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专题19 轻松突破二项式定理的七大热点题型
题型 考情分析 考向预测
1.求二项展开式特定项或项的系数 2025年上海卷 第4题考查求二项展开式特定项的系数 2024年天津卷 第11题考查求二项展开式的常数项 2024年全国甲卷 第13题考查二项展开式系数的最值 2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数的和 结合近年高考命题规律与新课标导向——“基础稳、交汇活、文化浓”，大概率以选择题或者填空题出现，难度基础或者中档，掌握公式，掌握通性通法，基础题遇到必拿分。
2.求两个二项式乘积展开式中特定项的系数
3.求三项展开式的特定项或特定项的系数
4.用赋值法求系数和
5.求系数最大（小）的项
6.杨辉三角问题
7.二项式定理的应用
题型1求二项展开式特定项或项的系数
3.
【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的展开式通项为，
令得，故展开式中的常数项为.
【变式1-1】（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（ ）
A．60 B．36
C．729 D．6
【答案】A
【解析】展开式的通项公式为，
令，则，
当时，，，
当时，，，所以，
令，则，所以.
【变式1-2】（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】由二项式展开式的通项为，
令，可得，所以展开式的的系数为，
令，可得，所以展开式的的系数为，
因为展开式中的系数比的系数小300，可得，
即，解得或，
又因为，所以.
故选：A.
题型2 求两个二项式乘积展开式中特定项的系数
【例2】（2026高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．35 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】，
其中含有的项分别是和，
这两项系数之和为，故选：C.
【变式2-1】（2026高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________．
【答案】5
【解析】由题意得，
则含的项为，所以含的项的系数为5．
故答案为：5.
【变式2-2】（2025高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（ ）
A．26 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】展开式中按x的升幂排列的第3项，即展开式中含的项.
的2次项，1次项分别为；
的2次项，1次项为.
则的2次项为.
故选：B．
题型3 求三项展开式的特定项或特定项系数
【例3】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
【答案】B
【解析】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，
即这一项为.
故的系数为.
故选：B
【变式3-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．3 B．6 C．60 D．30
【答案】C
【解析】
根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.
要求的系数，则的次数，此时.
同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.
要得到，则令，解得.
当，时，的系数为
在的展开式中，的系数为60.故选：C.
题型4 用赋值法求系数和
【例4】（2026高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，令，则，故A正确；
对于BC，令，则，
令，则，
则，，故B错误，C正确；
对于D，由两边同时求导可得：
，
令，则，
所以，故D错误.
故选：AC
【变式4-1】（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，令，则，故A错误；
对于B，由的系数为，故B正确；
对于C，令，则①，
令，则②，
①+②可得，，故C错误；
对于D，对原方程两边求导，有，
令，得，故D正确.
故选：BD
题型5 求系数最大（小）的项
【例5】（2025高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（ ）
A．280 B．448 C．560 D．672
【答案】C
【解析】展开式通项公式为，且为整数，
要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，
则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，
故二项式展开式中，系数最大值为.
故选：C
【变式5-1】（2025高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项 B．第2项和第4项
C．第3项和第1项 D．第4项和第2项
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，
当取奇数时，系数为负值，
当时，，当时，，当时，，
所以第2项的系数最小；
因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.
故选：B.
题型6 杨辉三角问题
高频考点与固定套路
【例6】（2025高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．
C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行
【答案】BCD
【解析】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误；
对B，
，正确；
对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确；
对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，
第7行的数为：，所有数都是奇数，正确.
故选：BCD
【变式6-1】（2025高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误；
当时，
，选项C正确；
当时，
，选项D正确．
故选：ACD．
题型7 二项式定理的应用
【例7】（2025高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为既能被整除又能被整除，故能被整除，
因为
，
且能被整除，故能被整除，
设，可得，故的最小值为.
故选：D.
【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【答案】A
【解析】
故小数点后第二位的数字是0.
故选：A.
一、单选题
（2026高三下·吉林·月考）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】因为展开式的各项系数和为32，
所以令，有，得，
故，
因为展开式中含的项为，含的项为，
则展开式中的系数是.
（2026高三下·北京·月考）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．60 B． C．64 D．
【答案】A
【解析】设二项式的展开式中的通项为
，，
令，可得，,
故选：A.
