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专题01 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性综合应用
题型 考情分析 考向预测
1．函数的单调性及其应用 2025年全国一卷：第5题考查了周期性结合奇偶性应用 2025年全国二卷：第10题考查了函数奇偶性的应用 2024年新高考卷Ⅰ：第6题考查了根据分段函数的单调性求参数 以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性
2．函数奇偶性的应用（参数、图像、求值问题）
3．单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
4．函数的周期性及其应用
5．函数的对称性及其应用
6．函数的对称性结合周期性
7．函数性质的综合应用
8．原函数结合导函数的对称性
1、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 2、解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 3、设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数
1．（25-26高三上·山东淄博·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性计算即可.
【详解】易知，而单调递增，所以，
又，所以.
故选：A
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间.
【详解】对于函数有意义，可得，即，解得.
设，则函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为.
故选：D.
3．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以的取值范围是，
故选：D.
4．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数．记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
所以函数在为增函数，
又为增函数，所以函数在为增函数，
由于，所以，
故.
故选：B.
5．（25-26高三上·北京海淀·月考）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】选项A利用导数判断单调性即可；选项B利用导数判断；选项C.设，转化为对勾函数判断；选项D根据定义域判断.
【详解】A.,当时，，函数单调递减；
当 时，，函数单调递增.故在(0, +∞)上不单调，故A错误.
B. 由，得，当时，，所以递减，故错误；
C. 对于，设，当时，，
由对勾函数知：在上递增，故正确；
D. 对于，由，解得或，所以函数的定义域为或，故错误；
故选：C
6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意所求变为或，求解即可得答案．
【详解】因为是定义在上的减函数，且，
所以当时，，当时，，
由，
得或，
即或，
解得或，所以解集为．
故选：C．
7．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求导判断的单调性，利用单调性判断大小.
【详解】由，则，，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
又，所以，即.
故选：D.
8．已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为对任意的，且时，满足，
所以函数在上单调递增，
令，其图象的开口向上，对称轴为，
则在上单调递增，
当时，为单调递减函数，
由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意；
当时，为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知函数在单调递增，
又因为函数在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
题型2 函数奇偶性的应用（参数、图像、求值问题）
1、奇偶函数的性质 （1）偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 对称区间的单调性相反； （2）奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 对称区间的单调性相同； 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 3、已知奇函数，，则 （1） （2）
1．（2026·四川宜宾·一模）若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用奇函数性质求出，再利用奇函数定义及指数式与对数式互化关系求出函数值.
【详解】由函数为上的奇函数，且当时，，得，
解得，，所以.
故选：B
2．（23-24高三下·上海·月考）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数定义，结合的解析式直接求解即可.
【详解】当时，，，
又为奇函数，，
即当时，.
故选：B.
3．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．3 B．1或3 C．2 D．1或2
【答案】C
【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解.
【详解】因为为奇函数，所以，
解得或.
当时，，，故不合题意，舍去；
当时，，，故符合题意.
故选：C.
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数，
因为，
所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC；
当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象.
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义列方程，结合指数幂的运算求解.
【详解】，则，
由于是奇函数，则，
即，
则，
解得.
6．已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，由函数的奇偶性可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，为奇函数，为偶函数，
则，
所以，即，
解得.
故选：D
7．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】A
【分析】分离常数有，设，得到奇偶性，再利用对称性即可得到答案.
【详解】，令，定义域为，关于原点对称，
则，所以函数为奇函数，
因为在区间上的最大值为，最小值为，
则在区间上的最大值为，最小值为，
所以，即，
所以，所以．
故选：A．
8．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用导数的性质判断函数的单调性，根据奇偶函数的定义、基本不等式进行求解即可.
【详解】显然该函数的定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是奇函数，
，
，即，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以有，当时取等号，
而，当且仅当时取等号，
显然与不能同时成立，
所以，
所以该函数是实数集上的增函数，且又是奇函数，
所以
，
令，
因为m，n是正实数，
所以，
所以，
即，当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以当时，的最小值为，
故选：D
题型3 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1．（2027高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用偶函数的对称性将函数值不等式转化为自变量绝对值的不等式，再通过对数运算解出变量的取值范围.
