资源简介

秘籍08 破解空间几何体外接球、内切球
及棱切球的十二大题型
题型 考情分析 考向预测
1. 特殊几何体的外接球问题 2025年新高考卷Ⅱ：第14题考查了圆柱内双球相切 2023年甲卷（理）第15题、甲卷（文）第16题、乙卷（文）第16题：都考查了多面体外接球 2022年新高考卷Ⅰ： 第8题考察了正四棱锥外接球 2022年新高考卷Ⅱ： 第7题考察了三棱锥外接球 外接球必考（选填 5 分），以墙角型、对棱相等型、正棱锥、直棱柱为核心，可能结合组合体、截面、动态最值创新；内切球低频但需掌握（正四面体、正棱锥）；棱切球不考。熟练补形法、球心定位、勾股定理；内切球用体积分割法；重点练外接球半径公式、截面性质、最值范围，强化空间转化与计算精度。
2. 墙角问题
3. 对棱相等几何体的外接球问题
4. 侧棱垂直于底面的几何体外接球问题
5. 侧面垂直于底面的几何体外接球问题
6. 二面角与球体综合问题
7. 球体中的最值问题
8. 球心不确定问题
9. 内切球问题
10. 棱切球问题
11. 数学文化与球体综合
12. 球体在解答题中的应用
题型1 特殊几何体的外接球问题
定义：正方体、长方体、正四面体、正棱柱（正三棱柱、正四棱柱等）、正棱锥（正三棱锥、正四棱锥等）等规则几何体，其所有顶点都在同一个球面上（即各顶点共球），该球称为几何体的外接球，此类问题为球接切基础题型。 性质：① 外接球球心是几何体的对称中心，到几何体所有顶点的距离相等（均等于外接球半径R）；② 长方体、正方体的外接球球心为其体对角线中点，体对角线即为外接球直径；③ 正棱柱的外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处；④ 正四面体的外接球与内切球球心重合，且外接球半径是内切球半径的3倍。 解题方法：利用几何体对称性质确定球心；长方体 / 正方体体对角线为外接球直径；正几何体球心在中心轴上，结合勾股定理求半径。
【例1】（2026·江西·一模）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方法一：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为，
由正三角形的性质，，
；
由，得，解得，
该球的表面积为．
故选：A．
方法二：如下图
在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体，
可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为.
立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径，
外接球的表面积为.
故选：A.
【变式1】（2026·浙江·高三月考）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，
可得，则，
所以正三棱柱外接球的体积为.
故选：D
题型2 墙角问题
定义：三棱锥的三条侧棱两两垂直（即PA⊥PB、PB⊥PC、PC⊥PA），形似空间中的墙角结构，本质是“三条两两垂直棱构成的三棱锥外接球问题”，是高考高频模型。 性质：① 该三棱锥可补成一个长方体，且与长方体外接球共球心、共半径；② 三条两两垂直的侧棱长度分别对应补成长方体的长、宽、高；③ 外接球球心为补成长方体的体对角线中点，体对角线即为外接球直径。 解题方法：将三条两两垂直棱补成长方体，外接球与长方体外接球相同；体对角线即为球的直径，直接套用直径公式求解半径与表面积、体积。
【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ．
【答案】
【详解】将三棱锥补形为棱长为的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同，
其半径是正方体的体对角线长的一半，为，所以球的体积为.
故答案为：.
【变式2】（25-26高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且，
以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，
则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心，
三棱锥的外接球半径为，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
题型3 对棱相等几何体的外接球问题
定义：三棱锥中，三组对棱长度分别对应相等（即AB=CD、AC=BD、AD=BC），此类几何体无法直接通过对称性定位球心，需转化模型求解外接球。 性质：① 对棱相等的三棱锥可嵌入一个长方体，三组对棱分别对应长方体的三组面对角线；② 嵌入的长方体外接球与该三棱锥外接球为同一个球，球心为长方体体对角线中点；③ 长方体的长宽高满足对应面对角线等于三棱锥对棱长度。 解题方法：嵌入长方体中，把三组对棱看作长方体面对角线；借助长方体长宽高关系，建立方程求解外接球半径。
【例3】（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线，
设这个长方体各棱长分别为，则有，
各式相加得，
设外接球半径为，则有，
外接球表面积.
