积与体积公式. 球的表面积:S球=4πR2; 球的体积:V球=πR3.(其中R为球的半径) 2.求球的表面积与体积的关注点 (1)一个关键:球的半径; (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
【例5-1】 （2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．

【例5-2】（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】 （2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________．
【变式5-2】 （辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）圆锥的底面半径与球的半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥与球的体积之比为（ ）
A．1:3 B．1:2 C． D．
题型6 组合体体的表面积与体积
组合体体的表面积与体积： （1）解题先拆分组合体，明确由柱、锥、球等基本几何体构成。 （2）求体积直接分割或补形，分别计算再加减。 （3）算表面积需重点扣除重合贴合面，避免重复计算。 （4）牢记基础公式，注意几何体棱长、高、半径等量的转化，留意外接、内切特殊位置关系，结合数形结合快速解题。
【例6-1】（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【例6-2】 （2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________．
【变式6-1】 （25-26高三·全国·二轮复习）一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______.
【变式6-2】 （2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______．
题型7 多面体的外接球的表面积与体积
外接球内切球问题： (1)空间问题尝试向平面进行转化，如恰当做出截面，建立多面体基本量与球的半径（直径）之间的数量关系． (2)化归到平面图形后，注意直角三角形的构造与勾股定理的使用． 2. 旋转体的“切”“接”问题的解题策略 在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面.
【例7】（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式7】 （25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.
题型8 旋转体的外接球的表面积与体积
旋转体的外接球： (1)圆柱模型：外接球半径公式： （为该柱体的高，为上下底面外接圆的半径）． (2)圆锥模型：作出直角三角形，由勾股定理求解．
【例8-1】（2026·江西上饶·二模）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上 下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】 （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2026·陕西·模拟预测）已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型9 内切球与棱切球的表面积与体积
球与多面体的接、切问题： (1)球心与多面体中心的位置关系． (2)球的半径与多面体的棱长的关系． (3)球自身的对称性与多面体的对称性． (4)能否做出轴截面．
【例9-1】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（ ）
A．108 B．108 C．162 D．
【例9-2】（四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测试题）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________．
【变式9-1】 （25-26高三上·北京朝阳·期末）古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式9-2】 （25-26高三下·重庆·月考）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ）
A． B． C． D．
单选题
1．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+12
2．（2026·北京昌平·一模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
3．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上 下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川·二模）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h ，h ，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V 与圆柱的体积V 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
6．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．3：1
8．（2026·陕西咸阳·二模）已知圆锥的侧面积为，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则挖去的圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.（2026·吉林长春·二模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10.（2025·江西萍乡·二模）在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
11.（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题）已知正三棱柱的高为2，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ）
A．
B．平面平面
C．截面的面积为
D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
13．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面平面ABCD，则
B．四棱锥的体积最大值为
C．点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
填空题
14．（25-26高三·全国·二轮复习）柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为______．
15．（2026·河南南阳·模拟预测）已知圆台的上 下底面半径分别为，母线长为，若圆台的侧面积为，则该圆台的体积为__________.
16．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为______.
17．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________．
18．（2026·四川·二模）已知正方体，O为的中心，M为的中点，过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为，，则的取值范围为_____________．
19．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____.
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