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专题16 全概率与条件概率
题型 考情分析 考向预测
1.条件概率的简单计算 2024年新高考卷Ⅱ：18题考查了条件概率、独立事件、期望综合 2023年新高考卷Ⅱ：12题考查了条件概率、独立事件、互斥事件综合 2024年新高考卷I：21题考查了条件概率、丙点分布、期望综合 条件概率考察小题或大题第一问可能性较大，全概率公式极有可能组合数列递推（马尔科夫链）考查压轴大题。
2.全概率公式的简单计算
3.条件概率中的证明
4.贝叶斯公式求概率
5.条件概率和全概率公式综合应用
6.全概率公式与数列综合
题型1 条件概率的简单计算
条件概率公式及其性质 条件概率定 义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．公 式性 质设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
【例1】（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______．
【变式1】（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ）
A． B． C． D．
题型2全概率公式的简单计算
全概率公式 定 义一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式.意 义全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解.
【例2】（2026高三·全国·专题练习）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ）
A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3
【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．
【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.
题型3 条件概率中的证明
1条件概率的核心公式：是证明的基础 2条件概率的性质：非负性规范性可加性对立事件性质乘法公式等是证明的工具 3常见证明结论： 证明 证明 证明等价于A B相互独立 证明乘法公式 4证明的核心逻辑：紧扣定义用条件概率公式转化结合概率的基本性质推导
【例3】（2026高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，；
(3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明．
【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件满足，，．
(1)求；
(2)求；
(3)证明．
题型4 贝叶斯公式求概率
贝叶斯公式 概 念设是样本空间的一个划分且则 贝叶斯公式的本质由果索因已知结果B发生反推导致结果的原因发生的概率与全概率公式的关系分母为全概率公式计算的分子为全概率中的对应项
【例4】（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.
(1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；
(2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率.
【变式4-1】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件.
(1)求取到优良产品的概率;
(2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率.
【变式4-2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________．
题型5 条件概率和全概率公式的综合应用
条件概率全概率公式 定 义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．
【例5】（25-26高二下·江西抚州·月考）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（25-26高二下·江西南昌·月考）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026·河南郑州·一模）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
题型6 全概率公式与数列综合
全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．
【例6】（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求
(1)的值；
(2)求的式子.
【变式6】（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，.
（i）求，，并证明：数列为等比数列；
（ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
一、单选题
1．（2026·河南南阳·一模）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6） 白球3个（编号7-9） 黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·湖南·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026重庆渝中一模）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（25-26高三上·重庆·月考）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·湖北襄阳·期中）在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ）
A．
B．若与互斥，则
C．
D．若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为
7．（25-26高三上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是
8．（25-26高三上·贵州·月考）对于随机事件，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
10．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．，是相互独立事件 B．事件，互斥
C． D．
三、填空题
11．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________．
12．（25-26高三上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________.
13．（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________.
14．（25-26高三上·江西抚州·期末）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________.
四、解答题
15．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.
16．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．
(1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率；
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率．
（i）求；
（ii）证明：．
17．（安徽皖南八校2026届高三下学期4月教学质量检测数学试题）已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛．
(1)求第一轮甲获胜的概率；
(2)在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率；
(3)三轮比赛结束，求甲的总得分的期望．
18．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；
(2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值；
(3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求．
19．（25-26高三下·四川成都·月考）某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和；如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为.现开启这种提示灯，第一次亮红灯.
(1)求第三次亮灯为红灯的概率；
(2)设第次亮灯为红灯的概率为，当时，
（ⅰ）求；
（ⅱ）该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 全概率与条件概率
题型 考情分析 考向预测
1.条件概率的简单计算 2024年新高考卷Ⅱ：18题考查了条件概率、独立事件、期望综合 2023年新高考卷Ⅱ：12题考查了条件概率、独立事件、互斥事件综合 2023年新高考卷I：21题考查了条件概率、两点分布、期望综合. 条件概率考察小题或大题第一问可能性较大，全概率公式极有可能组合数列递推（马尔科夫链）考查压轴大题。
2.全概率公式的简单计算
3.条件概率中的证明
4.贝叶斯公式求概率
5.条件概率和全概率公式综合应用
6.全概率公式与数列综合
题型1 条件概率的简单计算
条件概率公式及其性质 条件概率定 义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．公 式性 质设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
【例1】（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______．
【答案】
【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种．
事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种，
事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种；
乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种；
共种事件，
所以．
【变式1】（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形，
其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得，
又由事件“两个点数不相同”，可得，所以，
由条件概率的公式，可得.
题型2全概率公式的简单计算
全概率公式 定 义一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式. 意 义全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解.
【例2】（2026高三·全国·专题练习）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ）
A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3
【答案】C
【详解】因为摸到白球和红球的概率均为 ，回答A问题“是”的学生人数为人，
所以回答B问题“是”的学生人数为人，所以男大学生吸烟人数的比例约为．
【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．
【答案】
【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”，
则，则，，
故
故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是.
【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.
【答案】
【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，
所以，
若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
，
所以.
