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秘籍12：立体几何解答题十二大题型全突破
题型 考情分析 考向预测
1.平行关系的证明 2025年新高考卷Ⅰ：多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法 2025年新高考卷Ⅱ：证明线面平行、求二面角、面面角的向量求法 2024年新高考卷Ⅰ：证明线面平行、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 2024年新高考卷Ⅱ：证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法 预测第一问轮换考线面平行、面面垂直核心证明；第二问以空间向量为核心，考查异面直线角、二面角求解。整体趋势以棱锥、棱柱为主要载体，几何证明+空间向量计算结合，题型常规中档，稳中无偏怪难题。
2.垂直关系的证明
3.求线线夹角
4.求线面夹角
5.求二面角或两平面的夹角
6.已知线面夹角求其他量
7.已知面面角求其他量
8.求点面距离
9.求点线距离
10.空间几何体的体积问题
11.空间几何体中的动点问题
12.新定义题
题型1 平行关系的证明
1. 线线平行：优先找中点、中位线；无中点则构造平行四边形或利用比例线段。 2. 线面平行：在平面内找到一条与已知线平行的线，常用中位线转化，书写完整定理依据。 3. 面面平行：证明一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面，“相交”必须写清。
【例1】（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出；
（2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值；
法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出.
【详解】（1）取的中点，连接，，
，分别是和的中点，与平行且xd；
和都垂直于平面，且，与平行且相等，
与平行且相等，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面．
（2）设到平面的距离为，
则，故．
法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系，
，，
，，，，
设，则，
，，
设平面的法向量为，则由得
取，得，，因此平面的一个法向量．
由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
法二：延长和交于点，过作于，
平面，，又,，且两直线在平面内，
平面，，
为平面与平面的夹角，
由，得，
而，所以，当且仅当时等号成立；
，，
∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
【变式1-1】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求四面体的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面即可；
（2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；
（3）利用向量法求出，再由三棱锥体积公式求解.
【详解】（1）以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
根据已知得，，，，，
，，，，，
则，，，
设平面的法向量为．
则，令，则，
因为，所以，
所以平面.
（2），，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
与平面所成角的正弦值为.
（3）因为，
，，
所以，
所以．
【变式1-2】（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体的底面是正方形，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）利用线面平行来证明线面平行即可；
（2）利用空间向量法来求线面角的余弦值.
【详解】（1）因为分别是的中点，所以是的中位线，得，
又因为分别是 的中点，所以 ，
在平行六面体中，， 因此，
平面，平面，故平面；
由是 中点，是的中点，
结合平行六面体的性质可得，且，
所以四边形 是平行四边形，得，
因为平面，平面，所以平面，
因为，且平面，因此平面平面；
（2）
如图以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，
根据题设条件得各点坐标，
设则由，且，
可得都是等边三角形，即，
则，解得，即所以
取平面中向量： ，，
设平面 的法向量，
则，不妨令，则，
即平面 的法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
因为为锐角，所以，
即与平面所成角的余弦值为.
题型2垂直关系的证明
1. 线线垂直：优先找垂线、直角三角形；或用勾股定理逆定理。涉及棱锥、棱柱常证“线面垂直”进而推导。 2. 线面垂直：证明直线垂直于平面内两条相交直线。多用三垂线定理、面面垂直性质。 3. 面面垂直：证明一个面内有一条直线垂直于另一个面；或计算二面角为90度。 核心原则：转化优先，证线面垂直是关键枢纽。书写严谨，不漏掉“相交”条件，每步依据写全。
【例2】（2026·江西九江·二模）如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，推导出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，所以，
因为为的中点，所以，
易知平面，平面，所以，
又因为，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，、平面，故平面.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
【变式2-1】（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）根据三棱锥的体积公式和，得出是线段的中点，得出平面，再证平面平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.
【详解】（1）设点到平面的距离为，
则，
又因为三棱锥的体积为，所以；
又，是线段的中点，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，所以，
因为，，
设直线与平面所成的角为，
则，
解得：，
【变式2-2】（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥组成．已知圆锥的底面半径为1，高，为直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，M为SC的中点．
(1)若，证明：平面平面SAB；
(2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，然后利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由线面夹角的向量公式得，然后根据余弦函数性质求解即可．
【详解】（1）因为为直径，所以，
又，所以，则，
又为中点，所以，
因为平面，平面，所以，
又平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面SAB．
（2）以为原点，以所在直线为轴，过点O且垂直平面SAB的直线为x轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，设，则，，
所以，
平面的一个法向量为，
则，
因为，所以，
所以．
题型3 求线线夹角
1.几何法：平移异面直线至相交，构造三角形，利用余弦定理求解。 2.向量法：求出两直线方向向量，代入夹角公式，取向量点积绝对值，算出锐角或直角。 注意异面直线所成角范围为。
【例3】（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与的夹角；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角；（3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积.