故选：C．
【变式3-1】（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则 故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
【变式3-2】（2026·河北·一模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
题型4 侧棱垂直于底面的几何体外接球问题
定义：棱锥（四棱锥、三棱锥等）或棱柱（直棱柱）中，一条或多条侧棱与底面所在平面互相垂直（侧棱⊥底面），此类问题核心是“侧棱垂直+底面外接圆”的结合。 性质：① 外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上；② 若侧棱垂直底面，球心到底面的距离等于侧棱长的一半；③ 球心到几何体所有顶点的距离相等，构成以R为斜边、底面外接圆半径r和球心到底面距离d为直角边的直角三角形。 解题方法：取底面多边形外接圆圆心，作底面垂线；结合侧棱中点垂线，两线交点即为球心；构造直角三角形，利用勾股定理计算球半径。
【例4】（25-26高三上·南昌·期中）在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：三棱锥的体积为，，
，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
是边长为的正三角形，
外接圆的半径，
球的半径为R=，
球O的表面积为．
故选D．
【变式4】（25-26高三上·天津红桥·期中）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（ ）
A．10π B．12π C．16π D．20π
【答案】D
【详解】
解: 在中,
可得，
所以,
由正弦定理,可得外接圆半径,
设此圆圆心为,球心为，球的半径为，
由球的性质可知：平面，
在平面内，
所以，
在中,，
所以球半径,
故此球的表面积为
故选：D
题型5 侧面垂直于底面的几何体外接球问题
定义：几何体的某一个侧面与底面所在平面互相垂直（面面垂直），在此背景下，求解几何体的外接球半径、表面积等问题，核心是利用面面垂直性质定位球心。 性质：① 过侧面与底面交线的垂线（在侧面内），必垂直于底面；② 外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上，同时也在过垂直侧面外接圆圆心且垂直于该侧面的垂线上；③ 球心到两个垂直面的距离，分别与两个面的外接圆半径、R构成直角三角形。 解题方法：利用面面垂直性质确定垂线；分别找底面与垂直侧面的外心，作垂线确定球心；结合二面角、边长关系列式求半径。
【例5】（2026·黑龙江·二模）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取的中点，连接，，
因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，
所以⊥，⊥，
因为平面平面，交线为，且平面，
所以⊥平面，
在上取点，使得，故为等边三角形的中心，
该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为，
其中，，，
设，连接，过点作⊥于点，
则，，，
设，则，
即，解得，
所以，该三棱锥外接球的表面积是.
故选：C
【变式5】（2026·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，
所以，因此点就是球心，又，
故是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
设球半径为，则，，则，，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球的表面积为.

故选：A.
题型6 二面角与球体综合问题
定义：以二面角为已知条件，结合多面体（三棱锥、四棱锥等）的外接球，考查球半径、表面积、体积，或二面角与球心位置、半径的综合关系，属于中档偏难题型。 性质：① 二面角的平面角θ，决定两个半平面的相对位置，进而影响两个半平面外接圆圆心的距离；② 外接球球心到两个半平面的垂线，分别垂直于对应半平面，且垂足为各自半平面的外接圆圆心；③ 球心、两个半平面外接圆圆心，构成一个四边形，其中两个直角对应线面垂直关系。 解题方法：确定二面角平面角，找准两个面的外接圆圆心；根据二面角大小、圆心距、底面外接圆半径，构造几何关系求解球心与半径。
【例6】（2026·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为，
是四面体外接球球心，
由于和都是边长为的正三角形，
所以，
且分别在靠近E的三等分点处.
根据二面角 的大小为 及球的性质可知：
平面，平面，所以，
由于，所以四边形是正方形，
，，
设四面体外接球的半径为，则.
所以外接球的表面积为.