（2026·吉林·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．120 B．80 C．40 D．
【答案】D
【解析】根据二项式定理，展开式的通项公式为：
.
令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；
令，可得，此时与相乘可得的系数为40；
所以的系数为.
（2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】的展开式的通项公式为，
令，解得，
.
故选：B.
（2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在的展开式中，第项为，其中，
含的项为，
含的项为，
结合，
可得的展开式中含的项为，
在的展开式中的系数为.
（2026高三下·北京·月考）若.则的值是（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】由，
令，可得，
令，可得，
所以.
二、多选题
（2026·河北衡水·模拟预测）关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有6项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4项
【答案】BD
【解析】展开式共有7项，故A错误；
展开式的各二项式系数的和为，故B正确；
展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误；
展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.
故选:.
（2026高二上·河南驻马店·期末）已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所
有项的系数绝对值的和为，则（ ）
A．
B．二项式系数最大的项为
C．第6项的系数为448
D．所有奇数项的系数和为3281
【答案】BD
【解析】由题意可得，二项式系数之和为，解得，
对于A选项，因为所有项的系数绝对值的和为，所以，解得，故A错误；
对于B选项，当时，二项式系数最大的项是第项，，故B正确；
对于C选项，，故第6项的系数为，故C错误；
对于D选项，令，令，则，令，，
所以所有奇数项之和为，
将代入可得，所有奇数项的系数和为3281；
将代入可得，所有奇数项的系数和为3281，故D正确.
故选：BD.
（2026高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（ ）
A．
B．展开式中无常数项
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D．展开式的各项系数之和是
【答案】ABC
【解析】由题意可知，则，故A正确；
设展开式的通项为，
显然无整数解，故B正确.
因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项二项式系数最大，
即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确；
令，则，故D错误；
故选：ABC.
（2025高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最
大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意二项式系数仅最大，故，
所以二项式为，其通项公式为，
设二项式展开式中第项的系数最大，则有，
，即，故，经经验符合题意，
所以展开式中系数最大的项是第3项.
故选：B.
（2026高三上·福建福州·开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256，则（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中存在常数项
D．展开式中的系数为16
【答案】AC
【解析】对于A，由二项式系数和的性质得中各二项式系数的和为，
而各二项式系数的和为256，则，解得，故A正确，
对于B，由已知得，
令，则展开式中各项系数的和为，故B错误，
对于C，由二项式定理得的通项为，且，
若展开式中存在常数项，则，解得，符合，故C正确，
对于D，令，解得，则的系数为，故D错误.
故选：AC
（2026高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的展开式中的系数为3
C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和
D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项
【答案】BCD
【解析】二项式的展开式的第项为，
当时，即时，可得，解得，所以A错误；
可得二项式，
展开式中的系数为3，所以B正确；
各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确；
可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确；
故选：BCD.
（2026·辽宁朝阳·一模）若，，为常数，则（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】BD
【解析】对于A，当时，令，可得为任意正整数，故A错误.
对于B，当时，，求解得，，，
，，，，可知，故B正确；
对于C，由题意，可知，令，则，所以或，故C错误；
对于D，由题意，可知，，即，
解得，又，，故D正确.
（2026高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中
展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ）
A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
B．第20行第7个数和第8个数的比为
C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为
D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数
【答案】ACD
【解析】对A：第48行的所有数字之和为，
由，
故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确；
对B：第20行第7个数为，第8个数为，
，故B错误；
对C：第行的第4个数字为，由，
则
，故C正确；
对D：第行所有数的平方和为，
第行最中间的数为，
由
，
则的展开式中的系数为，
又对，有，则其展开式中的系数为，
即有，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
（2026高三上·浙江杭州·期末）展开式中项的系数为________.
【答案】
【解析】
因为
所以展开式中项的系数为.
故答案为：
16．（25-26高三下·江西·月考）若，且，则的值为______.
【答案】
【解析】由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，
则，解得或0（舍去）.
17．（2026·广东·模拟）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________.
【答案】
【解析】因为在的展开式中，记项的系数为，
所以项的系数，
即，
由，可得，
即，
所以.
18.（2026高三下·天津·专题练习）已知多项式，则
______．
【答案】
【解析】展开式的通项，
展开式的通项，
所以，，，
所以.
