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专题03 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题
题型 考情分析 考向预测
1．复合函数的单调性 2024年新高考卷Ⅰ：第18题（2）考查了复合函数的对称性 2023年新高考卷Ⅰ：第4题考查了复合函数的单调性中的参数问题 2023年新高考卷Ⅱ：第4题考查了复合函数的奇偶性 复合函数的单调性及其参数问题、指对复合函数中的奇偶性、对称性问题
2．复合函数的最值
3．复合函数的奇偶性、对称性
4．函数的零点问题
5．函数的零点问题
6．函数的零点问题
题型1 复合函数的单调性
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2、求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增增增增减减
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.
【详解】要使函数有意义，则，
即，解得或，
函数定义域为.
令，则，在上单调递减，
对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.
故选：D.
2．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可.
【详解】若在上单调递增，
则必然在处有定义，所以，即；
若，则当时，所以在上有定义，
再由知在上单调递增，所以在上单调递增.
故选：C.
3．（24-25高三上·山西大同·期末）已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据对数函数的单调性得出，再构造函数结合函数单调性求解即可.
【详解】因为，又函数单调递增，所以，即，
对于不等式，移项整理得，
构造函数，由于单调递减，所以，即，
故选:C.
4．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性及指数函数的单调性可得在区间上单调递减，然后利用二次函数的单调性列不等式求解m的范围，最后判断充分性与必要性即可.
【详解】因为函数在定义域上单调递增且在区间上单调递减，
由复合函数的单调性知函数在区间上单调递减，
因为的开口向下且对称轴为，
所以，故“”是“在区间上单调递减”的充要条件.
故选：C
5．（多选题）（2025·青海·模拟预测）在下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】令，则在，上单调递减；
对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误；
对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确；
对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确；
对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误.
故选：BC.
6．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意. 都有 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】对任意，都有，
则在上单调递增；
所以是在上单调递增的奇函数.
对于A，函数定义域为，不是奇函数，A错误；
对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，
，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；
对于C，，易知在上单调递减，C错误；
对于D，函数定义域为R，
函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，
所以在上单调递增，
，
是奇函数，D正确.
故选：BD.
7．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是_______．
【答案】(或)
【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得.
【详解】函数的定义域为，
令在定义域上为增函数，则在上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增，
即函数单调递增区间为．
故答案为：(或)
8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意转化为函数在上单调递增，根据分段函数的单调性，需满足各段单调递增及两段在分界点处函数值的大小关系求解即可.
【详解】由对任意，得，
设，则对于恒成立，所以在上单调递增．
由题意知
当时，单调递增，
即在上恒成立，得或
解得或，即．
当时，单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，即，得．
当时，，
所以恒成立，满足题意.
综上，的取值范围为．
故答案为：
题型2 复合函数的最值
复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
1．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为
C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为
【答案】B
【分析】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可.
【详解】函数，
令，则，
由对勾函数的性质得，函数在上单调递增，
故当，即时，，当，即时，．
故选：B．
2．函数.（ ）
A．4 B．4或 C．2或 D．2
【答案】A
【分析】构造奇函数，由结合函数的奇函数特性即可得解.
【详解】由，
所以定义域为，关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数，
所以的最大值和最小值互为反函数，即，
所以.
故选：A.
3．已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解.
【详解】，
由，则，
当时，则，
则，
由任意的，均存在，使得，
则有，即.
故选：C.
4．（25-26高三上·安徽·月考）当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值.
【详解】因为，所以函数在处无定义，所以，
又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，解得，
再由，得，
由，可解得．
故选：D.
5．（25-26高三上·北京·月考）若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为判断各选项中的函数的值域是否是其导函数值域的子集，由此依次求解各选项中函数和其导函数的值域即可.
【详解】若对，，使得成立，则的值域是值域的子集；
对于A，由二次函数性质知：的值域为；
，的值域为，则，A满足性质；
对于B，，且，
当时，，
当时，，
显然的值域是值域的子集，B满足性质；
对于C，由正弦型函数性质可知：，
，的值域为，
显然的值域是值域的子集，C满足性质；
对于D，，的值域为；
，的值域为；
则的值域不是值域的子集，D不满足性质；
故选：D
6．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，函数值域与函数的值域完全相同的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用对勾函数的性质，求各函数的值域，比较即可得解.