故选：A
【变式6-1】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得，.
记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变，
即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故选：A.
【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设的中点分别为，连接，
则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，
所以，进而，所以为二面角的平面角，故．
因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接，
因为为的中点，则，
又，，所以平面，所以，
又，，所以平面，所以，
同理得，
由，可知，且，所以平分，
因为，，所以，在中，，，
所以，即三棱锥外接球半径为．
所以所求体积为．
故选：C.
题型7 球体中的最值问题
定义：限定几何体的结构（如棱长固定、面面积固定、二面角固定等），求解外接球/内切球的半径、表面积、体积，或球面上两点间距离、点到球心距离等的取值范围、最大值或最小值，是高考高频创新题型。 性质：① 最值多出现在几何体运动的临界位置（如共面、垂直、顶点共线等）；② 外接球半径R的最值，与几何体的约束条件（棱长、角度、面积）直接相关，可通过构造函数或几何关系转化；③ 球面上两点间的最短距离为过两点的大圆劣弧长，最值由圆心角决定。 解题方法：建立变量关系，结合几何约束构造函数；利用几何临界位置、不等式或导数分析最值，依托球的基本性质化简运算。
【例7】（2026·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，扇形的弧长，
所以该圆锥的底面圆的半径，
所以该圆锥的高．
设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：
则依题意得，
所以，
所以该球的体积V的最大值是．
故选：D
【变式7-1】（2026·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切，
设圆的半径为，则，
由，所以，所以，
作，由，
所以，又，所以，
又，，
所以，
即，
所以球的表面积的最大值为，
故选：C.
【变式7-2】（2026·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 .
【答案】
【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为，
因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，
侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，
又，所以正四棱锥的体积
.
设，
则，
当时，，即在单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，所以.
此时，，，
设该正四棱锥外接球的半径为，则，
解得，故其外接球表面积.
故答案为：.
题型8 球心不确定问题
定义：几何体结构不规则（如非规则三棱锥、多面体拼接），无明显对称中心，无法通过几何对称性直接确定球心位置，需通过代数方法求解的外接球问题，难度较高。 性质：① 尽管球心位置不确定，但球心到几何体所有顶点的距离相等（均为R）；② 可通过建立坐标系，将几何问题转化为代数方程组求解。 解题方法：设球心坐标或空间动点，利用顶点到球心距离相等列方程；通过方程组求解球心位置与外接球半径。
【例8】（2026·宁夏银川·二模）如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，，∴与都是边长相同的等边三角形，
∵，∴，∵，
∴，∴，，中，，
由勾股定理得，
∴球的半径，
∴三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A．
【变式8】（2026·江西南昌·二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据正方体，得，，所以平面，
四边形是矩形，其中，，
的三边为，
，，
，
设的外接圆半径为，则，
于是，
设矩形的外接圆半径为，则，
设球心为，过作平面，垂足为，
过作平面，垂足为，
则是矩形的外心，是三角形的外心，
取中点，则，
于是平面，
所以四边形是矩形.
设球半径为，，
则，
于是球的表面积为.
故选：D.
题型9 内切球问题
定义：与几何体的所有面都相切的球体，球心到几何体各个面的距离都等于球的半径r，且内切球在几何体内部，仅规则几何体（正方体、正四面体、正棱锥）有唯一内切球。 性质：① 内切球球心是几何体的内心，到各个面的距离相等（均为r）；② 正多面体的内切球与外接球球心重合； 解题方法：核心使用等体积法：；结合全面积与几何体体积，直接求解内切球半径。
【例9】（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
【答案】A
【详解】
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径，
∵，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
【变式9-1】（2026·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.
又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，
圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积.
故选：A.
【变式9-2】（2026·重庆·一模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，
由正四面体结构特征可知G为的中心，面，
设E为中点，球O和球分别与面相切于F和.
易得，，，
由可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即空隙处的最大球的半径为.
所以空隙处的最大球的体积为为.