【详解】根据题意知，为偶函数且在上单调递增，则，
即，即，解得，
即的取值范围是．
故选：D.
2．（25-26高三上·广东·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
当时，因为，均在上单调递增，
所以在上单调递增，又为连续函数，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
3．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到在为单调递减函数，且，利用对数函数的单调性，求得，结合的单调性，即可求解.
【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，
可得函数在上为单调递减函数，且，
所以，，
因为，所以，，，
可得，所以，
即，所以.
4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性，结合单调性与奇偶性得到，解得即可.
【详解】因为，函数的定义域为，
当时，，则；
当时，，则；
所以，即为偶函数，
又当时，且与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令，
利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小．
【详解】∵，
∴，∴是偶函数，
，
当时，，故函数在上单调递增，
令，则，
即函数在上单调递减，故，
即，而，
所以，
∴．
故选：C．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由不等式可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立，
所以有，或，
即，或，
所以当时，函数单调递增，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以当时，函数单调递增，
由，或，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以由，
由，
由，
所以不等式的解集为，
故选：D
7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据条件判断出的奇偶性和单调性，然后将问题转化为“”，结合的函数性质列出不等式组求解出结果.
【详解】由题意知，
令，
且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，
因为为上的减函数，为上的减函数，
所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减，
又由，得，
所以，
所以任意恒成立，即对任意恒成立，
若，可得，此时恒成立，满足要求；
若，则需，解得，
综上所述，的取值范围是，
故选：B.
8．（25-26高三上·山东·月考）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，把不等式转化为，得到，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由不等式，可得，
因为为偶函数，可得，
所以原不等式即为，即，
又因为在区间上单调递减且为偶函数，可得，
即或，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
9．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，从而即可一一判断各选项.
【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，.
对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误；
对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误；
对于C：因为，在上单调递减，所以，故C正确；
对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错误；
故选：C.
10．（25-26高三上·福建福州·月考）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可.
【详解】构造函数，其中，则，
故函数为偶函数，
当且时，都有成立，
不妨设，则，
则，即，
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为，则，
当时，由得，即，解得；
当时，由得，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B
题型4 函数函数的周期性及其应用
周期性技巧
1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据可求的周期，根据函数周期性即可求值.
【详解】由得，
所以函数的周期，
所以．
故选：B.
2．（24-25高三上·广东佛山·月考）是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用周期性与奇函数性质求的值.
【详解】因为是定义在上周期为的奇函数，
所以.
故选：C.
3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件求出的周期，结合函数周期性求值即可.
【详解】因为，所以，
所以，即.
所以是周期为4的周期函数.
所以.
在中，令，则，所以.
因此.
4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出4是函数的一个周期，利用周期性和奇偶性即可求得答案.
【详解】因是定义在上的奇函数，则，
又，则，
故，即，则，
故4是函数的一个周期，
于是.
故选：A.
5．（2027高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先推导时函数的周期，再利用周期性将转化为，结合分段函数表达式建立方程求解．
【详解】因为当时，，
所以，，即，，
所以，
则．
故选：C．
6．如果且，则的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．1013 D．2026
【答案】D
【分析】根据已知得到，结合目标式求值即可.
【详解】因为，所以，又，所以，
则.
故选：D
7．（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果.
【详解】将中的替换为可得，
则，
用替换，即，
所以函数是以为周期的周期函数，
由，令，则，
且是定义在上的奇函数，则，所以，
令，则，且，则，
令，则，因为，所以，
所以，
则
.
题型5 函数的对称性及其应用
1、轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称； 小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。 2、中心对称结论如下： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果.
【详解】当时，，得.
再由，，所以.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据解析式可得，利用对称性求函数值.
【详解】由题设，
且，则，
由，可得.
故选：A
3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可.
【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
由，有，即，
解得或，所以不等式的解集为.
故选：C.
4．已知函数，则函数的图像对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案.