【详解】对勾函数，，
当定义域为时，有；有，
∴对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数有最小值2，趋近于0与趋近于时，函数值趋近于．
函数定义域为，则，由对勾函数的性质可得，
当时有最小值2，则函数的值域为．
（i）函数中，有，由对勾函数的性质可得，
当时有最小值2，则函数的值域为．
（ii），有，由对勾函数的性质可得，当时有最小值2，
则函数的值域为．
（iii），当时，，的值域与函数的值域不相同．
（iv），当时，，的值域与函数的值域不相同．
综上所述，的值域与函数的值域完全相同．
故选：B．
7．已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，又，
所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，，
则，
即，则，
得，整理得，
令，则其图象开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，
所以存在，使得成立，即，
则，解得，
所以的取值范围为.
故选：B.
8．函数在区间的最大值为______.
【答案】/3.5
【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可
【详解】（1）由，
所以的定义域
令，开口向下，对称轴，
根据复合函数的单调性可知，
的单调递增区间是；单调递减区间是
在区间的最大值为
故答案为：
9．（24-25高三上·河南·开学考试）已知且，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】由同角三角函数基本关系化简函数解析式，再利用换元法求函数最值即可.
【详解】，则，
，
令，
则，
由，，
知，即恒成立，
又由，即当且仅当时等号成立，
由，故当时等号取到，
所以，
当，即时，取最小值，且最小值为.
故答案为：.
10．已知函数，函数.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于的二次函数后即可求值域；
（2）把看作一个整体，函数为关于的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得的最小值，然后解不等式即可.
【详解】（1）.
，即的值域为.
（2）由题知：不等式对任意实数恒成立，.
，令，.
设，
由二次函数的单调性可知：当时，取得最小值，即，
，即，，
即，解得，
实数的取值范围为.
题型3 复合函数的奇偶性、对称性
常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. （2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. （4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. （5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）若函数 的图象关于直线对称，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由对称性知函数定义域关于点对称，即可得解.
【详解】设，
因为函数，
所以，解得，即函数定义域为，
因为函数 的图象关于直线对称，
所以，解得，
此时，,
的图象关于直线对称，故符合.
故选：C
2．（2026高三·全国·专题练习）设函数，则的图象（ ）
A．关于对称
B．关于对称
C．关于直线对称
D．关于对称
【答案】D
【分析】A根据判断；B根据判断；C根据判断；D根据判断.
【详解】对于A，因为，
所以的图像不关于对称，故A错误；
对于B，因为，所以的图像不关于对称，故B错误；
对于C，因为，
所以的图像不关于直线对称，故C错误；
对于D，因为
，
所以的图像关于对称，故D正确.
答案：D
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】A
【分析】利用奇偶性的定义求解的奇偶性，求出在范围内的表达式，利用导数法得到在范围内的单调性.
【详解】，
的定义域为，
，
是偶函数，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
，
，
在上是单调递增函数.
4．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，，,
令函数，
则，
所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称，
因函数在对称区间上的值域为，故．
5．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
【详解】，即，
，
令，解得：，
当时，，，则在区间单调递增；
当时，，在区间单调递减；
，
即，
关于对称，
，
，即，
两边平方得，
解得，
则实数的取值范围是.
6．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【分析】由题意可得，根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，进而可得，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由，可知定义域为，
又，即，
则，
所以，
因为在单调递减，在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知，在单调递减，
显然在上单调递减，所以函数在单调递减．
令，
因为，
所以函数是定义在上的奇函数，故函数在也单调递减，
所以函数在定义域上单调递减．
正实数a，b满足，所以
故，即，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为6．
7．（多选题）（2027高三·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．没有最小值
【答案】AC
【分析】先化简判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断的单调区间与最值．
【详解】为偶函数，A正确，B错误；
作出的图象如图所示，可知在上单调递减，在上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
故选：AC．
8．（多选题）（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴
C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为
【答案】AD
【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D.
【详解】对于A，，为奇函数，故A正确.
对于B，，
，
，不是图象的一条对称轴，故B错误；
对于C， ，，不是的周期，故C错误，
对于D，，
令，即，解得或，
当时，，，
当时，，，故函数极值为.
的值域为，故D正确.
9．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则关于的不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，可得为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得的单调性，根据条件，整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】因为，定义域为R，
所以，
所以为奇函数，
又，
因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增，
又在R上单调递减，所以在R上单调递减，
因为，
所以，则，
即，解得，即解集为.