【详解】（1）由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
（2）
以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，则， 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，
又，， ，
.
故，
三棱锥体积.
【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥 PO 和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB 的中点，A，B，C，H 四点共面，△PAB 是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E 分别为线段PA，PF 的中点．
(1)证明：平面ODE∥平面 PBC．
(2)求异面直线 BH 与OE 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明面面平行、异面直线夹角的向量求法
【分析】（1）利用三角形的中位线以及平行的传递性证得DE∥平面PBC，根据平面与平面平行的判定定理即可证得.
（2）建立空间直角坐标系，分别求出，坐标，利用向量法求异面直线 BH 与OE 所成角的余弦值即可.
【详解】（1）由 D，E 分别为线段PA，PF 的中点，知DE∥AF，又由AF∥BC，知DE∥BC，
平面PBC，平面PBC，故DE∥平面PBC
又由D，O分别为线段PA，AB 的中点，知OD∥PB，
平面PBC，平面PBC，故OD∥平面PBC，
又由OD，DE 平面ODE，且OD∩DE=D，知平面ODE∥平面PBC．
（2）以O为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．
又△PAB 是边长为10 的正三角形，知则．
过点 F 作FG⊥AB，垂足为G，由AB=10，BC=8，AC=6，知
又由AF∥BC，知 则AF=8，
知 故
又E 为线段PF 的中点，则
故
则.
故异面直线BH 与OE 所成角的余弦值为
题型4 求线面夹角
1.几何法：找直线在平面内的射影，直线与射影所成锐角即为线面角，解三角形计算。 2.向量法：求平面法向量与直线方向向量，利用公式求解，线面角取。
【例4】（2026·广东江门·二模）如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直．
(1)在答题卡中，作出四棱锥的高，并说明理由；
(2)若，且，，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)，理由见解析；(2).
【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）作出高，再利用面面垂直的性质推理证明.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.
【详解】（1）取的中点，连接，则是四棱锥的高.
由是正三角形，是线段的中点，得，而平面平面，
平面平面，平面，则平面，
所以是四棱锥的高.
（2）取中点，连接，由（1）得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，设平面的法向量，
则，取，得，
因此，
所以与平面所成角的正弦值为.
【变式4-1】（2026·广东清远·二模）如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证.
（2）由余弦定理求出，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解.
【详解】（1）由四边形为矩形，得，又，平面，
则平面，而平面，所以.
（2）在中，，
由余弦定理得，
则，于是，由（1）得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，又D为的中点，
则，
于是，设平面的法向量为，
则，取，得，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值.
【变式4-2】（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥
中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，
(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值
(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直
【答案】(1)(2)证明见解析
【知识点】圆锥表面积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【分析】（1）利用侧面积求解出圆锥的高，再利用建系的方法，求出直线OB与平面PAC所成角的正弦值.
（2）利用向量的方法，将点在线段上刻画为接着证明直线与的数量积不为零.
【详解】（1）
所以可以建立如右图所示的空间直角坐标系，
所以设
则母线长为
则侧面积为
解得：
所以
设面的法向量为
所以
不妨令则
所以设直线OB与平面PAC所成角为
所以
（2）因为D为线段PB上的动点，所以设
由（1）知
所以直线OA与CD不垂直.
题型5 求二面角或两平面的夹角
1. 核心方法：①三垂线法：过面内一点向另一面作垂线，再向棱作垂线，连线即为平面角。 ②向量法：建系求两平面法向量，算其夹角。 ③定义法：直接在棱上取点，作垂直于棱的射线求角。 2. 范围区分：二面角：范围是 [0°, 180°]，包含平角。两平面夹角：范围是 [0°, 90°]，取锐角或直角。 3. 注意：向量法算出的角需根据图形判断为锐角或钝角，再与两平面夹角范围对应。书写步骤完整，结论明确。
【例5】（2026·云南玉溪·二模）如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）如图，连接，设，可证，由线面平行的判定定理可证平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值．
【详解】（1）
如图，连接，设，
因为，且，故，
而，故，故，
而平面，平面，故平面.