【详解】任意取函数上一点，则，
对于A，点关于点成中心对成的点为点，
，故A错误；
对于B，点关于点成中心对成的点为点，
，故B错误；
对于C，点关于点成中心对成的点为点，
，故C正确；
对于D，点关于点成中心对成的点为点，
，故D错误.
故选：C.
5．已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ）
A．2000 B．1999 C．4000 D．3999
【答案】D
【分析】由题意得，采用倒叙相加法即可求解.
【详解】函数为定义在R上的奇函数，函数，
所以，
设
则，
两式相加可得，解得，
所以．
故选：D.
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.
故选：D.
7．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．8100
【答案】A
【分析】首先得出关于中心对称，然后即可利用这一性质求解.
【详解】，
所以，即关于中心对称，
所以.
故选：A.
题型6 函数的对称性结合周期性
函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
1．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据题意证明，即可得到答案.
【详解】根据题意有，，故，从而.
所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由为奇函数得的图象关于点对称，即，进而得即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点对称，，
因为，所以，
所以的最小正周期为4，则.
故选:B.
3．已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．24 B．16 C．0 D．
【答案】C
【分析】利用条件可得函数的周期性，根据赋值法求得，利用可求得，再由，可得，进而即得.
【详解】由可得：，
由可得：，
所以，可得，
所以，
即是一个周期为的周期函数，
则，
又由可得：，
由可得：，即，
所以，
故选：C.
4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由和推出，进而得周期即可求解.
【详解】由为奇函数有，
为偶函数有，
所以有，即，
所以函数的周期为，所以，
又，
故选：C.
5．已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由题，可知函数的周期性和对称性，结合已知求解即可.
【详解】由满足，得，
所以，所以，
所以是以4为周期的函数，
因为，
所以的图象关于直线对称，
因为当时，，
所以.
故选：C.
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【答案】D
【分析】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
即，从而，
则的图象关于点对称．
由，可得．
令，得，则的图象关于直线对称．
，
则的图象关于点对称，则有，
所以，，
两式相减得，故是以4为周期的函数．
因为，，，，
所以．
故选：D.
7．（2026·新疆·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据为奇函数判断出，函数关于点中心对称，根据为偶函数判断出函数关于直线对称，进而可得出函数的周期为8，然后根据函数解析式求出，进而求得结果.
【详解】因为为奇函数，所以满足，
即函数关于点中心对称，所以.
因为为偶函数，所以满足，
即函数关于直线对称，所以.
所以有，，令，则，
即，进而，故函数的周期为8.
当时，，所以.
由得，；由得.
求和项共有项，因为，
且，，，
所以原式.
故选：D.
题型7 函数性质的综合应用
1．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题.
【详解】由，得函数关于点对称，
又，得函数关于直线对称，
从而函数是周期为4的周期函数.
又当时，，则，
即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象，
又方程的根即与的交点横坐标，如图
两函数共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17.
2．定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、单调性来确定正确答案.
【详解】由函数是偶函数，则图象关于轴对称，
因为函数的图象可由函数向右平移个单位得到，
所以的图象关于直线对称，即，
任意，当时都有，
所以在区间上单调递减，
由，则，
故D选项正确.
故选：D.
3．若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】D
【分析】应用函数的对称性得出对称轴判断A，应用奇函数及函数的对称性得出对称中心判断B，应用单调性的定义结合对称性判断C，应用函数的周期性和单调性判断D.
【详解】因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于点中心对称，故A正确；
因为在区间上，有，所以在上单调递增，
因为关于轴对称，关于点中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即，
所以，所以是以4为周期的周期函数，
又在上单调递增，
所以，故D错误.
故选：D.
4．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解.
【详解】由是奇函数，则，故关于中心对称，
由，令，则，即，
由，令，则，
故，则，
故，即有，故以为周期，
由，则，
，，
，，
则
.
5．（多选题）（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．
D．不等式的解集为
【答案】AD
【分析】根据函数的性质可判断出的图象关于直线对称，且在上单调递增，即可判断AB的正误；结合函数对称性以及单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式即可判断D.
【详解】由题意知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，
∵函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到，
∴函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，
∴函数在上单调递减，故A项正确，B项错误；
∵，故C项错误；
∵，且，∴，即，解得，
∴不等式的解集为，故D项正确.
