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专题02 抽象函数的性质：定义域、值域、求值、单调性、奇偶与对称性、周期性、解析式
题型 考情分析 考向预测
1．抽象函数的定义域、值域 2026年上海卷：第16题考查了抽象函数的值域 2025年北京卷：第7题考查了抽象函数的值域 2024年新高考卷Ⅰ：第8题考查了抽象函数的求值 2023年新高考卷Ⅰ：第11题考查了抽象函数的奇偶性与求值 考查抽象函数的奇偶性与以及周期性结合求值
2．抽象函数的求值
3．抽象函数的单调性（定义法）
4．抽象函数的奇偶性
5．抽象函数的对称性
6．抽象函数的周期性
7．抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
题型1 抽象函数的定义域、值域
抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.
【详解】由函数的定义域为，
所以函数要有意义则：，解得：，
所以函数的定义域为：.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解.
【详解】由函数的定义域为，所以，
所以的定义域为，所以，
则的定义域为，故A正确.
故选：A.
3．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可.
【详解】因为的定义域为，所以，所以.
则的定义域为，故对于，令，解得.
故的定义域为，
故答案为：B.
4．定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果.
【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同.
故选：B
5．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移对定义域和值域的影响.
【详解】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变；
故选：D
6．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.
【详解】由函数的值域为，得，
由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，
则，则，而函数与的值域相同，
所以函数的最大值为3.
故选：B
题型2 抽象函数的求值
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解；
1．（24-25高三上·江西·月考）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】令代入题设关系式，即可求.
【详解】令，则.
故选：A
2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】B
【详解】在中，且，
令，得，
令，得，
令，得.
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】赋值法得到，，，，从而
【详解】因为，，所以，
又，有，
又由，有，故，
．
故选：A．
4．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足：，都有，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】令，得出，再令即可求出.
【详解】令，则，
因，则，
令，则，
则.
故选：D
5．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得.
【详解】，，令，得，
又，，，
再令，，，
.
故选：B
6．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先应用赋值法计算得出，进而得出，进而判断各个选项.
【详解】取，得，
又，故．
取，得，即，
所以对正整数x，，
得，，A选项错误；D选项正确；
，B选项错误；C选项错误；
故选:D．
题型3 抽象函数的单调性（定义法）
1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有．
(1)求证：，且当时，有；
(2)判断在上的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)在上单调递减
【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1；
（2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减.
【详解】（1）证明: 由题可知对任意实数，，恒有，令，，则．
因为当时，有，所以．
令，，则，，
所以．
即当时，有．
（2）不妨设，则，所以．
由（1）知，，
所以，
即，所以在上单调递减．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足条件：
①对定义域上任意，都有；②当时，．
(1)求证：；
(2)求证：在上单调递增．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法可得答案；
（2）设，利用已知结合单调函数的定义可得答案．
【详解】（1）令得，
令，则，即；
（2）设，则，故，
因为，
所以，即在上单调递增．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，．
(1)求证：当时，；
(2)求证：在上单调递减．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由并结合不等式性质可证明；
（2）利用函数单调性定义证明即可.
【详解】（1）由题可知，
由，得，
而，当时，，
从而，即．
另解：，．
（2）对于任意的，，
由于，所以有，
故，
即在上单调递减．
4．（2026·湖北孝感·一模）已知定义在上的函数满足以下条件：
①；
②当时，；
③对，均有，且．
(1)用表示；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)已知数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)是上的单调递增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）先令，得，再令即可求得.
（2）先判断的单调性，再结合函数法则利用单调性定义证明即可.
（3）先求得，然后利用是上的单调递增函数得，进而结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法及错位相减法求和即可.
【详解】（1）对③式，令，，则，
即，又∵，∴，
对③式，令，则，
又∵，即，∴.
（2）是上的单调递增函数，
证明：，且，则
，
∵，∴，
又∵时，，∴，
∵当时，，则，∴，
又∵时，，而，∴，
∴，∴，
∴，即，
∴是上的单调递增函数.
（3）对③式，令，则，
∴
，
又∵是上的单调递增函数，∴，
∴，
设，①
则 ，②
得：，
∴.