故选：D
题型10 棱切球问题
定义：与几何体的所有棱都相切的球体，区别于内切球（与所有面相切），球心到几何体每条棱的距离都等于球的半径r，高考中属于低频考点，仅在少数模拟题中出现。 性质：① 棱切球球心到所有棱的距离相等，且球心在几何体的对称中心上；② 正方体的棱切球直径等于其面对角线长度；③ 正四面体的棱切球与外接球、内切球球心重合，半径介于内切球与外接球之间。 解题方法：高考低频考点，仅掌握正四面体、正四棱锥模型；利用几何体中心对称性，结合棱距公式求解半径，了解基础模型即可。
【例10】（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .
【答案】
【详解】可采用补体的方法，先画一个正方体，
正方体的棱长为322，那么正方体的面对角线为3，
取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，
所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长的一半，即342，
这样球的表面积为S=4πR2=4π×(342)2=92π.
故答案为：92π
【变式10-1】（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【答案】
【详解】将三棱锥补全为正方体，如下图所示：
则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球，
设正方体棱长为，则，解得：，
所求的球的半径，球的体积.
故答案为：.
【变式10-2】（2026·宁波·一模）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 .
【答案】
【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，
由正三角形性质知，
与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，
球体积为．
故答案为：．
题型11 数学文化与球体综合
定义：以古代建筑（斗拱、宫殿）、传统器皿（铜鼎、陶罐）、古代几何典籍（《九章算术》）等数学文化为背景，包装球与多面体的接切问题，考查提取几何信息、转化问题的能力。 性质：① 本质是常规球接切问题，仅增加文化背景包装，几何结构不变；② 题目给出的文化场景中，隐含几何体的棱长、边长、形状等关键几何信息；③ 解题核心是剥离文化背景，转化为常规模型。 解题方法：剥离文化背景，提取几何数据与空间结构；转化为常规外接球、组合体问题，套用对应模型方法计算。
【例11】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面，
可得，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以，
设此时球的半径为R，则，
即，解得，
所以球的体积V的最大值为.
故选：C
【变式11-1】（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（ ）
A．30 cm B． C．36 cm D．
【答案】B
【详解】解：设实心铁球的半径为R，则 ，解得，
则实心铁球的体积为 ，
设正四棱台的实心铁锭的高为h，
因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，
则 ，解得
故选：
【变式11-2】（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接AC，BD，设，
因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，
则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．
连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，
连接EP，FQ，在与中，易知，
所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．
设，球O的半径为R，连接OE，OA，
当O在线段上时，由球的性质可知，
易得，则，此时无解．
当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，
，解得，所以，
所以球O的表面积，
故选：D．
题型12 球体在解答题中的应用
定义：在立体几何解答题中，结合线面垂直、面面垂直的证明、空间角（异面直线夹角、线面角）、体积计算等，综合考查球的外接、内切相关计算，多为大题第2、3问，侧重综合应用。 性质：① 需先证明空间位置关系（线面垂直、面面垂直），再利用该关系定位球心；② 分步得分，证明部分占分，球的计算部分占分，步骤规范性要求高；③ 常结合多面体体积、表面积，综合考查运算求解能力。 解题方法：先完成线面、面面位置关系证明；分步求解底面边长、外接圆半径、球心位置；规范书写几何推理过程，分步列式，综合求值。
【例12】（2026·四川攀枝花·二模）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，，，可得：，
则由勾股定理得：，又，，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
则四面体满足平面，，
因此这个四面体可以放在一个长方体里，
所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，
因为，所以外接球的半径，
即该外接球的体积，
（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由于平面，，，,
设，则，
即，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，解得
故
【变式12-1】（25-26高三上·山西·期末）如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
(1)求三棱锥外接球的表面积；
(2)当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）解：因为和均为以为斜边的直角三角形，
所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，
所以外接球表面积.
（2）证明：当平面平面时，
因为，平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设P点坐标为（），
由，，得
解得，，即P点坐标为，
，.
设平面，
所以所以令，得，
易知为平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【变式12-2】（25-26高三上·河南·期末）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.