6．（多选题）（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（ ）
A． B．的周期
C．在上单调递增 D．满足
【答案】AC
【分析】根据条件，研究函数的性质，逐项判断即可.
【详解】在中，令，可得，
又，所以函数的图象关于直线成轴对称，所以.
由函数的图象关于点对称，所以.
所以.
用代替，可得，
再用代替，可得，
所以，所以函数是以为周期的周期函数，
因为，所以不是函数的周期.故B错误；
因为，且，所以，故A正确；
设，则，
因为在上单调递减，所以，
又，，所以，所以函数在上单调递增.故C正确；
又，，.
在中，令得：，
因为函数周期为，所以，由A选项可得，.
在中，令，可得.
又，但根据题意，函数在上单调递减，而非在上单调递减，
所以的符号无法确定，故与的大小无法确定.故D错误.
故选：AC
7．（多选题）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于函数对任意都有，
所以，所以是周期为的周期函数，
由于函数的图象关于对称，
所以的图象关于对称，所以是偶函数，A选项正确.
由，以替换，
得，所以关于对称，D选项正确.
所以，
，
所以，B选项正确.
由于对任意的，且，都有，
所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
由上述分析可知，，
所以，所以C选项错误.
故选：ABD
8．（多选题）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
【答案】BC
【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项.
【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称，
所以，即，
也即，
当时，成立，
当时，，
又函数是定义在上的偶函数，
所以，故A错误；
对于B，，
由，所以函数的周期为6，
所以，故B正确；
对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数，
由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确；
对于D，令，则或，
此时在区间有一个零点，
因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，，
所以，
此时，
所以在区间共有个零点分别为，
此时，故D不正确.
题型8 原函数结合导函数的对称性
导函数与原函数的对称性 （1）为偶函数为奇函数 （2）为奇函数为偶函数 （3）为偶函数有对称中心 注意：此处 或 同理： （4）有对称轴有对称中心 （5）关于中心对称有对称轴 注意：此处 或
1．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和对称性，可判断函数的周期性，可判断A的真假；对函数求导，分析的奇偶性、周期性和对称性，可判断BCD的真假.
【详解】由，则，
又函数是奇函数，则，，
因此可得，即函数的周期为2，
由，则，
所以，故A正确；
由函数是奇函数，则，
两边求导，得，
又是的导函数，则，故B正确；
由，则，即，故C正确；
由，得为的对称轴，即，
两边求导得：.
令，得，即.
而，由，
得，则为的对称轴，的值不一定为0，故D不正确
2．已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2025 D．－2025
【答案】B
【分析】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
所以关于直线对称，求导得 关于点对称，
即，
又为偶函数，则，所以关于直线对称，
推导周期：及，
得，
得，
得，
得函数的周期为4，
由，得，
得，
共项和，因为，
所以，
故选：B.
3．（多选题）（2025·四川绵阳·一模）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ）
A． B．的一个周期为8
C． D．的图象关于对称
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
令，可得，解得，A错误；
因为是偶函数，则，且，
用代替可得，即.
又，则，所以，从而有，
所以的一个周期为8，B正确；
因为是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，所以，C正确；
由，两边同时对求导得，
即，所以函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：BCD
4．（多选题）（25-26高三上·江苏淮安·月考）设定义在上的函数与的导函数分别为和，且，且的图象关于点对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由题可得，，对于，令，可判断选项正误；对于B，对两边求导可得，结合，可判断选项正误；对于C，由，可得（为常数），再结合，可得，令，可判断选项正误；对于D，由AC分析，可得，据此结合，可得，可判断选项正误.
【详解】对于A，因的图象关于点对称，则，
令，则，对于，
令，则，故A错误；
对于B，，则.
又，则，故B正确；
对于C，因，则，
则（为常数），又，
可得，则，令，可得，
则，故C正确；
对于D，由A，C项分析，，
由，则，
即.
，
又，
则，
即，故，故D正确.
故选：BCD
5．（多选题）（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案.