5．已知函数在上满足，且当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)在R上单调递减，证明见解析；
(3).
【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值；
（2）由得，讨论、，并结合及已知即可证；
（3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集.
【详解】（1）令，则，故，可得，
令，则，
当，则，即，与题设不符，
所以；
（2）在R上单调递减，证明如下：
当时，；当时，，
由（1）知，
由，
当，即，，，
所以，即在上单调递减，
当，则，，，
所以，即在上单调递减，
综上，结合，易知在R上单调递减，得证.
（3）令，则，故，即，
所以，则，
由（2）知，，即，可得或，
所以不等式解集为.
题型4 抽象函数的奇偶性
令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性
1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数
【答案】B
【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性.
【详解】函数定义域为，关于原点对称.
令得，即，
令得，即，
令，得，即，
所以是偶函数，
故选：B．
2．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断．
【详解】在中，
令，则，又，所以，
令得，所以，
所以是偶函数，
故选：B．
3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为，
所以令，可得，
令，则，
所以，
则既不是奇函数又不是偶函数，
且，
所以是奇函数.
故选：C
4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
【答案】C
【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)，
令，可得，所以，则，
代入(*)，可得，又，
则，即得，
则有，
所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意．
故选：C.
5．函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　）
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数关系，利用赋值法推理计算得（），再利用奇偶性定义判断作答.
【详解】对任意的实数x，y，，有成立，
令，则有，又，
因此，显然，得，，
又，于是，
当且时，，整理得，于是，
因此，，有且，
所以函数（）既是奇函数又是偶函数．
故选：C
题型5 抽象函数的对称性
1、对称轴：或者 关于对称； 2、对称中心：或者 关于对称； 3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
1．已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】A
【分析】先令得，再令得，从而，即的图象关于对称，进而利用对称性及的最小值求解的最大值即可.
【详解】令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
所以函数的图象关于对称，
故由的最小值为，得的最大值为.
故选：A
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是奇函数
C． D．的图象关于点对称
【答案】D
【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D.
【详解】对于A，取，则，
即，得，故A正确；
对于B，取，则，
得，故是奇函数，B正确；
对于C，对任意的都有，
可得，即，
因此，故C正确；
对于D，由于，
因此的图象关于点对称，故D错误.
故选：D.
3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】利用赋值法先推出是奇函数，再得到从而周期为，又由为奇函数，得到图象关于直线对称，结合周期性和对称性，可知方程在上四个根具有对称分布关系，因此它们的和为两个对称轴位置之和的两倍，进而求出的值.
【详解】取，得，即为奇函数；
取，得，所以，
所以，所以的周期为．
由为奇函数，得，
即，于是，因此,
取，则，即，
，故关于对称
又的周期为，故直线也是图象的对称轴，
又方程在区间上恰有四个不同的实数根，
由对称性可知，四个根两两分别关于直线和对称，故，，
即．
故选：
4．（多选题）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有，则（　　）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．关于直线对称 D．关于点对称
【答案】AC
【分析】利用赋值法结合奇偶性及对称性对选项逐一分析即可.
【详解】令，则，
可得，
对于：令，则，
即，所以关于直线对称，故正确，错误；
对于：令，则，
即，
所以，
因为不恒为0，所以，
即，所以是奇函数，故正确，错误.
故选：AC.
5．（多选题）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【详解】令，得，
以替代，得，
消去，得.
再令，得，即，
所以，即，
则，，A正确，C错误.
而，
当时，取得最小值，且最小值为，B正确.
因为，
所以的图象关于点对称，D正确.
题型6 抽象函数的周期性
1、换为确定周期性. 2、；； ；（为常数）；
1．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值.
【详解】函数，对，有，
取，得，而，则，
对，令，得，
即，因此，函数周期为4，
令，得，而，则，
所以.
故选：A
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】利用条件通过列举法得出函数的周期，利用周期的性质可求答案.
【详解】令得，解得．
令得．
因为，所以，
令得，解得，
令得，解得，
令得，解得，
令得，解得，
令得，解得，…，
所以函数是周期为3的周期函数，
又，所以．
故选：C
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数满足，，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】构造函数，通过其周期性，确定的周期性，即可求解.