故答案为：
10．已知函数，______；的最小值是______．
【答案】
【分析】求得，直接运算可得，所以，由基本不等式求得其最小值，结合的最小值为 ，可得的最小值.
【详解】由，得，解得，或.
所以函数的定义域为.
.
所以.
所以，.
所以.
因为与同号，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立.
因为，所以当且仅当时，
取得最小值，最小值是.
故答案为：①；②.
11．（25-26高三上·河南濮阳·月考）已知函数存在对称中心，求的最小值________
【答案】
【分析】设函数存在对称中心，由列式可得，，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】设函数存在对称中心，
由，
则，
即，
即
则，
解得，，
则，
所以时，取得最小值.
故答案为：.
题型4 函数的零点问题
1．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解.
【详解】⑴ 当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，函数图象如下：
令，，解得或，
即或，根据图象有2个解，有1个解，
所以此时有3个零点，不符合题意；
当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：
令，，解得或或，
根据图象有2个解，有3个解，
又有8个零点，所以要有3个解，
即，解得，
故选：D.
2．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【详解】由恰有5个零点，
则关于的方程恰有5个相异实根，
令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.
作出函数的图象，如图所示，
由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，
此时仅有1个实根，不合题意；
当时，仅有两个相异实根，
而各仅有1个实根，不合题意；
当时，仅有3个实根，
且各仅有1个实根，
且两实根均小于，则有三个实根，必有，
所以.
又，所以，此时的5个实根互不相等，
即恰有5个零点；
当时，仅有2个相异实根，且，
此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.
所以实数的取值范围为.
故选：C
3．（多选题）设函数，若函数恰有4个不同的零点，，，，且，则实数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】令，则，由选项可知实数均满足，可得，分类讨论和两种情况，结合图象分析交点以及零点的性质，进而求解即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
令，即，
令，则，
由选项可知实数均满足，则与有且仅有一个交点，即.
且，，即，.
对于选项AB：若，则，
可知与至多有3个交点，不合题意，故AB错误；
对于选项CD：若，则，
可知与有4个交点，
不妨设，则，，
因为，即，
可得，则，即，
可得，，
令，可知在内单调递增，
且，，可得在内的值域为，
即，符合题意，故CD正确；
故选：CD.
4．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据时的解析式，结合条件，可得为符合条件的解，则时，没有实数解，分别讨论、和三种情况，根据指数函数的单调性，分析即可得答案.
【详解】令， 由有且仅有一个实数解，得有且仅有一个实数解，
当时，令，解得，
所以有且仅有一个实数解，
当时，令，解得，为一个确定的解，符合题意，
所以当时，没有实数解，
当时，，符合题意；
当时，，在上恒成立，
所以在上有无数个解，不符合题意；
当时，单调递增，只需即可，
综上，实数的取值范围是.
5．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________.
【答案】或.
【分析】令，考虑方程的解，根据题设条件可得，且有两个不同的解，结合换元法和根分布可求的取值范围.
【详解】令，考虑方程的解即，即，
若，此时无解，故无解，
故的实数根的个数为零.
若，则的解为，
下面考虑的解即方程的解，
若的实数根的个数最多，则有两个不同的解，
令，故在上有两个不同的解，
故，故或.
题型5 函数的零点问题
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案.
【详解】令，则，
根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合图象，当与相切时满足要求，
在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，故，
又，，其在定义域内单调递减，令，解得，
故时，有两个整数根，分别为2和，
由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求，
此时，故，令，解得另一个根为4，
又，解得，
故五个整数根分别为，，1，2，4，
所以最大整数解和最小整数解之积为．
故选：A．
2．已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解.
【详解】令，则，如图，
由图像可知，和均最多有2个不同的根，
所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是.
故选：B
3．（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数的图像，令，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，即，令，利用导数研究单调性，进而作出的图像，利用数形结合即可求解.
【详解】由题意有：当时，，由，所以在单调递减，
当时，，所以，
由，所以在单调递增，在单调递减，
作出的图像：
令，由有，
由图可知，要使得函数恰有4个零点，
则关于的方程要有两个根，不妨设或，
由有，令，所以，
当时，，当或时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
作出的图像：
由图可知：当时，直线与的图像的两个交点的横坐标满足或，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
4．已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可.
【详解】函数在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，，，，，
有且只有一个整数解可知解集非空，则，因为，
可知当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为；
当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为，
综上．的取值范围为．
5．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.