（2）因为，故，故，
而平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，
故，又.
设平面的法向量为，
则即，取，
设平面的法向量为，
则即，取，
设二面角的平面角为，由题设可得为锐角，
故.
【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)见解析(2)
【知识点】面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直
【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可；
（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后将每个点的坐标列出来，根据空间向量的垂直关系，求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据空间向量夹角的余弦公式即可求出二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：，，
，即，
在三棱台中，，
，
，，
，即，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，
又，，则，
平面，
平面，又平面，
，又平面,
平面；
（2）由（1）知，平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，不妨取，则，
设平面的一个法向量为，
，不妨取，则
所以.
则二面角的正弦值为．
【变式5-2】（2026·广东佛山·二模）如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，.
(1)证明：；
(2)若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直
【分析】（1）取中点，证明平面，即可证明；
（2）建系，利用空间向量求面面夹角.
【详解】（1）取中点，连，
由知，
又平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）过作交于，则平面，所以.
又，所以中，，
由余弦定理可求得，，所以.
以为原点，如图建系，
平面中，，
设法向量为，则.
即，令，所以.
设平面的法向量为，,
则.
即，令，所以.
所以.
题型6 已知线面夹角求其他量
利用线面角定义，结合直线方向向量与平面法向量的关联列式。线面角与法向量夹角互余，套用对应三角公式。结合题干边长、垂直条件，建立方程，借助几何关系或空间坐标系，求解线段长度、参数、其他角度等未知量。
【例6】（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．
(1)求证；平面平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、已知线面角求其他量
【分析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．
（2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，先根据线面角正弦值得出，再应用线面角正弦公式计算得，最后应用同角三角函数关系计算余弦值．
【详解】（1）在等腰梯形中，
，，，
是的中点，，
所以四边形是菱形，，
因为平面平面，平面平面，
又，为的中点，所以，平面，
平面，平面，
，
平面，平面，，
平面，
平面，
所以平面平面．
（2）
由底面为等腰梯形，如图，
取的中点，连接，可得，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，设，
则，
则，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
因为直线与平面所成的角为，所以，所以，即，
设平面的一个法向量，
，，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的余弦值为．
【变式9-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形．
(1)若平面，求的长；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【知识点】线面平行的性质、面面角的向量求法、已知线面角求其他量
【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合正弦定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，根据线面角正弦值得到点坐标，进而求出面面角的余弦值.
【详解】（1）设与相交于点，连接，圆锥的底面圆圆心为，
因为平面，平面平面，平面，
所以，故，
是边长为2的等边三角形，故，，
又是等边三角形，为的外接圆圆心，
则由正弦定理得，故，
故，
所以；
（2）过点作⊥，交圆于点，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，，
则，
其中平面的一个法向量为，
故与平面所成角大小为，
则
，
解得或（舍去），
所以，，又，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令得，故，
设平面与平面夹角大小为，
则.
题型7 已知面面角求其他量
已知面面角，几何法可依托二面角平面角，结合垂直、边长关系列等式计算。向量法为核心，求出两平面法向量，利用向量夹角公式建立方程，求解线段长度、参数、点的位置等未知量。
【例10】2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，
【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，结合等边三角形、等腰三角形的三线合一性质及勾股定理逆定理，证明平面即可完成推导；
（2）通过建立空间直角坐标系，引入参数表示点的坐标，求解两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列方程求解参数，结合参数范围验证即可 .
【详解】（1）∵ 为边长为2的等边三角形，为中点，
∴ ，且.
∵ ，为中点，
∴ ，且，故，
∴ .
∵ ，
∴ ，故.
∵ ，平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ 平面平面.
（2）由第一小问，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，，.
设，则，所以点坐标为.
∵，且平面
∴平面
∴平面的法向量为.
设平面的法向量为，其中，，
∴
令，代入解得，，
∴.
已知平面与平面的夹角为，
∴
代入数据得
两边约去后平方整理得，解得或.
∵，
∴.
因此存在满足条件的点，且.