(1)证明：平面；
(2)求四面体的外接球的体积；
(3)求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，，
所以，即.
又因为，，、平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，所以，
由题可知，
将四面体补成长方体，如下图所示：
所以四面体的外接球即为长方体的外接球，
该球的直径为，
即，所以四面体ACDE的外接球的体积为.
（3）因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，则、、、，
则，，
，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
设平面的法向量为，
则，取，则，
因为，解得，
于是.
1．（25-26高三上·云南楚雄·期中）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径，
所以球的表面积为．
故选：A．
2．（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设球心，半径为，
由，得到，解得，
所以，则该四面体外接球的表面积为，
故选：B.
3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合，
正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为，
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，
由正弦定理得：，而为的中点，则，
所以该三棱锥的外接球的体积为.
故选：A
4．（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过作圆台的轴截面，如图所示
为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍，
不妨设圆的半径，则圆的半径
依题意，
，，
，
故选：D.
5．（2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点，
又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上，
因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，，
因为平面，与平面所成的角为，
则，从而，
设球O的半径为R，在中，，则，解得，
所以球O的表面积为.
故选：B．
二、多选题
6．（25-26高三上·广东湛江·月考）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（ ）
A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱
C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球
【答案】BD
【详解】对于A，圆锥的体积为，表面积为，
所以，故A错误；
对于B，圆柱的体积为，表面积为，
所以，故B正确；
对于C，圆台的体积为，
表面积为：，
所以，故C错误；
对于D，球的体积为：，表面积为：，
所以，故D正确．
故选：BD．
二、填空题
7．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
【答案】
【详解】由题意，该正四棱柱的体对角线为外接球的直径，设外接球半径为R，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故答案为：
8．（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是 .
【答案】
【详解】因为，
所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为，
所以外接圆的半径为.
又球心到截面的距离，
根据球的截面性质得，，整理得.
所以球的表面积为.
故答案为：.
9．（2026·上海静安·一模）已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ．
【答案】/
【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为，
则由题意得，，则，
则.
故答案为：
10．（2026·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】如图：

在中，，，所以.
取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.
连接，因为，所以.
又（）.
所以，即.
又平面，，所以平面.
所以.
所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，
在中，，，,
由.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
11．（2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ．
【答案】
【详解】设正三角形的外接圆半径为.
根据正弦定理可得，，所以.
设球O的半径为，则，.
所以球O的体积为.
故答案为：.
12．（25-26高三上·重庆·月考）正方体的棱长为，为侧面内的动点（含边界），若、分别与直线所成角的正切值之和为，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】在正方体中，，
所以与直线所成角为，与直线所成角为，
因为平面，平面，所以，
所以，同理，
由题意可知，可得，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，由余弦定理可得
，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，此时为等腰直角三角形，
因为，此时点，
易知点、、，
设三棱锥的外接球球心为，
由可得，解得，
即点，此时三棱锥的外接球半径为，
故其外接球的表面积为.
故答案为：.
三、解答题
13．（25-26高三上·云南楚雄·月考）如图，等腰梯形中，，垂足为点，延长线段至点，使得．将沿翻折至的位置，使得．

(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分几何体的外接球的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
在中，因为，所以，
,可得．
因为平面，
所以平面．因为平面，
所以．
在中，因为，
所以，即．
又平面，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，

所以．
设直线与所成的角为，
则，
故直线与所成角的余弦值为．
（3）如图，

设，则三棱锥即为所求的公共部分．
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为．
因为，所以，则．
由正弦定理得，
由于平面，故,即，
所以．
14．（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，已知正三棱柱的外接球球心为，平面平面是的中点．

(1)求正三棱柱外接球的体积；
(2)求平面PBC与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图，设上、下底面的中心分别为，则为的中点．
因为，且平面平面，
所以平面，
设平面平面平面，所以．
取与的中点，连接则，所以，
所以为二面角的平面角，
因为平面平面，所以，
由对称性可知，
连接，因为，所以，所以，
，正三棱柱外接球的半径，
所以正三棱柱外接球的体积．
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
．
设平面的法向量为，
则
令，则，
设平面的法向量为，
则
令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
15．（25-26高二下·江西景德镇·期中）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以.