【详解】令，代入到中，
得：，即：，
令，得，
而是定义域为的奇函数，所以，
所以，故A正确；
假设成立，又因为，
所以，所以为偶函数，
又已知是定义域为的奇函数，
所以对，，
与，使得矛盾，故B错误；
，
两边求导数，得，
即，故C正确；
因为是定义域为的奇函数，
所以，
两边求导得：，
又，
所以，
，
在中令，得，故D正确．
1．已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性转化不等式，再运用单调性化简不等式，即可解得.
【详解】因是定义在R上的奇函数，由可得，
又因时，单调递增，故在R上单调递增，
故得，，解得，.
故选：C.
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知的定义域为，满足，则 （ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出函数值.
【详解】由上的函数满足，得，
即函数是以6为周期的周期函数，而，
所以.
故选：D
3．（25-26高三上·四川·月考）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得正确答案.
【详解】依题意，是偶函数，
在上单调递增，在上单调递减，
，
由，得，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
4．（25-26高三上·黑龙江·期中）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可.
【详解】设，则，
且，为减函数，
若函数在区间上是减函数，
则需是增函数且时恒成立，
，解得，即的取值范围是.
故选：D.
5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【详解】因为是偶函数，所以，
由，得，
所以，得，
所以是以4为周期的函数，
所以．
6．（2026高三·全国·专题练习）下侧图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图象得，所求函数为奇函数，分别求选项中函数的奇偶性，即可排除AC，对于B，当时，有，当时，，满足题意，对于D，当时，趋于0，趋于1，，不符合题意
【详解】由图象得，所求函数为奇函数，
对于A：令，函数的定义域为非零实数集，
因为，所以该函数为偶函数，不符合题意；
对于B：令，函数的定义域为非零实数集，
因为，所以该函数是奇函数，
当自变量时，趋于0，趋于1，，
当自变量时，在之间震荡，故，
故B符合；
对于C：令，函数的定义域为非零实数集，
因为，所以该函数为偶函数，不符合题意；
对于D：设函数，函数的定义域为非零实数集，
因为，所以该函数是奇函数，
当自变量时，趋于0，趋于1，，不符合题意.
故选：B．
7．（2024·宁夏银川·一模）若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.
【详解】由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
8．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数，
当时，和均为增函数，所以在上单调递增，
故由可得，解得.
故选：B.
9．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解.
【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称，
得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内，
则，即，此时，，
，
因此函数的图象关于点对称，符合题意，
所以.
故选：A
10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数性质得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
又 ，，
所以，则，
故选：B．
11．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：A
12．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称和函数的单调性比较可得答案.
【详解】当且，时，恒成立，
可得在上单调递减，且关于对称，
所以在上单调递增，，
，，
即.
故选：B.
13．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数，
则对任意的，，故函数的图象关于直线对称，
所以，
因为函数在单调递增，故函数在上单调递减，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，与的大小关系不确定，D错.
故选：B.
14．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果.
【详解】因为是偶函数，所以，所以，
即，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
即，所以，所以函数以4为周期,
即，
所以.
故选：B
15．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得出，可求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，结合周期性可得出的值.
【详解】因为函数为上的奇函数，则，
当时，，则，解得，
故当时，，
对任意的，，可得，
故，所以函数是以为周期的周期函数，
因为，，
所以，，
所以.
故选：C.
16．（2026·江西·模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数求出的单调性，再比较自变量的大小即可.
【详解】，定义域为，
因为是递减函数，是递增函数，所以在上单调递减，
因为，所以，即，
故，即.
故选：B
17．（25-26高三上·山东淄博·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数单调性定义确定在的单调性，再结合奇偶性求解不等式.
【详解】设函数，由为上的奇函数，得，
则函数是上的偶函数，又，
依题意，对任意的，且，都有，
则函数在上单调递增，所以在上单调递减，
由，得，
不等式，即，
则，即或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
18．（24-25高三上·山东枣庄·月考）函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．为偶函数
C．，恒成立 D．的解集为
【答案】A
【分析】根据函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，在单调递减得在单调递增，可判断ABC；再由可判断D.