【变式10-1】（2026·新疆·三模）如图所示，四边形是边长为2的正方形，以为圆心的半圆面垂直于平面，是半圆弧上的动点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质，证得，再由圆的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，分别求得平面和的法向量和，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明： 因为为正方形，可得，
又因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为为圆的直径，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点，以平行于方向的所在直线为轴，以所在直线为轴，
垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，且，
可得向量，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
由（1）知，平面，所以平面的一个法向量为，
因为，所以，
设平面与平面所处的角为，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以，所以，
所以点到平面的距离为，即四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为
题型8 求点面距离
1.几何法：过点作平面垂线，确定垂足，利用垂直关系直接计算垂线段长度。 2.等体积法：构造棱锥，换底列式，由体积相等求解高，即为点面距离。 3.向量法：建系求平面法向量，代入点到平面距离公式，代入坐标直接运算。
【例8】（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且．
(1)求点到平面的距离；
(2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、求线面角、求点面距离
【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
（2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解.
【详解】（1）方法－：因为为直径，所以，
由，得，，所以，
所以，
在中，，，所以，
设点到平面的距离为，由，得.
方法二：取弧的中点，连接，则，
以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
，令，得，
则点到平面的距离为.
（2）方法一：取中点，连接、，则，
又平面，则，，故面，故，
所以二面角的平面角为，即，
在等边中，，为等腰直角三角形得，
在中，，故所求线面角，.
方法二：设，
设平面的法向量，
，令，得，
底面的法向量，则，得，
即，，
设直线与底面所成角为，则.
【变式8-1】（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正切值；
(3)求点M到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
因为平面ABC，
所以平面ABC的一个法向量为，
因为，平面，
所以平面；
（2）因为y轴⊥平面BDM，
所以平面BDM的一个法向量为，
，
设平面BCD的一个法向量为，
，
取，则，所以，
设平面BCD与平面BDM的夹角为，
，
，
所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为；
（3）， 设点M到平面BCD的距离为d，
.
题型9 求点线距离
1.几何法：过点作直线垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2.等面积法：以线段为底、点线距离为高，借助三角形面积恒等计算。 3.向量法：取直线方向向量与线上任意点，利用向量投影公式，快速求出垂线段长度。
【例9】（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱中，．
(1)求点到直线的距离；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【知识点】面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解；
（2）根据面面角向量法计算求解.
【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
由，得，
所以，
所以点到直线的距离为；
（2），
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
因为，所以，
即二面角的正弦值为.
【变式10-1】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算
【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证；
（2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解.
【详解】（1）由直三棱柱性质可得，，
由D，E分别是，的中点，则，，
则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
（2）由，，则，
故为等腰直角三角形，则点到的距离为，
则点到的距离为，
由为的中点，则点与点到平面的距离相等，
故.
题型10 空间几何体的体积问题
1.直接公式法：柱体、锥体、台体套用对应体积公式。 2.割补法：分割或补形，化为规则几何体求解。 3.等体积转化：换底面与高，简化运算，常用于锥体。 4.向量法：建系求底面积与高，代入公式计算。 结合面面垂直、点面距离，快速确定几何体的高。
【例10】（2026·广东·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，,点满足.
(1)若.
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的体积.
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）(2).
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、已知线面角求其他量
【分析】（1）（i）先由平面证得，再由解三角形证明，再由线面垂直的判定定理即可证得结论；（ii）根据平面，利用等体积转化和棱锥体积公式，求三棱锥的体积即可；
（2）如图建系，写出相关点和相关向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得.
【详解】（1）（i）由平面，而平面，可得，
因，则依题意，，
在中，，故，
因，平面，故平面.
（ii）此时，
由勾股定理得，
于是.
（2）以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，
于是，.
设平面的法向量为，
则，故可取.
记直线与平面所成角为，
则，
两边平方，整理得，
即，
由可得.
【变式10-1】（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，.
(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、已知线面角求其他量
【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行.
证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面
内,从而证得线面平行.
（2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度.
解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度.
（3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 .
解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果.
【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接，
因为，
所以
因为，所以，
所以，
又因为平面，所以平面
证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则.
设是平面的一个法向量，
，则，
令，则，平面的一个法向量为.
因为，所以，
又因为平面，所以平面
（2）解法一：
设，得，
，
设直线与平面所成角为，则
，
化简得，因为，得，
，所以线段的值为.
解法二：
设，得，
，
设直线与平面所成角为，则
，
化简得，因为，得，，所以线段的值为.
（3）解法一：
因为，所以，
解法二：由（1）所建立的坐标系可得.