因为，，所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
（ⅱ）因为平面，且为正三角形，作下图
设三棱锥的外接球的球心为，连结，延长交球面于H，
过作交平面于，
则为直角三角形，
所以为斜边的中点， 平面，为的外接圆的直径.
所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，
则，则，，
则球的半径，
所以三棱锥的外接球体积为.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，
则，，，.
所以,平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
设，
设，所以，
（当且仅当，即时取等号），即.
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍08破解空间几何体外接球、内切球
及棱切球的十二大题型
题型 考情分析 考向预测
1. 特殊几何体的外接球问题 2025年新高考卷Ⅱ：第14题考查了圆柱内双球相切 2023年甲卷（理）第15题、甲卷（文）第16题、乙卷（文）第16题：都考查了多面体外接球 2022年新高考卷Ⅰ： 第8题考察了正四棱锥外接球 2022年新高考卷Ⅱ： 第7题考察了三棱锥外接球 外接球必考（选填 5 分），以墙角型、对棱相等型、正棱锥、直棱柱为核心，可能结合组合体、截面、动态最值创新；内切球低频但需掌握（正四面体、正棱锥）；棱切球不考。熟练补形法、球心定位、勾股定理；内切球用体积分割法；重点练外接球半径公式、截面性质、最值范围，强化空间转化与计算精度。
2. 墙角问题
3. 对棱相等几何体的外接球问题
4. 侧棱垂直于底面的几何体外接球问题
5. 侧面垂直于底面的几何体外接球问题
6. 二面角与球体综合问题
7. 球体中的最值问题
8. 球心不确定问题
9. 内切球问题
10. 棱切球问题
11. 数学文化与球体综合
12. 球体在解答题中的应用
题型1 特殊几何体的外接球问题
定义：正方体、长方体、正四面体、正棱柱（正三棱柱、正四棱柱等）、正棱锥（正三棱锥、正四棱锥等）等规则几何体，其所有顶点都在同一个球面上（即各顶点共球），该球称为几何体的外接球，此类问题为球接切基础题型。 性质：① 外接球球心是几何体的对称中心，到几何体所有顶点的距离相等（均等于外接球半径R）；② 长方体、正方体的外接球球心为其体对角线中点，体对角线即为外接球直径；③ 正棱柱的外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处；④ 正四面体的外接球与内切球球心重合，且外接球半径是内切球半径的3倍。 解题方法：利用几何体对称性质确定球心；长方体 / 正方体体对角线为外接球直径；正几何体球心在中心轴上，结合勾股定理求半径。
【例1】（2026·江西·一模）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·浙江·高三月考）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型2 墙角问题
定义：三棱锥的三条侧棱两两垂直（即PA⊥PB、PB⊥PC、PC⊥PA），形似空间中的墙角结构，本质是“三条两两垂直棱构成的三棱锥外接球问题”，是高考高频模型。 性质：① 该三棱锥可补成一个长方体，且与长方体外接球共球心、共半径；② 三条两两垂直的侧棱长度分别对应补成长方体的长、宽、高；③ 外接球球心为补成长方体的体对角线中点，体对角线即为外接球直径。 解题方法：将三条两两垂直棱补成长方体，外接球与长方体外接球相同；体对角线即为球的直径，直接套用直径公式求解半径与表面积、体积。
【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ．
【变式2】（25-26高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 .