【详解】若函数的图象关于直线对称，
则的图象关于轴对称，即为偶函数，故B正确，故A错误；
又在单调递减，所以在单调递增，
所以，恒成立，故C正确；
因为，所以，
又在单调递减，所以在单调递增，
时
时
所以的解集为，故D正确.
故选：A.
19．已知，，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小.
【详解】因为，所以（当且仅当时取等号），
所以函数在上单调递增.
又，即，所以，
即.
故选：B
20．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称 D．是奇函数
【答案】A
【详解】由，得，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误；
由于周期为2，所以，，
又，得，所以是偶函数，A正确；
由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误；
令，由是偶函数且，
得，又，
所以，所以为偶函数，D错误.
21．（2025高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是M，最小值是N，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，则在上是奇函数，利用奇偶性即可求解.
【详解】，令，
则在上是奇函数，
故有，，
即，
故选：C．
22．已知是定义在R上的函数，的图象关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解．
【详解】因为是定义在R上的函数，的图象关于点对称，
所以为奇函数，，
因为，即，所以，
构造函数，则有，所以在R上单调递减，
因为，所以为奇函数，
变形，
则有，即，
所以，即，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C
23．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得转化为，进而解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数
设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即函数为奇函数，
设，则，
，在上为增函数，而在上为增函数，
故在区间上为增函数，
又为增函数，所以在区间上为增函数，
不等式即为，
也即，
所以，解得.
故选：A.
24．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数的定义域为R，且满足，当时，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2027 D．2024
【答案】A
【分析】根据条件，整理计算，可得的周期为4，根据解析式，代入数据，可得的值，代入条件，可得，根据的周期性，代入计算，即可得答案.
【详解】因为，则的周期为4，
因为当时，，
所以，
因为，所以，则，
又的周期为4，所以，
所以，，
故.
故选：A
25．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是偶函数
【答案】C
【分析】利用赋值法结合题目所给条件即可判断.
【详解】对于A：代入得，若，
则无意义，由题干知 是定义域为的函数，
与无意义矛盾，故A错误；
对于B：代入，得，
与A选项相同，故B错误；
对于C：由（①）可得（②），
联立①②可得，用代换得（③）；
是定义域为的偶函数，所以，
用代换得（④），联立③④得（⑤），
用代换得，故C正确；
对于D：若 是偶函数，则易得关于对称，
进而有，而由题干知，可得，此条件不一定成立，故D不一定正确.
故选：C.
26．已知函数定义域为，且，关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，通过条件得到的对称性，进而得到其周期，再通过赋值求出，进而通过计算求解即可.
【解答】
由题设条件得 ，
令 ，有 ，
则 的图象关于直线 对称，
因为 ，有 ，即 ，
则 的图象关于 对称
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以为 的一个周期，
因为
把 代入得 ，
故 ，
有 ．
故选：A.
27．（25-26高三上·黑龙江·月考）设函数，令，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将整理为，求出的定义域为，根据偶函数的定义得到是偶函数，构造函数，利用导数法求出的单调性，利用复合函数的单调性得到在上单调递增，由是偶函数，得，再由对数换底公式和运算性质求出，，，计算，利用基本不等式得到，从而得到，继而得到，由在上单调递增得到.
【详解】，的定义域为，
，是偶函数，
令，，
当时，，在上单调递增，
在上单调递增，
在上单调递增，
由是偶函数，得，
再由对数换底公式和运算性质，
得，，
，，
所以，所以，又在上单调递增，
所以.
故选：C.
28．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上是单调递增函数
C． D．
【答案】C
【分析】先通过题干求出的周期；根据偶函数定义判断A选项；通过，结合的单调性与单调性运算性质可判断B选项；利用作差法，结合函数的符号进行比较大小即可判断C选项；结合函数的周期性和对称性判断D选项是否具有周期性.
【详解】已知（①），将替换为得 （②），
由①+②得，则，
即函数周期为，且恒成立，
又是定义域的偶函数，故，且在单调递增，
因此，结合得.
选项A：（③），
由得，代入③式得，
而，显然，故A错误；
选项B：时，，，递增，
故在递减； 同时，在上单调递增，
因此，根据单调性运算性质可知递减函数，故B错误；
选项C：因此，
已知，故，故C正确；
选项D：，故D错误.