则
故由余弦定理可得
所以，
由（1）得,平面的一个法向量为.
点到平面的距离.
题型11 空间几何中的动点问题
在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法. 1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若 R，使得 2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标. 3.依据：平面向量基本定理,若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，y∈R，使得结合面面垂直、点面距离，快速确定几何体的高。
【例11】（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点.
(1)若∥，∥，证明:∥；
(2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）存在， 或
【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥；（2）由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得.
【详解】（1）若∥，平面，平面，所以∥平面；
若∥，平面，平面，所以∥平面.
因为平面，所以平面∥平面.
又平面平面，平面平面，
所以∥.
（2）因为，所以，所以.
因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.
过作，垂足为，则.
所以.
如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则.
所以.
设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，
则，所以.
设平面的法向量为，
则.
令，则.
所以平面的法向量为.
由平面，知平面的一个法向量为.
所以，
即，化简得，解得或.
故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或.
【变式11-1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边中，满足，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再结合，最后利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用点到点的距离公式得到方程，最后根据判别式即可判断.
【详解】（1）因底面底面，则，
又平面，则平面，
又平面，则平面平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图．
由，设，于是，
其中，
则．
由，可得．
假设存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等，
则，由，
可得．
又，
其判别式，故方程无解，
即线段上不存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等．
题型12 立体几何新定义题
1. 吃透定义：仔细阅读新定义，提取核心关键词，明确新概念的性质、图形与度量要求，转化为数学语言。 2. 画图分析：依据题意画出准确图形，标注已知条件。结合常用定理，通过辅助线或截面，把新问题转化为熟悉的线面关系。 3. 选法求解：根据题目具体类型，距离角度用向量或几何法，截面展开用割补法，最值问题则结合函数或不等式思想求解。 4. 严谨结论：计算完毕后，检查结果是否符合新定义范围与实际意义，确保推理逻辑严密，步骤规范完整。
【例12】（2026·辽宁沈阳·三模）世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题.
(1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值；
(2)求通过直线且与平面垂直的平面方程；
(3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程.
【答案】(1)(2)(3)距离为，
【详解】（1）取的法向量为，上的点满足，
在方程组中取得，所以点在直线上.取得，
所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为，
取直线与平面所成的角为，则.
（2）取平面满足且，取的法向量为，
直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，不妨取，
因为点在直线r上，所以点在平面内，
所以的方程为，整理得
（3）因为上的点满足，所以可取上的点为，
例如、均为上的点，所以的方向向量取为，
同理因为上的点满足，所以可取上的动点为，
例如、均为上的点，所以的方向向量可取为，
方法一：若直线为、的公垂线，则，，
因为，所以，
所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足，
此时，所以、的距离为，
所以公垂线方程为；
方法二：因为，
所以，
，
当且仅当时取等，所以、的距离为，
此时、为公垂线在两条直线上的垂足，
所以，所以公垂线方程为
【变式12-1】（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知；
(1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）；
(2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为.
（ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值；
（ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意，，，，所以，则有，
所以球面三角形ABC面积为.
（2）因为平面，平面，所以.
设，则，所以.
由勾股定理的逆定理可得，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为直线与平面所成的角为，所以.
易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，
即为球的直径，所以.
以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
（i）由题可知，
则.
设与都垂直的向量为，
则，令，则，
所以线段长度的最小值为.
（ii）设，由题可知，
则.
设平面的一个法向量为，
则，取，可得.
设平面的一个法向量为，
则，取，可得.
设平面与平面的夹角为.
因为=，
化简得则，
故.
1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与底面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【知识点】求异面直线所成的角、求线面角
【分析】（1）通过平行线将异面直线的夹角转化为同一平面内相交直线的角，然后利用余弦定理求解即可；
（2）根据向量关系得点P的位置，可得点到平面的距离为，利用余弦定理求得，然后根据线面角的定义求解即可.
【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以，
因为底面，底面，
所以，
所以，
因为，所以异面直线与所成角为，
在中，，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C，
所以点到平面的距离为，
在中，，又，
所以，
所以，
所以直线与底面所成角的正弦值为.
2．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【知识点】点到直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，据此可得线线垂直；
（2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可得：，
则，所以有，则
由平面平面，平面平面，
且，平面，则平面，
又平面，则.