【详解】
可得：，
即，
令，
则，
可得，
所以是以4为周期的函数，
所以也是以4为周期的函数，
所以，
令可得：，
结合，可得，
所以.
故选：B
4．函数满足对任意的，均有，且，则（ ）
A．4048 B．4046 C．2024 D．2023
【答案】B
【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解.
【详解】对任意的，均有，
所以当时，，
所以，
故选：B
5．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（ ）
A． B．2 C． D．2026
【答案】A
【分析】依次算得，的一个周期为4，进一步结合已知得，由此得，然后利用周期性即可求解.
【详解】由题意，令，得，又不是常函数，所以，
再令，得，即，
则，即，
所以函数的一个周期为4，由，令，
得，
所以，
所以
.
故选：A.
6．已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．1 B．10 C．11 D．1024
【答案】C
【分析】根据进行赋值，得到进而求解答案即可.
【详解】因为定义在上的函数，满足，
所以令，得，所以，
令，得，
因为，所以，
所以.
故选：C
题型7 抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
1、常见的抽象函数模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【正弦函数模型】 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 【余弦函数模型】 对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一： 其抽象函数模型是： 2、公式二： 其抽象函数模型是： 3、若，则 【正切函数模型】 模型：若，则 2、其他技巧 （1）观察不等式两端的特点，化为同类函数； （2）借助函数的单调性，脱掉“”； （3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令、，代入已知关系式判断A、B；用代换判断C；利用特殊函数判断D.
【详解】令，有，从而，A正确；
令，得，故，B正确；
由题意得，，即，C正确；
令，则，，满足，
但，即不满足，D错误.
故选：D.
2．（23-24高三上·河南·月考）下列函数中，满足的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法1：令，证明，找到满足此条件的函数；
方法2：令，得，找到满足条件的选项．
【详解】（方法1）令，则，．
由于，即，
所以．
而满足的函数有对数函数（，），
所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合．
（方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合．
故选：B
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得.
【详解】令可得，所以，
再令可得，
即①，
将上式中的全部换成可得②，
联立①②可得,
所以，
故选：D
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25 B．125 C．625 D．15625
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解.
【详解】解法一：由题意取，可得
即知则.
解法二：令，则
，
所以，
即，所以，则.
解法三：由可构造满足条件的函数，
可以快速得到.
故选：C.
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．方程有解
C． D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.
【详解】因和，
对于A，令，则，即，故A错误；
对于B，令，则，可得，
令，当时，则，
即，，，，
则
，
其中也符合，因，故方程无实数解，即B错误；
对于C，令，则，得到，
由，则C正确；
对于D，与不能恒相等，故D错误.
故选：C.
1．（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】通过赋值法先求出，继而求得.
【详解】由得，
令，则，得；
令，则，得；
令，则，得.
故选：A.
2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于函数，先由求出，而对于函数，应使，解出，即得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，由可得 ，
对于函数，由可得，
即函数的定义域为．
故选：B．
3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得，
因此函数的定义域为；
由函数的值域为，得函数的值域为，即，
则，故函数的值域为.
故选：C
4．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．102 B．101 C．100 D．99
【答案】B
【分析】令得或1，验证后得到不成立，满足要求，此时，从而得到答案.
【详解】中，令得，
解得或1，
令得，若，上式整理得，
但不一定等于0，故不成立，
若，则，
此时，
，满足，满足要求，
故.
故选：B
5．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ）
A． B．-1 C． D．0
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用赋值法依次求出，进而探讨函数的性质求得答案.
【详解】对任意实数x，y，都有，，
取，得，即，解得，
取，得，即，解得，
任意，则，因此，
取，得，则，，
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式，利用赋值法求解是解决问题的关键.
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据表达式得出规律，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中， 定义域为，，
当时，，解得：，
当时，，
即
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
……函数值周期性变化，周期为3，
∵，
可得：
，
故选：D.
7．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】利用赋值法可得，进而可求的值.
【详解】令，可得，所以，
令，可得，
因为不恒为0，所以，所以是奇函数，
因为，
所以.
