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专题18 三大概率分布——
二项分布、超几何分布与正态分布
题型 考情分析 考向预测
1. 二项分布 2025年新高考卷Ⅰ：第19题考查了二项分布 2024年新高考Ⅰ卷：第19题考查了二项分布 2024年新高考卷Ⅱ：第18题考查了超几何分布 2025年新高考卷Ⅱ：第19题考查了超几何分布 2024年全国乙卷：第8题考察了正态分布 2025年天津卷：第7题考察了正态分布3σ原则 从近年高考命题趋势来看，二项分布、超几何分布、正态分布及数字特征是概率统计板块的高频考点。正态分布多以选择、填空题考查基础性质与概率计算，难度较低；二项分布与超几何分布常出现在填空、解答题中，聚焦分布列、期望与方差，部分试题与统计、独立性检验等内容综合，难度中等偏上，解题关键在于正确计算概率并规范构建分布列。备考中应强化模型识别、概率运算与综合应用训练。
2. 独立重复试验的概率问题
3. 超几何分布
4. 二项分布与超几何分布综合
5. 正态密度曲线
6. 根据正态曲线的对称性求参数
7. 3σ原则
8. 正态分布与其他知识综合
题型1 二项分布
1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0【例1】（2026·山东青岛·三模）若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，可得，
所以.
故选：B.
【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为随机变量，则，解得，
故.
故选：C.
题型2独立重复试验的概率问题
独立重复试验的特点： (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【例2】（2026·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，
所以，
故选：B.
【变式2-1】（2026·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，
所以“莎头”组合再次以获胜的概率.
故选：B.
【变式2-2】（2026·黑龙江·一模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况，
其中两个号码的和为偶数的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4种情况，
所以一个人摸球，能够获奖的概率为，
所以4人参与摸球，
恰好2人获奖的概率.
故选：A.
题型3 超几何分布
1．超几何分布 (1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【例3】（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·期末）从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】设得分为，根据题意可以取，
.则，，，
则分布列为：
4 3 2
所以得分期望为.
故选：C.
【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8
【答案】C
【详解】设为从甲袋中摸出的红球数，为从乙袋中摸出的红球数，
则服从超几何分布，故，同理，
故，
故选：C．
【变式3-2】（2026·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有种情况，从11人中抽4人有种情况，
所以所求的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为、、、、，
，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以
题型4 二项分布与超几何分布综合
1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 区分两种分布的重要指标通常是观察放回还是不放回。
【例4】（25-26高三下·陕西西安·阶段练习）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】由题意可知：，则，
且Y的可能取值为0，1，2，
则，
可得，
，
所以，.
故选：B.
【变式4-1】（25-26高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为，
则的可能取值是0，1，2，3，
则，
，，
故随机变量的概率分布列为：
0 1 2 3
则数学期望为：，
方差为：；
试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，
故，，
故，．
故选：A．
【变式4-2】（2026·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部.
根据古典概型概率公式，所以.
（2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即.
根据二项分布概率公式可得：
，
， ，
，
，
列出的分布列：
.
（ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，.
求：根据超几何分布的数学期望公式，可得.
比较大小：因为，，所以.
题型5 正态密度曲线
正态密度曲线
函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
【例5】（2026·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】令对应的正态密度函数分别为，
则函数图象的对称轴分别为，且，
观察图象，得，，所以，.
故选：C.
【变式5-1】（2026·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】C
【详解】因为服从正态分布，故，
故，故的图象关于点对称，
故选：C.
题型6 根据正态曲线的对称性求参数
解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【例6】（2026·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易得，
由正态分布的对称性可得，
故..
故选：D.
【变式6-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】C
【详解】由已知得正态曲线关于直线对称，，
，解得，
故选：C．
【变式6-2】（2026·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．
【答案】C
【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，，
如图所示，结合，得，
可知关于对称，所以，解得，
故选：C．
题型7 3σ原则
3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
【例7】（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格
【答案】B
【详解】由题意可知，，所以，，
因为，
所以，根据比例成绩大于分为优秀，
因为，根据比例成绩在到之间的为良好，
，根据比例成绩在到之间的为合格，
，根据比例成绩小于分为基本合格，
因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.