（2）取中点分别为，连接
由为正三角形知，，
结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直，
如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
可得
设，则，且，
可得
由，解得或（舍去），
则，且
故点到直线的距离
3．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，．
(1)求证：平面平面．
(2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为上靠近点的四等分点
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）由面面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直．
（2）建立空间直角坐标系，令，，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，通过判断此方程是否有解进行判断．
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
又平面，且，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，，分别为，，的中点，
所以，且，
，且，
所以四边形为平行四边形．
又，，所以，且，
所以四边形为正方形，所以．
因为，且，平面，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知，四边形为正方形，
又平面，所以，，两两垂直，
故以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
假设上存在点满足条件，
令，，
则，．
设平面的法向量为，
则
令，则，，
故平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为．
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以
解得或（舍），
即当点为上靠近点的四等分点时，平面与平面夹角的余弦值为．
4．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．

(1)求证：面面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)16
【知识点】面面角的向量求法、证明面面平行、锥体体积的有关计算
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可；
（2）利用二面角的向量公式计算即可；
（3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可.
【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
，，
，，
设是平面的法向量，
则，解得，
取，则，，得是平面的一个法向量．
设是平面的法向量，
则，解得，
取，则，，得是平面的一个法向量．
，
平面平面．
（2）是平面的一个法向量．
设平面与平面夹角为，
则,
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3），，，
又是平面的一个法向量，
点A到平面的距离．
，
梯形为等腰梯形，易得梯形的高为，
，．
5．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.
(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
(2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值
【答案】(1)(2)
【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、求二面角、由线面角的大小求值
【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积；
（2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解.
【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，，
圆锥的侧面积，所以，
则圆锥的高，
则圆锥的体积；
（2）因为平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，则与平面所成角为，所以，
又因为，所以，取的中点，连结，，
因为，，
所以，，为二面角的平面角,
因为，，
所以，，
所以二面角的平面角的正切值为.
6．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面．

(1)证明：；
(2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；
(3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【知识点】线面角的概念及辨析、求线面角、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）结合已知条件，利用线面垂直判定定理证明结论；
（2）利用向量投影得出，利用二面角的性质得出，结合得出为定值，从而证明结论；
（3）建立空间直角坐标系，利用已知条件求出各点坐标，进而求出相关向量，求出平面法向量，再利用点到平面距离公式求解．
【详解】（1）平面，则，，
平面，则，，
，且是平面的法线，
平面，
又平面，平面平面，
，
，
．
（2）
平面，且平面，
平面平面，交线为，
在平面内的投影在上，故直线与平面所成角
为的余角，即，
设平面与平面的交线为，则，且平面，
平面，
平面，
，
又，
，
二面角的平面角，
，
，则，
，为定值．
（3）已知平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，

已知，E为线段的中点，
则，
设点，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
点到平面的距离，
当时，分母最小，最大，
．
7．（2026·江苏·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)①；②
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行进而得到线面平行，即证明.
（2）①先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；②延长交的延长线于点，连接交于点，然后根据三棱锥体积公式计算即可.
【详解】（1）取的中点为，连接，因为是的中点，
所以.
因为四边形为菱形，所以，
又是的中点，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）①因为平面，平面，所以.
因为，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则.
所以.
设平面的一个法向量为，则有，
即，令，则，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

延长交的延长线于点，连接交于点，
易知，
.
8．（2026·河南周口·模拟预测）如图为半径为2的圆的直径，点为圆上的两点，且.如图2，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接.
(1)若为的中点，证明：；
(2)若平面平面，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2).
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
分别为的中点，
，.
又是圆的直径，.
.
又平面平面.
平面.
（2）平面平面，交线为，
，故，又为的中点，所以，
又平面，所以平面，
故以为坐标原点，分别以所在直线，
过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
.
则，
.
设平面的法向量为，
则令，则，
.
设平面的法向量为，
则令，则，
.
.
由图知二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
9.（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，．
(1)证明：；
(2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见详解(2)存在点满足条件，
【分析】（1）由题意可得，，由线面垂直的判定即可得证；
（2）由题意可得两两垂直，则以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，设，可得，分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式结合条件即可求得的值.
【详解】（1）取的中点，连接，如图：
因为，是的中点，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
因为是的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）因为，易得，且有，则，
即，则两两垂直，
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：
易得，
在线段上取点，设，即，
则，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则有，不妨设，则，
由题意得，解得或（舍），
故存在点满足条件，且.