题型3 条件概率中的证明
1条件概率的核心公式：是证明的基础 2条件概率的性质：非负性规范性可加性对立事件性质乘法公式等是证明的工具 3常见证明结论： 证明 证明 证明等价于A B相互独立 证明乘法公式 4证明的核心逻辑：紧扣定义用条件概率公式转化结合概率的基本性质推导
【例3】（2026高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，；
(3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，，，
(3)，证明见解析
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
，，，，
由全概率公式，得 ．
（2）由已知得 ， ，
，，
．
（3）由（2）可得，即，
可猜想：
证明如下：由条件概率及，，
得，，
所以．
【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件满足，，．
(1)求；
(2)求；
(3)证明．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，，，所以，，．
（2）因为，所以，
所以 ．
（3）因为，所以，
所以，，
所以，，
所以．
题型4 贝叶斯公式求概率
贝叶斯公式 概 念设是样本空间的一个划分且则 贝叶斯公式的本质由果索因已知结果B发生反推导致结果的原因发生的概率与全概率公式的关系分母为全概率公式计算的分子为全概率中的对应项
【例4】（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.
(1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；
(2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件
根据题目可得，，，，
根据全概率公式，可得：.
（2）根据贝叶斯公式，可得： .
【变式4-1】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件.
(1)求取到优良产品的概率;
(2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率.
【答案】(1)0.915
(2)
【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品，
则，，，，，
所以
代入数据得：.
（2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为.
【变式4-2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________．
【答案】
【详解】设 为第 天选A套餐， 为第 天选B套餐，
则，
；
从而，
，
.
题型5 条件概率和全概率公式的综合应用
条件概率全概率公式 定 义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．
【例5】（2026·河南·一模）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得，
事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球，
所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是，
由概率的乘法公式可得，故错误.
对于，第1次摸球，摸到白球的概率.
同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是，
由概率的乘法公式可得，
由全概率公式可得，故错误.
对于，由A项分析，已得，故错误.
对于，由B项分析，已得，故正确.
故选：.
【变式5-1】（2026·重庆·一模）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，
则，，
所以，
，
.
故选：A．
【变式5-2】（25-26高二下·江西抚州·月考）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
【解析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以表示事件取到的产品为次品，则
，，，
，，，
由全概率公式，得
.
（2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是乙厂生产的概率为
.
题型6 全概率公式与数列综合
全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n， 则对任意的事件B Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．
【例6】（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求
(1)的值；
(2)求的式子.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，；
（2）当时，
，
整理得，，
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以.
【变式6】（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，.
（i）求，，并证明：数列为等比数列；
（ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
【答案】(1)
(2)（i），，证明见解析；（ii）和见解析，能提高.
【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为，
设物流提前送达为事件D，则.
（2）（i）第一次随机选择，则，
若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为，
则，，
由题意得，
，，
则
，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）得①，
同理
，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，
①②联立得，
设第n次提前送达事件为
则
，
随着n增大，逐渐增大，且，
所以当时，，
因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率.
一、单选题
1．（2026·河南南阳·一模）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6） 白球3个（编号7-9） 黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，的事件有个基本事件，的事件有个基本事件，
所以.
故选：B
2．（25-26高三·湖南·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
3．（2026重庆渝中一模）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动，
基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种，
则，事件“表示的四位数不小于5010”，
则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种，
则 ，
所以，
故选：A．
4．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，
“第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件，
则，
所以.
二、多选题
5．（25-26高三上·重庆·月考）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A：，所以．
又由，故A正确；
对于B：，
变形可得，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，则有，
故，故D正确，
故选：ACD
6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ）
A．
B．若与互斥，则
C．
D．若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为
【答案】AC
【详解】由，，
A选项：，A选项正确；
B选项：由与互斥，即事件与不能同时发生，即，B选项错误；
C选项：，
当时，，此时取得最小值为，
当与互斥时，，此时取得最大值为，C选项正确；
D选项：与相互独立，则，，
即，D选项错误；
故选：AC.
7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是
【答案】ABC
【详解】对于A：甲同学仅随机选一个选项，能得3分的情况为在中选择或，
所以其概率为，故A正确；
对于B：乙同学仅随机选两个选项，能得5分的情况为在中选择，
所以其概率为，故B正确；
对于C：丙同学随机选择选项，能得分的情况为在中选择中的一种，
所以其概率为，故C正确；
对于D：丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的情况为在中选择，
所以其概率为，故D错误；
8．（25-26高二下·贵州·月考）对于随机事件，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确．
9．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】ABD
【详解】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球，
则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为：
，故A正确，
对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球，
依题意两两互斥， 其和为，
并且，
，
，
，
由全概率公式有：，故B正确；
对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同，
，
，
，
则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大，
故C不正确；
对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份，
再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有：
，故D正确；
故选：ABD.
10．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．，是相互独立事件 B．事件，互斥
C． D．
【答案】AC
【详解】根据概率加法公式可知，即，
所以.
选项A：因为，所以，相互独立，故A正确.
选项B：若，互斥，则，但，故B错误.
选项C：，，
，故C正确.
选项D：，，故D错误.