故选：B.
【变式7-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．580 B．480 C．380 D．280
【答案】B
【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而，
所以，
所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人.
故选：B.
【变式7-2】（2026·广东·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）
附：若，则．
A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个
【答案】C
【详解】由可知，
则，
故其中单果质量超过的草莓约有个．
故选：C.
题型8 正态分布与其他知识综合
正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【例8】（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：
分数段
频数 10 30 m n
(1)求m，n的值；
(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得.
又因为，解得，.
（2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人，
根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人.
表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，.
计算取各个值的概率：
.
.
.
.
.
列出的分布列：
可得.
（3）已知，则，.
，.
.
今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人.
【变式8】（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ )，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
【答案】(1)
(2)317
(3)分布列见解析
【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，
则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率
（2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3，
所以
而，
所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317.
（3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400，
所以X的分布列为
x 0 800 1 600 2 400
P
一、单选题
1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，
故选：D.
2．（2026·浙江金华·一模）已知随机变量，且，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35
【答案】B
【详解】由题设，且，则，
由正态分布曲线关于对称，则.
故选：B.
3．（2026·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，
故甲的平均数小于乙的平均数，即，
且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即.
故选：C.
4．（2026·天津·高考真题）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．越接近1，相关性越强
D．越接近0，相关性越弱
【答案】B
【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确；
对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误；
对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.
故选：B.
5．（2026·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772
【答案】D
【详解】由，得
.
故选：D.
6．（2026·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】依题意可得，即，整理得，
解得或9，因为，所以．
故选：B.
7．（2026·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左 向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球从起始点到最终落入球槽，需要经过5次与小木块的碰撞，每次碰撞时向左或向右的概率均为.
我们可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”.
要落入从左往右数第5号球槽，从组合的角度看，经过5次碰撞，相当于在5次操作中，向右的次数比向左的次数多3次.
设向右为正方向，向左为负方向，那么向右的次数x与向左的次数y满足方程组，解得.
也就是在5次碰撞过程中，需要有4次向右，1次向左.
由独立重复试验概率公式，这里，
所以.
故选：C.
8．（2026·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设答对题的个数为，由已知可得，
所以，，
因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以当时，取最大值，最大值为.
故选：C.
二、多选题
9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知随机变量，随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对A，，故A错误；
对B，因为，所以，故B正确；
对C，.
对D，.
故选：BCD.
10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由题意有，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
11．（2026·重庆·三模）若随机变量，且，随机变量，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，随机变量，由，得，A正确；
对于C，，则，C错误；
对于B，随机变量，则，
，B正确；
对于D，，D正确．
故选：ABD.
三、填空题
12．（2026·陕西·模拟预测）某工厂生产的灯泡使用寿命（单位：千小时），且，则 ．
【答案】0.4
【详解】因为，且，故,
所以.
故答案为：0.4．
13．（2026·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 .
【答案】；
【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，
则；
设运动量达标为事件，，
所以，；
故答案为：；.
14．（2026·云南曲靖·二模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
【答案】
【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即，
则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，
即，
由二项分布的概率公式可得，
设最大，则，
由可得，
即，
化简可得，解得，
由可得，
即，
化简可得，解得，
即，且，则时，最大，
则质点最终的位置为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2026·广东广州·模拟预测）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：
年龄（岁）
频数 5 5 10 15 10 5
赞成的人数 3 4 9 10 7 3
(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2).
【详解】（1）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4，
因为年龄在的市民不赞成“车辆限行”的频率为，则，
所以，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
.
（2）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，
所以，
由，则，解得，
因为，所以.
16．（2026·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示．
(1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率．
附：取，
，，．
【答案】(1)，
(2)0.9545
【详解】（1）．
．
（2）由题意知，样本方差，故，
所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．
，
所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545．
17．（2026·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图：
用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数.