故选：B.
8．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【分析】令得，再令得，最后利用基本不等式即可得答案.
【详解】令，则，所以.
令，则，
因为函数的定义域为，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立.
所以的最小值为
故选：D
9．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义在的增函数满足：，且.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型或应用赋值法计算得出再应用等比数列的求和公式计算可得.
【详解】法一：，可令，又，则，
，
．
．
法二：
由题；
令；
令；
，．
．
故选：B．
10．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
【答案】C
【分析】通过赋值法确定的值，判断函数奇偶性；利用递推关系推导函数周期，结合周期计算特定点的函数值，进而判断选项.
【详解】令，，则，
即，得或.
若，令，则，
即，与矛盾，故，A错误.
令，则，即，
得，故为偶函数，B错误.
令，则，即.
由此得，
，
，故是周期为6的周期函数，C正确.
，D错误.
故选：C
11．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可.
【详解】令，则，所以；
令，则，
所以的图象关于直线对称；
令，则，
因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数，
所以，所以，
所以是周期为8的周期函数，令，则，
解得，又为奇函数，所以，
所以.
故选：A.
12．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，若，则（ ）
A．－2 B．－4 C．2 D．4
【答案】C
【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断，
方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论.
【详解】方法一：利用赋值法，
令，则，所以．
令，，则，所以．
令，则．
令，则．
所以，
若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0，
所以，所以，
所以，所以4为的一个周期，
所以．令，得，
又，所以，，所以，
故选：C．
方法二：举满足条件的特例函数，即令，
检验得，且，符合题意，
所以，
故选：C．
13．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令，则，故，A选项错误；
令，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
14．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可.
【详解】对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且
，故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.
故选：C
15．已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．函数为减函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】B
【分析】借助赋值法令计算出，可判断A；借助赋值法令，，并结合的值，求出，可判断B；结合函数单调性的定义及赋值法令，可判断函数的单调性，从而判断C；结合函数对称性及赋值法令，可判断D.
【详解】对A：令，则有，故，故A正确；
对B：令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，
即函数为减函数，故C正确；
对D：令，则有，又，
故，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：B.
16．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】B
【分析】根据已知得到，应用递推式及累加法求解析式，进而判断各项正误.
【详解】因为函数的定义域为R，
由，，取，得，
取，得，故A错误．
取，得，
所以，， ，，
以上各式相加得，
所以，不是偶函数，故C错误；
令，得，解得或2，故B正确；
因为，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B
17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．是增函数
【答案】D
【分析】取，代入计算，即可判断A，取代入计算，即可判断B，取代入计算，结合基本不等即可判断C，举出反例，取，即可判断D.
【详解】对于A，取，则由已知等式得到，即，
又因为值域为，所有，故，故A正确；
对于B，取，则，即，故B正确，
对于C，令，则，即，
注意到，所以，
所以，当取得等号，故C正确；
对于D，取，则，
符合题意，但此时是减函数，故D错误．
故选：D．
18．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，即可判断A；令，可得，令，可判断B；令，可判断D；由题意可得，结合，，可得，再根据对数的运算性质及单调性，即可判断C.
【详解】解：对于A，令，则有，即，故A错误；
对于B，令，则有，
又因为，，
所以，
令，
则有，故B错误；
对于C，因为，，
所以，
令，则有，令，则有，
由B可知，
所以，
所以，
同理可得，
所以，故C正确；
对于D，由B可知，
令，则有，故D错误.
故选：C．
19．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数是奇函数 D．函数是偶函数
【答案】C
【分析】令求出可判断A，令可得，利用等差数列的求和公式求和后可判断B，求出后令，结合B中分析可得，据此可判断CD的正误.
【详解】对于A，令，则，故，故A错误；
对于B，令，则，
所以，故为等差数列，首项为零，公差为，
故，故B错误；
对于C，因为，，故，
故，同理，
在中令，
则，由B的分析可得，
所以，所以，
所以，所以，
所以函数是奇函数，故C正确；
对于D，由C的分析可得即，
故函数是奇函数，故D错误.