题型3 对棱相等几何体的外接球问题
定义：三棱锥中，三组对棱长度分别对应相等（即AB=CD、AC=BD、AD=BC），此类几何体无法直接通过对称性定位球心，需转化模型求解外接球。 性质：① 对棱相等的三棱锥可嵌入一个长方体，三组对棱分别对应长方体的三组面对角线；② 嵌入的长方体外接球与该三棱锥外接球为同一个球，球心为长方体体对角线中点；③ 长方体的长宽高满足对应面对角线等于三棱锥对棱长度。 解题方法：嵌入长方体中，把三组对棱看作长方体面对角线；借助长方体长宽高关系，建立方程求解外接球半径。
【例3】（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026·河北·一模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
题型4 侧棱垂直于底面的几何体外接球问题
定义：棱锥（四棱锥、三棱锥等）或棱柱（直棱柱）中，一条或多条侧棱与底面所在平面互相垂直（侧棱⊥底面），此类问题核心是“侧棱垂直+底面外接圆”的结合。 性质：① 外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上；② 若侧棱垂直底面，球心到底面的距离等于侧棱长的一半；③ 球心到几何体所有顶点的距离相等，构成以R为斜边、底面外接圆半径r和球心到底面距离d为直角边的直角三角形。 解题方法：取底面多边形外接圆圆心，作底面垂线；结合侧棱中点垂线，两线交点即为球心；构造直角三角形，利用勾股定理计算球半径。
【例4】（25-26高三上·南昌·期中）在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【变式4】（25-26高三上·天津红桥·期中）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（ ）
A．10π B．12π C．16π D．20π
题型5 侧面垂直于底面的几何体外接球问题
定义：几何体的某一个侧面与底面所在平面互相垂直（面面垂直），在此背景下，求解几何体的外接球半径、表面积等问题，核心是利用面面垂直性质定位球心。 性质：① 过侧面与底面交线的垂线（在侧面内），必垂直于底面；② 外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上，同时也在过垂直侧面外接圆圆心且垂直于该侧面的垂线上；③ 球心到两个垂直面的距离，分别与两个面的外接圆半径、R构成直角三角形。 解题方法：利用面面垂直性质确定垂线；分别找底面与垂直侧面的外心，作垂线确定球心；结合二面角、边长关系列式求半径。
【例5】（2026·黑龙江·二模）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2026·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型6 二面角与球体综合问题
定义：以二面角为已知条件，结合多面体（三棱锥、四棱锥等）的外接球，考查球半径、表面积、体积，或二面角与球心位置、半径的综合关系，属于中档偏难题型。 性质：① 二面角的平面角θ，决定两个半平面的相对位置，进而影响两个半平面外接圆圆心的距离；② 外接球球心到两个半平面的垂线，分别垂直于对应半平面，且垂足为各自半平面的外接圆圆心；③ 球心、两个半平面外接圆圆心，构成一个四边形，其中两个直角对应线面垂直关系。 解题方法：确定二面角平面角，找准两个面的外接圆圆心；根据二面角大小、圆心距、底面外接圆半径，构造几何关系求解球心与半径。
【例6】（2026·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型7 球体中的最值问题
定义：限定几何体的结构（如棱长固定、面面积固定、二面角固定等），求解外接球/内切球的半径、表面积、体积，或球面上两点间距离、点到球心距离等的取值范围、最大值或最小值，是高考高频创新题型。 性质：① 最值多出现在几何体运动的临界位置（如共面、垂直、顶点共线等）；② 外接球半径R的最值，与几何体的约束条件（棱长、角度、面积）直接相关，可通过构造函数或几何关系转化；③ 球面上两点间的最短距离为过两点的大圆劣弧长，最值由圆心角决定。 解题方法：建立变量关系，结合几何约束构造函数；利用几何临界位置、不等式或导数分析最值，依托球的基本性质化简运算。
【例7】（2026·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【变式7-1】（2026·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2026·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 .