10.（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和；
(2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．
（i）求点到平面的距离；
（ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)（i）；（ii）存在，
【详解】（1）由离散曲率的定义得：
，
，
因为，同理可得其他三个三角形内角和为，
所以；
（2）由平面ABC，平面ABC，得，
又，AC，平面PAC，则平面PAC，
由平面PAC，得，即，
又，即，解得．
解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得，
又平面PCB，则平面PCB，
因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长．
在中，，所以，点A到平面PBC的距离为．
解法2：设点到平面的距离为，
则，，
所以，即点到平面的距离为．
解法3：过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，
设平面PBC的法向量，
则，即，令，则，得，
所以点到平面的距离．
（ii）存在．过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得：
，
所以，
设，则，
设与平面所成的角为，因为，所以，
设平面的法向量，
则即
令，则，得
则，
整理得，解得： ，
所以，所以．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍12：立体几何解答题十二大题型全突破
题型 考情分析 考向预测
1.平行关系的证明 2025年新高考卷Ⅰ：多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法 2025年新高考卷Ⅱ：证明线面平行、求二面角、面面角的向量求法 2024年新高考卷Ⅰ：证明线面平行、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 2024年新高考卷Ⅱ：证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法 预测第一问轮换考线面平行、面面垂直核心证明；第二问以空间向量为核心，考查异面直线角、二面角求解。整体趋势以棱锥、棱柱为主要载体，几何证明+空间向量计算结合，题型常规中档，稳中无偏怪难题。
2.垂直关系的证明
3.求线线夹角
4.求线面夹角
5.求二面角或两平面的夹角
6.已知线面夹角求其他量
7.已知面面角求其他量
8.求点面距离
9.求点线距离
10.空间几何体的体积问题
11.空间几何体的动点问题
12.立体几何新定义题
题型1 平行关系的证明
1. 线线平行：优先找中点、中位线；无中点则构造平行四边形或利用比例线段。 2. 线面平行：在平面内找到一条与已知线平行的线，常用中位线转化，书写完整定理依据。 3. 面面平行：证明一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面，“相交”必须写清。
【例1】（2026·湖南·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【变式1-1】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求四面体的体积．
【变式1-2】（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体的底面是正方形，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
题型2垂直关系的证明
1. 线线垂直：优先找垂线、直角三角形；或用勾股定理逆定理。涉及棱锥、棱柱常证“线面垂直”进而推导。 2. 线面垂直：证明直线垂直于平面内两条相交直线。多用三垂线定理、面面垂直性质。 3. 面面垂直：证明一个面内有一条直线垂直于另一个面；或计算二面角为90度。 核心原则：转化优先，证线面垂直是关键枢纽。书写严谨，不漏掉“相交”条件，每步依据写全。
【例2】（2026·江西九江·二模）如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【变式2-1】（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【变式2-2】（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥组成．已知圆锥的底面半径为1，高，为直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，M为SC的中点．
(1)若，证明：平面平面SAB；
(2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为，求的取值范围．
题型3 求线线夹角
1.几何法：平移异面直线至相交，构造三角形，利用余弦定理求解。 2.向量法：求出两直线方向向量，代入夹角公式，取向量点积绝对值，算出锐角或直角。 注意异面直线所成角范围为。
【例3】（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与的夹角；
(3)求三棱锥的体积.
【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥 PO 和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB 的中点，A，B，C，H 四点共面，△PAB 是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E 分别为线段PA，PF 的中点．
(1)证明：平面ODE∥平面 PBC．
(2)求异面直线 BH 与OE 所成角的余弦值．
题型4 求线面夹角
1.几何法：找直线在平面内的射影，直线与射影所成锐角即为线面角，解三角形计算。 2.向量法：求平面法向量与直线方向向量，利用公式求解，线面角取。
【例4】（2026·广东江门·二模）如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直．
(1)在答题卡中，作出四棱锥的高，并说明理由；
(2)若，且，，求与平面所成角的正弦值．
【变式4-1】（2026·广东清远·二模）如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．
【变式4-2】（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥
中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，
(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值
(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直
题型5 求二面角或两平面的夹角
1. 核心方法：①三垂线法：过面内一点向另一面作垂线，再向棱作垂线，连线即为平面角。 ②向量法：建系求两平面法向量，算其夹角。 ③定义法：直接在棱上取点，作垂直于棱的射线求角。 2. 范围区分：二面角：范围是 [0°, 180°]，包含平角。两平面夹角：范围是 [0°, 90°]，取锐角或直角。 3. 注意：向量法算出的角需根据图形判断为锐角或钝角，再与两平面夹角范围对应。书写步骤完整，结论明确。
【例5】（2026·云南玉溪·二模）如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【变式5-2】（2026·广东佛山·二模）如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，.