20．（2025·浙江温州·三模）已知函数的定义域为，，，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又，由的值及可推导出，可判断C；由及可判断D.
【详解】对于A，令，则，
又，则，所以，故A错误；
对于B，令，则，
又，，所以，解得，故B错误；
对于C，令，则，
又，则，
由上可知，故，
所以，可得，即，故C正确；
对于D，由，得，
所以，
，
由选项C中分析知，所以，故D错误.
故选：C.
21．（24-25高三上·福建厦门·月考）定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，下列说法中正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
【答案】B
【分析】A选项令可判断；B选项令即可得出结论；C选项假设即可得出结论；D选项对进行赋值，可得出函数的周期，即可求解.
【详解】对于A选项，令，则，
所以，所以或，
若，令，则原式变为，
所以，与“不恒为0”矛盾，所以，故A错误；
对于B选项，令，则原式变为，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C选项，假设，满足，
此时，所以不成立，故C错误；
对于D选项，因为，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
由此可知的周期为，一个周期内的函数值为，，，，
所以一个周期内的函数值的和为，
所以，故D错误.
故选：B.
22．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行分析得解.
【详解】充分性分析： ，，单调递减，，
，，，
，
，
“单调递减”是“存在，对任意的，
均有”的充分条件；
必要性分析：设，取，
当时，，则，
此时；
当时，则，
此时；
故存在，对任意的，均有，
但是不是单调递减函数，
故 “单调递减”是“存在，对任意的，
均有”的不必要条件；
综上可知，“单调递减”是“存在，对任意的，
均有”的充分不必要条件.
故选：A.
23．已知定义在R上的函数，不恒为，且满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．点是函数图象的对称中心 D．为周期函数且周期为2
【答案】D
【分析】令可判断A，令可判断B，令可得，即可推出的周期，从而判断D，结合及分析得到判断C.
【详解】对于A：因为，
令可得，又不恒为，
所以存在使得，且，所以，故A正确；
对于B：因为，
令，则，又，所以，
即，所以为奇函数，故B正确；
对于D：因为，
令可得，又，
所以，即，
所以，则，
所以为周期函数且周期为，故D错误；
对于C：因为且，
所以，所以，
即，所以点是函数图象的对称中心，故C正确.
故选：D
24．（多选题）（23-24高三上·山东·月考）已知是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．关于点对称 D．
【答案】ACD
【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定C正确，B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确．
【详解】由对于任意都满足，
令，则，所以A正确；
令，可得，即，
所以函数关于点对称，所以C正确，B错误；
又由为偶函数知关于直线对称，即，
可得，则，所以，
所以函数的周期为，令，则，
可得，
，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
25．（多选题）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在上的最小值为-6
【答案】BCD
【分析】令，得到，再令，求得，令，求得，可判定A错误；令，结合奇偶性的定义，可判定B正确；令，得到，递推得到， ，
进而推得，可判断C正确；根据单调性的定义，证得在上为减函数，得到在上的最小值为，结合递推关系，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A，令，可得，可得，
令，可得，即，
因为，令，可得，所以，
令，可得，
所以，所以A错误；
对于B，令，则，
因为，所以，
所以函数为奇函数，即为奇函数，所以B正确；
对于C，令，可得，即（*），
由，可得，
将（*）代入上式，整理得（**），
又由，可得，
将（**）代入上式，整理得，所以C正确；
对于D，设且，则，
因为当时，，所以，
又由，
则，即，
所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为，
则
，
因为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
26．（25-26高三上·安徽·月考）已知定义在上的函数满足：.，.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)证明：曲线是中心对称图形，并求其对称中心.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，对称中心为.
【分析】（1）利用单调性的定义即可得证；
（2）令得，令得，令，得，进而得的对称中心，即可得，进而求解.
【详解】（1）证明：，，
令，则，，，
∵，∴，，∴单调递增；
（2）（2）令，则，
令，则，，
令，则有，
∴为奇函数，图象关于对称，
∵，∴曲线是中心对称图形，对称中心为.
27．（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.
(1)求；
(2)探究的奇偶性；
(3)用定义法证明在区间上单调递增.