29．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（ ）
A．3为的一个周期 B．关于点对称
C．是偶函数 D．
【答案】D
【分析】对于A，根据题目所给的两个等式，推导与的关系即可；对于B，证明是否成立即可；对于C，对含的表达式两边求导即可；对于D，结合周期性求解即可．
【详解】对于A，由，令，则，即函数关于点中心对称，
结合，，
所以，
因此，3是的一个周期，故A正确；
对于B，由A选项可知，且周期为3，令，得，
又因为，所以，也即关于点中心对称，故B正确；
对于C，由B选项可知，两边对x求导，得，即，因此是偶函数，故C正确；
对于D，由，令，得，即，
由周期为3，且，得，
由，令，可得，
进一步，
根据周期性，
，故D错误．
本题选择错误的，故选：D．
30．（多选题）（25-26高三上·河北保定·月考）设定义在上的函数与的导函数分别为和，且，，且的图象关于点对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称、周期性、导数性质等知识对每个选项进行判断即可.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
令，可得，所以A错误；
因为，所以，所以，
又，所以，所以，所以B正确；
因为，所以，所以（为常数），
因为，所以，所以，
令，可得，所以，所以，故C正确；
由得，的图象关于直线对称，
又的图象关于点对称，所以，
则，则是周期为4的周期函数，
则，因为，所以，
所以，所以，
故函数是周期为4的周期函数，所以，所以D正确．
故选：BCD
31．（多选题）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．是周期为4的函数
C． D．的图象关于点对称
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性及周期函数的求和求解即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且.
因为为偶函数，所以.
选项A：由，令，则，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确.
选项B：因为，即,
所以，
，
所以是周期为4的函数，故B正确.
选项C：因为函数的图象关于直线对称，所以.
因为是周期为4的奇函数，所以，.
所以一个周期内的和.
所以，故C正确.
选项D：奇函数的定义域为R，且，因此的图象关于点不对称，故D错误.
32．（多选题）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数
C．在上单调递减 D．在内有4个零点
【答案】AB
【分析】由是偶函数可得关于直线对称，所以A正确；由是奇函数可得关于点对称，结合选项A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D.
【详解】对于A：是偶函数，，
关于直线对称，故A正确；
对于B：由A可知关于直线对称，①，
又是奇函数，，即，
关于点对称，②，
由①②可得，即，
，
，
的一个周期为8，故B正确；
对于C：由B知关于点对称，时，单调递增，
在也单调递增，又关于直线对称，
∴在上单调递减，上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，关于对称，，
又关于直线对称，，
又在也单调递增，关于直线对称，
在内有2个零点，故D错误，
故选：AB.
33．（多选题）已知函数满足对任意的，都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．是偶函数
C． D．
【答案】AC
【分析】根据平移结合已知可推得的图象关于点对称，是奇函数.进而根据奇函数的性质，结合已知即可判断A项，以及求出函数周期，进而判断C项；根据已知结合函数单调性的定义，即可得出函数在上的单调性，结合函数的周期性以及对称性，即可判断D项.
【详解】对于A、B项，由已知函数的图象关于点对称，
可得，的图象关于点对称.
又定义域为R，所以是奇函数，故B项错误.
由是奇函数，可得.
又由已知可得，，
所以有，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于C项，由可得，，
所以有，
所以的周期为4，所以.
又是奇函数，所以.
由代入可得，，
所以，，故C项正确；
对于D项，由的周期为4，可得.
又的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，.
由对任意的，，，都有，
可得，.
所以，，都有，
所以，在上单调递增.
所以，，即有，故D项错误.
故选：AC.
34．（多选题）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D.