19.（2026高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系
数最大的项是______．
【答案】
【解析】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则，
所以的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即
解得，而，所以，，
所以展开式中系数最大的项是,
20.（2026高三上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，
则被除所得余式为____________
【答案】
【解析】由被除之余式为，被除之余式为，
则可设，
且有，故，
则，
故被除所得余式为.
故答案为：.
21．（2026高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是
___________.
【答案】7
【解析】根据二项式定理，
对进行变形，
可得，即.
因为，所以.
根据二项式定理展开：
，
则.
除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除，
所以除以9的余数就是.
即被9除的余数是.
故答案为：7.
22.（2026高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________．
【答案】5
【解析】
因为能被整除，
所以除以的余数是，故的最小正整数为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题19 轻松突破二项式定理的七大热点题型
题型 考情分析 考向预测
1.求二项展开式特定项或项的系数 2025年上海卷 第4题考查求二项展开式特定项的系数 2024年天津卷 第11题考查求二项展开式的常数项 2024年全国甲卷 第13题考查二项展开式系数的最值 2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数的和 结合近年高考命题规律与新课标导向——“基础稳、交汇活、文化浓”，大概率以选择题或者填空题出现，难度基础或者中档，掌握公式，掌握通性通法，基础题遇到必拿分。
2.求两个二项式乘积展开式中特定项的系数
3.求三项展开式的特定项或特定项的系数
4.用赋值法求系数和
5.求系数最大（小）的项
6.杨辉三角问题
7.二项式定理的应用
题型1求二项展开式特定项或项的系数
3.
【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（ ）
A．60 B．36
C．729 D．6
【变式1-2】（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型2 求两个二项式乘积展开式中特定项的系数
【例2】（2026高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．35 B．5 C． D．
【变式2-1】（2026高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________．
【变式2-2】（2025高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（ ）
A．26 B． C．6 D．
题型3 求三项展开式的特定项或特定项系数
【例3】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
【变式3-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．3 B．6 C．60 D．30
题型4 用赋值法求系数和
【例4】（多选）（2026高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（多选）（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 求系数最大（小）的项
【例5】（2025高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（ ）
A．280 B．448 C．560 D．672
【变式5-1】（2025高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项 B．第2项和第4项
C．第3项和第1项 D．第4项和第2项
题型6 杨辉三角问题
高频考点与固定套路
【例6】（多选）（2025高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．
C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行
【变式6-1】(多选)（2025高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型7 二项式定理的应用
【例7】（2025高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【变式7-2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）数列中的项，若存在奇数，使得均不为偶数，则称数列为阶除序列．
(1)数列为阶除序列，当，求出所有的；
(2)已知，对任意的，恒有，求证：数列是5阶除序列．
一、单选题
（2026高三下·吉林·月考）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
（2026高三下·北京·月考）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．60 B． C．64 D．
（2026·吉林·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．120 B．80 C．40 D．
（2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．4 B． C．1 D．
（2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
（2026高三下·北京·月考）若.则的值是（ ）
A． B． C．3 D．5
二、多选题
（2026·河北衡水·模拟预测）关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有6项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4项
（2026高二上·河南驻马店·期末）已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所
有项的系数绝对值的和为，则（ ）
A．
B．二项式系数最大的项为
C．第6项的系数为448
D．所有奇数项的系数和为3281
（2026高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（ ）
A．
B．展开式中无常数项
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D．展开式的各项系数之和是
（2025高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
（2026高三上·福建福州·开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256，则（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中存在常数项
D．展开式中的系数为16
（2026高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的展开式中的系数为3
C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和
D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项
（2026·辽宁朝阳·一模）若，，为常数，则（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
（2026高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中
展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ）
A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
B．第20行第7个数和第8个数的比为
C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为
D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数
三、填空题
（2026高三上·浙江杭州·期末）展开式中项的系数为________.
16．（25-26高三下·江西·月考）若，且，则的值为______.
17．（2026·广东·模拟）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________.
18.（2026高三下·天津·专题练习）已知多项式，则
______．
19.（2026高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系
数最大的项是______．
20.（2026高三上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，
则被除所得余式为____________
21．（2026高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是
___________.
22.（2026高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________．
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