【答案】(1)0；
(2)奇函数；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值；
（2）利用奇函数的定义推理判断；
（3）利用增函数的定义推理得证.
【详解】（1）对于任意的，均有，
取，得，即得.
（2）函数的定义域为，对，令，得，
，因此，
所以函数为奇函数.
（3）且，令，则，即,
因，则，
故，即，
则，所以函数在区间上单调递增.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 抽象函数的性质：定义域、值域、求值、单调性、奇偶与对称性、周期性、解析式
题型 考情分析 考向预测
1．抽象函数的定义域、值域 2026年上海卷：第16题考查了抽象函数的值域 2025年北京卷：第7题考查了抽象函数的值域 2024年新高考卷Ⅰ：第8题考查了抽象函数的求值 2023年新高考卷Ⅰ：第11题考查了抽象函数的奇偶性与求值 考查抽象函数的奇偶性与以及周期性结合求值
2．抽象函数的求值
3．抽象函数的单调性（定义法）
4．抽象函数的奇偶性
5．抽象函数的对称性
6．抽象函数的周期性
7．抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
题型1 抽象函数的定义域、值域
抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
题型2 抽象函数的求值
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解；
1．（24-25高三上·江西·月考）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足：，都有，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ）
A． B． C． D．
题型3 抽象函数的单调性（定义法）
1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有．
(1)求证：，且当时，有；
(2)判断在上的单调性．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足条件：
①对定义域上任意，都有；②当时，．
(1)求证：；
(2)求证：在上单调递增．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上，且，当时，．
(1)求证：当时，；
(2)求证：在上单调递减．
4．（2026·湖北孝感·一模）已知定义在上的函数满足以下条件：
①；
②当时，；
③对，均有，且．
(1)用表示；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)已知数列满足，求数列的前n项和．
5．已知函数在上满足，且当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，求不等式的解集．
题型4 抽象函数的奇偶性
令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性
1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数
2．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
4．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
5．函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　）
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题型5 抽象函数的对称性
1、对称轴：或者 关于对称； 2、对称中心：或者 关于对称； 3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
1．已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是奇函数
C． D．的图象关于点对称
3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．6
4．（多选题）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有，则（　　）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．关于直线对称 D．关于点对称
5．（多选题）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的图象关于点对称
题型6 抽象函数的周期性
1、换为确定周期性. 2、；； ；（为常数）；
1．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数满足，，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
4．函数满足对任意的，均有，且，则（ ）
A．4048 B．4046 C．2024 D．2023
5．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（ ）
A． B．2 C． D．2026
6．已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．1 B．10 C．11 D．1024
题型7 抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
1、常见的抽象函数模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【正弦函数模型】 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： 【余弦函数模型】 对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一： 其抽象函数模型是： 2、公式二： 其抽象函数模型是： 3、若，则 【正切函数模型】 模型：若，则 2、其他技巧 （1）观察不等式两端的特点，化为同类函数； （2）借助函数的单调性，脱掉“”； （3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河南·月考）下列函数中，满足的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25 B．125 C．625 D．15625
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．方程有解
C． D．
1．（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．102 B．101 C．100 D．99
5．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ）
A． B．-1 C． D．0
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
7．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
9．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义在的增函数满足：，且.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
11．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
12．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，若，则（ ）
A．－2 B．－4 C．2 D．4
13．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
14．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数
15．已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．函数为减函数
D．函数的图象关于点对称
16．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．是增函数
18．（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数是奇函数 D．函数是偶函数
20．（2025·浙江温州·三模）已知函数的定义域为，，，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（24-25高三上·福建厦门·月考）定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，下列说法中正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
22．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．已知定义在R上的函数，不恒为，且满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．点是函数图象的对称中心 D．为周期函数且周期为2
24．（多选题）（23-24高三上·山东·月考）已知是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．关于点对称 D．
25．（多选题）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在上的最小值为-6
26．（25-26高三上·安徽·月考）已知定义在上的函数满足：.，.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)证明：曲线是中心对称图形，并求其对称中心.
27．（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.
(1)求；
(2)探究的奇偶性；
(3)用定义法证明在区间上单调递增.
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