【详解】对于A，由，可得，
两式相减可得，故A正确；
对于B，由为偶函数，可得，
即，所以的图象关于直线对称，
由，两边求导得，即，
所以是以4为周期的周期函数，
则有，无法推出，故B错误；
对于C，由，两边求导得，
即，令，可得，
又，令，可得，
并联立，解得，故C正确；
对于D，由，当时，，又，可得，
当时，可得，
由，即，
所以，令，可得，
所以，令，可得，，，
由A知的周期为4，则，所以，
，故D正确.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性综合应用
题型 考情分析 考向预测
1．函数的单调性及其应用 2025年全国一卷：第5题考查了周期性结合奇偶性应用 2025年全国二卷：第10题考查了函数奇偶性的应用 2024年新高考卷Ⅰ：第6题考查了根据分段函数的单调性求参数 以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性
2．函数奇偶性的应用（参数、图像、求值问题）
3．单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
4．函数的周期性及其应用
5．函数的对称性及其应用
6．函数的对称性结合周期性
7．函数性质的综合应用
8．原函数结合导函数的对称性
1、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 2、解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 3、设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数
1．（25-26高三上·山东淄博·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·北京海淀·月考）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型2 函数奇偶性的应用（参数、图像、求值问题）
1、奇偶函数的性质 （1）偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 对称区间的单调性相反； （2）奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 对称区间的单调性相同； 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 3、已知奇函数，，则 （1） （2）
1．（2026·四川宜宾·一模）若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
2．（23-24高三下·上海·月考）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．3 B．1或3 C．2 D．1或2
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．4
6．已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
8．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型3 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1．（2027高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·广东·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·山东·月考）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高三上·福建福州·月考）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型4 函数函数的周期性及其应用
周期性技巧
1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高三上·广东佛山·月考）是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（2027高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．如果且，则的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．1013 D．2026
7．（2026·浙江·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
题型5 函数的对称性及其应用
1、轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称； 小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。 2、中心对称结论如下： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则函数的图像对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ）
A．2000 B．1999 C．4000 D．3999
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．8100
题型6 函数的对称性结合周期性
函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
1．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．24 B．16 C．0 D．
4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
5．已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
7．（2026·新疆·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型7 函数性质的综合应用
1．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A． B． C． D．
2．定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
4．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（多选题）（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在上单调递减
C．
D．不等式的解集为
6．（多选题）（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（ ）
A． B．的周期
C．在上单调递增 D．满足
7．（多选题）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．的图象关于对称
8．（多选题）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
题型8 原函数结合导函数的对称性
导函数与原函数的对称性 （1）为偶函数为奇函数 （2）为奇函数为偶函数 （3）为偶函数有对称中心 注意：此处 或 同理： （4）有对称轴有对称中心 （5）关于中心对称有对称轴 注意：此处 或
1．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2025 D．－2025
3．（多选题）（2025·四川绵阳·一模）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ）
A． B．的一个周期为8
C． D．的图象关于对称
4．（多选题）（25-26高三上·江苏淮安·月考）设定义在上的函数与的导函数分别为和，且，且的图象关于点对称，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
1．已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知的定义域为，满足，则 （ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
3．（25-26高三上·四川·月考）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·黑龙江·期中）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．0 C． D．
6．（2026高三·全国·专题练习）下侧图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·宁夏银川·一模）若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
8．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
10．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
12．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
15．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2026·江西·模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
17．（25-26高三上·山东淄博·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高三上·山东枣庄·月考）函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．为偶函数
C．，恒成立 D．的解集为
19．已知，，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称 D．是奇函数
21．（2025高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是M，最小值是N，则（ ）
A． B．
C． D．
22．已知是定义在R上的函数，的图象关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
23．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数的定义域为R，且满足，当时，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2027 D．2024
25．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是偶函数
26．已知函数定义域为，且，关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
27．（25-26高三上·黑龙江·月考）设函数，令，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上是单调递增函数
C． D．
29．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（ ）
A．3为的一个周期 B．关于点对称
C．是偶函数 D．
30．（多选题）（25-26高三上·河北保定·月考）设定义在上的函数与的导函数分别为和，且，，且的图象关于点对称，则（ ）
A． B．
C． D．
31．（多选题）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．是周期为4的函数
C． D．的图象关于点对称
32．（多选题）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数
C．在上单调递减 D．在内有4个零点
33．（多选题）已知函数满足对任意的，都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．是偶函数
C． D．
34．（多选题）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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