题型8 球心不确定问题
定义：几何体结构不规则（如非规则三棱锥、多面体拼接），无明显对称中心，无法通过几何对称性直接确定球心位置，需通过代数方法求解的外接球问题，难度较高。 性质：① 尽管球心位置不确定，但球心到几何体所有顶点的距离相等（均为R）；② 可通过建立坐标系，将几何问题转化为代数方程组求解。 解题方法：设球心坐标或空间动点，利用顶点到球心距离相等列方程；通过方程组求解球心位置与外接球半径。
【例8】（2026·宁夏银川·二模）如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【变式8】（2026·江西南昌·二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型9 内切球问题
定义：与几何体的所有面都相切的球体，球心到几何体各个面的距离都等于球的半径r，且内切球在几何体内部，仅规则几何体（正方体、正四面体、正棱锥）有唯一内切球。 性质：① 内切球球心是几何体的内心，到各个面的距离相等（均为r）；② 正多面体的内切球与外接球球心重合； 解题方法：核心使用等体积法：；结合全面积与几何体体积，直接求解内切球半径。
【例9】（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
【变式9-1】（2026·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2026·重庆·一模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
题型10 棱切球问题
定义：与几何体的所有棱都相切的球体，区别于内切球（与所有面相切），球心到几何体每条棱的距离都等于球的半径r，高考中属于低频考点，仅在少数模拟题中出现。 性质：① 棱切球球心到所有棱的距离相等，且球心在几何体的对称中心上；② 正方体的棱切球直径等于其面对角线长度；③ 正四面体的棱切球与外接球、内切球球心重合，半径介于内切球与外接球之间。 解题方法：高考低频考点，仅掌握正四面体、正四棱锥模型；利用几何体中心对称性，结合棱距公式求解半径，了解基础模型即可。
【例10】（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .
【变式10-1】（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【变式10-2】（2026·宁波·一模）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 .
题型11 数学文化与球体综合
定义：以古代建筑（斗拱、宫殿）、传统器皿（铜鼎、陶罐）、古代几何典籍（《九章算术》）等数学文化为背景，包装球与多面体的接切问题，考查提取几何信息、转化问题的能力。 性质：① 本质是常规球接切问题，仅增加文化背景包装，几何结构不变；② 题目给出的文化场景中，隐含几何体的棱长、边长、形状等关键几何信息；③ 解题核心是剥离文化背景，转化为常规模型。 解题方法：剥离文化背景，提取几何数据与空间结构；转化为常规外接球、组合体问题，套用对应模型方法计算。
【例11】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（ ）
A．30 cm B． C．36 cm D．
【变式11-2】（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型12 球体在解答题中的应用
定义：在立体几何解答题中，结合线面垂直、面面垂直的证明、空间角（异面直线夹角、线面角）、体积计算等，综合考查球的外接、内切相关计算，多为大题第2、3问，侧重综合应用。 性质：① 需先证明空间位置关系（线面垂直、面面垂直），再利用该关系定位球心；② 分步得分，证明部分占分，球的计算部分占分，步骤规范性要求高；③ 常结合多面体体积、表面积，综合考查运算求解能力。 解题方法：先完成线面、面面位置关系证明；分步求解底面边长、外接圆半径、球心位置；规范书写几何推理过程，分步列式，综合求值。
【例12】（2026·四川攀枝花·二模）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
【变式12-1】（25-26高三上·山西·期末）如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
(1)求三棱锥外接球的表面积；
(2)当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.
【变式12-2】（25-26高三上·河南·期末）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.
(1)证明：平面；
(2)求四面体的外接球的体积；
(3)求的长.
1．（25-26高三上·云南楚雄·期中）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
5．（2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（25-26高三上·广东湛江·月考）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（ ）
A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱
C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球
二、填空题
7．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
8．（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是 .
9．（2026·上海静安·一模）已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ．
10．（2026·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
11．（2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ．
12．（25-26高三上·重庆·月考）正方体的棱长为，为侧面内的动点（含边界），若、分别与直线所成角的正切值之和为，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .
三、解答题
13．（25-26高三上·云南楚雄·月考）如图，等腰梯形中，，垂足为点，延长线段至点，使得．将沿翻折至的位置，使得．

(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分几何体的外接球的表面积．
14．（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，已知正三棱柱的外接球球心为，平面平面是的中点．

(1)求正三棱柱外接球的体积；
(2)求平面PBC与平面夹角的余弦值．
15．（25-26高二下·江西景德镇·期中）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