(1)若，求的分布列与数学期望；
(2)若，求使得取得最大值时的值.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图中所有直方图的面积之和为，
可得，所以，
样本中，成绩在的高中生所占的频率为，
当时，由题意可知，
所以，，
，，
故随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）由题意可知，因为最大，则，
所以，解得，
因为，可得，
故使得取得最大值时的值为.
18．（2026·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
【答案】(1)，样本中位数为
(2)8186
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题意，平均数，
前3组的频率为，前4组的频数为，
所以样本中位数位于，设为，
则，解得，则样本中位数为.
（2）由题意，近似地服从正态分布，且，，
由于
，
因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为
.
（3）由题意，的所有取值为，
顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，
顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为，
顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为，
则，，
，
，
，
则的分布列为：
0 1000 2000 3000 4000
所以.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题18 直击高考中的三大概率分布——
二项分布、超几何分布与正态分布
题型 考情分析 考向预测
1. 二项分布 2025年新高考卷Ⅰ：第19题考查了二项分布 2024年新高考Ⅰ卷：第19题考查了二项分布 2024年新高考卷Ⅱ：第18题考查了超几何分布 2025年新高考卷Ⅱ：第19题考查了超几何分布 2024年全国乙卷：第8题考察了正态分布 2025年天津卷：第7题考察了正态分布3σ原则 从近年高考命题趋势来看，二项分布、超几何分布、正态分布及数字特征是概率统计板块的高频考点。正态分布多以选择、填空题考查基础性质与概率计算，难度较低；二项分布与超几何分布常出现在填空、解答题中，聚焦分布列、期望与方差，部分试题与统计、独立性检验等内容综合，难度中等偏上，解题关键在于正确计算概率并规范构建分布列。备考中应强化模型识别、概率运算与综合应用训练。
2. 独立重复试验的概率问题
3. 超几何分布
4. 二项分布与超几何分布综合
5. 正态密度曲线
6. 根据正态曲线的对称性求参数
7. 3σ原则
8. 正态分布与其他知识综合
题型1 二项分布
1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0【例1】（2026·山东青岛·三模）若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型2独立重复试验的概率问题
独立重复试验的特点： (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【例2】（2026·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2026·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026·黑龙江·一模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型3 超几何分布
1．超几何分布 (1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【例3】（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·期末）从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8
【变式3-2】（2026·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
题型4 二项分布与超几何分布综合
1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 区分两种分布的重要指标通常是观察放回还是不放回。
【例4】（25-26高三下·陕西西安·阶段练习）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-1】（25-26高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2026·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
题型5 正态密度曲线
正态密度曲线
函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
【例5】（2026·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-1】（2026·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
题型6 根据正态曲线的对称性求参数
解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【例6】（2026·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【变式6-2】（2026·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．
题型7 3σ原则
3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
【例7】（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格
【变式7-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．580 B．480 C．380 D．280
【变式7-2】（2026·广东·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）
附：若，则．
A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个
题型8 正态分布与其他知识综合
正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【例8】（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：
分数段
频数 10 30 m n
(1)求m，n的值；
(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
【变式8】（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ )，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
一、单选题
1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江金华·一模）已知随机变量，且，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35
3．（2026·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2026·天津·高考真题）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．越接近1，相关性越强
D．越接近0，相关性越弱
5．（2026·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772
6．（2026·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2026·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左 向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知随机变量，随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2026·重庆·三模）若随机变量，且，随机变量，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2026·陕西·模拟预测）某工厂生产的灯泡使用寿命（单位：千小时），且，则 ．
13．（2026·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 .
14．（2026·云南曲靖·二模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
四、解答题
15．（2026·广东广州·模拟预测）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：
年龄（岁）
频数 5 5 10 15 10 5
赞成的人数 3 4 9 10 7 3
(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.
16．（2026·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示．
(1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率．
附：取，
，，．
17．（2026·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图：
用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数.
(1)若，求的分布列与数学期望；
(2)若，求使得取得最大值时的值.
18．（2026·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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