三、填空题
11．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________．
【答案】
【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球，
.
设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”，
，，
所以.
故答案为：
12．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________.
【答案】0.8/
【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”，
则，，，.
设发送信号为1的概率为，
则接收信号为的概率
，
解得，即发送信号为的概率为.
故答案为：0.8
13．（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________.
【答案】 / /
【详解】记事件第一次取出白球，记事件第二次取出白球，则，，
若第一次取出白球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球，
则，
若第一次取出黑球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球，
，
所以，
故答案为：；.
14．（25-26高三上·江西抚州·期末）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________.
【答案】
【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动3次”，
按移动到位置需要1步还是3步分类讨论.
记向左，向右，向上，向下，
（1）若第1步到为事件，则移动3次满足要求的是或或或或，或或或或，
所以；
（2）若3步到为事件，则移动3次满足要求的是，
所以.
因为，且互斥，所以.
满足的情况有：，，，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ，
由题意可知：，，
可得，
所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为.
（2）由题意可得：
，
所以这袋垃圾存在违规混投的概率为.
（3）由题意可得： ，
所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为
16．25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．
(1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率；
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率．
（i）求；
（ii）证明：．
【答案】(1)
(2)（i），（ii）证明见解析
【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对，
其概率为：；
（2）（i）；
当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形，
可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、
连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错；
第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对），
故；
（ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形，
则由题意可如下分类：
①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为；
②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，
此时概率为；
③第n题答对，第题答对，第题答错，
且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为；
④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错，
且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为，
由全概率公式：①，
因此②，
，
所以当时，，故．
17．（安徽皖南八校2026届高三下学期4月教学质量检测数学试题）已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛．
(1)求第一轮甲获胜的概率；
(2)在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率；
(3)三轮比赛结束，求甲的总得分的期望．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先确定甲、乙各自选卡片的所有可能结果数，再找出甲卡片数字大于乙的结果数，最后用古典概型概率公式计算；
（2）先明确第一轮甲获胜概率，再确定事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”包含两种互斥情况，最后用条件概率公式计算；
（3）分析甲每轮得分的可能取值，确定每轮得分的概率，再求解期望即可.
【详解】（1）根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，
所有可能组合有种：
，
甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字，有3种，所以甲获胜的概率为．
（2）设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件，
由上可知第一轮甲获胜的概率为， 事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”（记为）包含两种互斥情况：第一轮甲出3胜乙出2，第二轮甲出5胜乙出4与第一轮甲出5胜乙出4，第二轮甲出3胜乙出2,每种情况的概率均为，
故，
根据条件概率公式．
（3）甲、乙双方的出牌顺序分别有种，所有可能的出牌顺序组合共有种，这些组合等可能.因对称性，可固定甲的出牌顺序为来分析甲的得分情况,设甲总得分为，则的可能取值为在不考虑出牌顺序的前提下，
第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表，
甲得分 1 3 5
0 2 4 6
1 2 6 4
1 4 2 6
1 4 6 2
2 6 2 4
1 6 4 2
甲、乙两人出牌共有36种，
则，
则.
18．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；
(2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值；
(3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用独立事件概率公式求解；
（2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题；
（3）使用条件概率公式与全概率公式求解.
【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为；
（2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次；
或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为
；
故当时，的最小值为
（3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1
则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故，
记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为，
则，，
事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为，
则，
且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故
由全概率公式，
所以
19．（25-26高三下·四川成都·月考）某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和；如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为.现开启这种提示灯，第一次亮红灯.
(1)求第三次亮灯为红灯的概率；
(2)设第次亮灯为红灯的概率为，当时，
（ⅰ）求；
（ⅱ）该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（）；（ⅱ）当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大.理由见解析
【分析】（1）根据全概率公式计算求解；
（2）方法1：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，由全概率公式可得，根据结合等比数列化简可得，再次利用全概率公式可得，化简即可求得（）；（ⅱ）结合（ⅰ）利用作差法可得，由全概率公式可得，利用作差法可得，即可判断求解；方法2：设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，由全概率公式可得，，，化简结合等比数列计算可得（），（ⅱ）结合（ⅰ）利用作差法计算即可求解.
【详解】（1）设事件“第次亮灯为红灯”，事件“第次亮灯为黄灯”，
则第三次亮灯为红灯的概率：
；
（2）方法1：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，
，
则，①
，，
即，由于，
则是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
即，②
由①②得
（），
（），
即（）；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，
，
当（）时，
，当且仅当时取等号，
当时，，，
综上，，当且仅当时取等号，
亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，
又
，即，
故，
，
当（）时，，，
当（）时，，，
，即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，
综上所述，当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大.
方法2：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”，
，，，
，
即，①
，
即，②
，即，
，③
由①②得，
，④
将③④代入②得，
，
，，
，且，
是以为首项，为公比的等比数列，
，即，
故，
（），
即（）；
（ⅱ），
当（）时，
，当且仅当时，取等，
当（）时，，
，当且仅当时，取等，
即亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，
又，
，
当（）时，，，
当（）时，，，
，即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，
综上所述，当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大.
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