(1)证明：；
(2)若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值.
题型6 已知线面夹角求其他量
利用线面角定义，结合直线方向向量与平面法向量的关联列式。线面角与法向量夹角互余，套用对应三角公式。结合题干边长、垂直条件，建立方程，借助几何关系或空间坐标系，求解线段长度、参数、其他角度等未知量。
【例6】（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为的中点，且，平面平面．
(1)求证；平面平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．
【变式9-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形．
(1)若平面，求的长；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
题型7 已知面面角求其他量
已知面面角，几何法可依托二面角平面角，结合垂直、边长关系列等式计算。向量法为核心，求出两平面法向量，利用向量夹角公式建立方程，求解线段长度、参数、点的位置等未知量。
【例10】2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（2026·新疆·三模）如图所示，四边形是边长为2的正方形，以为圆心的半圆面垂直于平面，是半圆弧上的动点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
题型8 求点面距离
1.几何法：过点作平面垂线，确定垂足，利用垂直关系直接计算垂线段长度。 2.等体积法：构造棱锥，换底列式，由体积相等求解高，即为点面距离。 3.向量法：建系求平面法向量，代入点到平面距离公式，代入坐标直接运算。
【例8】（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且．
(1)求点到平面的距离；
(2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值．
【变式8-1】（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正切值；
(3)求点M到平面的距离．
题型9 求点线距离
1.几何法：过点作直线垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2.等面积法：以线段为底、点线距离为高，借助三角形面积恒等计算。 3.向量法：取直线方向向量与线上任意点，利用向量投影公式，快速求出垂线段长度。
【例9】（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱中，．
(1)求点到直线的距离；
(2)求二面角的正弦值．
【变式10-1】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
题型10 空间几何体的体积问题
1.直接公式法：柱体、锥体、台体套用对应体积公式。 2.割补法：分割或补形，化为规则几何体求解。 3.等体积转化：换底面与高，简化运算，常用于锥体。 4.向量法：建系求底面积与高，代入公式计算。 结合面面垂直、点面距离，快速确定几何体的高。
【例10】（2026·广东·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，,点满足.
(1)若.
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的体积.
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.
【变式10-1】（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，.
(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值；
(3)求三棱锥的体积.
题型11 空间几何中的动点问题
在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法. 1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若 R，使得 2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标. 3.依据：平面向量基本定理,若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，y∈R，使得结合面面垂直、点面距离，快速确定几何体的高。
【例11】（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点.
(1)若∥，∥，证明:∥；
(2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【变式11-1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边中，满足，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
题型12 立体几何新定义题
1. 吃透定义：仔细阅读新定义，提取核心关键词，明确新概念的性质、图形与度量要求，转化为数学语言。 2. 画图分析：依据题意画出准确图形，标注已知条件。结合常用定理，通过辅助线或截面，把新问题转化为熟悉的线面关系。 3. 选法求解：根据题目具体类型，距离角度用向量或几何法，截面展开用割补法，最值问题则结合函数或不等式思想求解。 4. 严谨结论：计算完毕后，检查结果是否符合新定义范围与实际意义，确保推理逻辑严密，步骤规范完整。
【例12】（2026·辽宁沈阳·三模）世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题.
(1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值；
(2)求通过直线且与平面垂直的平面方程；
(3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程.
【变式12-1】（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知；
(1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）；
(2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为.
（ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值；
（ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长.
1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与底面所成角的正弦值.
2．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，．
(1)求证：平面平面．
(2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
4．（25-26高三上·天津河西·期末）已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．

(1)求证：面面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求四棱锥的体积．
5．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.
(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
(2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值
6．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面．

(1)证明：；
(2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；
(3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值．
7．（2026·江苏·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积.
8．（2026·河南周口·模拟预测）如图为半径为2的圆的直径，点为圆上的两点，且.如图2，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接.
(1)若为的中点，证明：；
(2)若平面平面，求二面角的余弦值.
9.（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，．
(1)证明：；
(2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
10.（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和；
(2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．
（i）求点到平面的距离；
（ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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