【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由可得，即，解得或（舍去），
所以，故，
方程即，即，
依题意，关于的方程恰有两个实数根，则函数和有两个交点，
设，则，即且，
则函数即，该函数的对称轴为直线，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个不等的实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
题型6 函数的零点问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】由题可得出函数的相关性质并作出图像，令，方程转化为，根据原方程解得个数可确定转化后方程根的分布情况，由根的分布即可解题.
【详解】函数的性质，在和［0，2］上是减函数，
在和上是增函数，时，函数取极大值时，
，函数取极小值，当时，，
因此方程有且只有7个不同实数根，
设则方程必有两个根，
其中，由此可得，所以.

故选：B．
2．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解.
【详解】画出函数的图像如图所示，
函数有6个零点，
等价于有6个解，
即或共有6个解，
等价于的图像与直线和直线，共有6个交点，
由图得的图像与直线有4个交点，
所以的图像与直线有2个交点，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：A.
3．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析函数的图象和性质，再令，得当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；再将函数有5个零点转化为函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在，再由二次函数的零点分布可得结果.
【详解】由函数，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下：
令，由函数的图象及性质可知，
当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；
函数有且仅有5个不同零点，
就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在.
当时，只有一个零点，不符合题意；
所以，此时二次函数，且恒成立.
当时，对称轴，，，解得；
当时，此时对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意.
综上可知，常数a的取值范围为.
故选：C.
4．（多选题）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　）
A． B． C．8 D．16
【答案】CD
【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可.
【详解】如图，作出函数的大致图象，
由，可得.
由图可知，与有且两个不同的交点，
即方程有两个不等的实根，
而方程有三个不等的实根
得到方程有且只有一个实根，
即与有且只有一个交点，
故或，解得或.
故选：CD.
5．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________.
【答案】
【分析】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得.
【详解】共有6个不同的实根，
由，则有4个不同实根，且有2个不同实根，
根据正弦函数的图象知，可得.
故答案为：
6．设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】先画出的图像，设，由关于的函数恰好有6个零点，得到有两个不同的根，则对应的值有个，对应的值有个，故，，数形结合列不等式组可求实数的取值范围.
【详解】的图像为：
设，
则转化为，
关于的函数恰好有6个零点，
有两个不同的根，
且，则对应的值有个，对应的值有个，
，，
，，
，
实数的取值范围是.
故答案为：.
1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】由且，得，即或，
所以函数的定义域为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解.
【详解】令，，易知是减函数，
因为，又在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，
则函数的最大值是，
故选：C.
3．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的定义域为，若函数，则的解析式不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】的定义域为，则的定义域为，
，故为偶函数；
选项A：的定义域为，是偶函数，
构造，则，，
满足条件，故A可能；
选项B：的定义域为，是偶函数，
构造，则，
满足条件，故B可能；
选项C：的定义域为，
，
故是奇函数，故C不可能；
选项D：是定义域为的偶函数，
构造，则，
，
满足条件，故D可能．
5．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据对称性定义计算判断各个选项．
【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误；
对于B选项，若的图象关于点对称，则，
而，故B错误”
而，
所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误．
故选：C．
6．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，由，得，两边平方后化简即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
因为，所以函数的图象关于直线对称，
令在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当，即时等号成立，
函数在上单调递增，
由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，
两边平方得，即，
又，所以，即.
故选：B.
7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的零点个数不可能为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】令得，令，则，画出的图象，分和两种情况，结合的解的个数和各个解的范围，以及的图象，求出零点个数，得到答案
【详解】令得，
令，则，
其中，
当时，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，为单调递增函数，，
令得，令得，
故当时，有三个解，
分别为，，，
其中，画出图象如下：
令，若，则有0个零点，
若，则有1个零点，
若，则有两个零点，
观察图象，与均有两个零点，
综上，的零点个数可能为，
可能为，可能为，
当时，有2个解，分别为，，
观察图象，与均有两个零点，
此时共有4个零点，
综上，不可能为3个零点.
故选：A
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得转化为，进而解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数
设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即函数为奇函数，
设，则，
，在上为增函数，而在上为增函数，
故在区间上为增函数，
又为增函数，所以在区间上为增函数，
不等式即为，
也即，
所以，解得.
故选：A.
9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可.
【详解】作出函数的图象：
函数的零点等价于方程，
当时，此时方程化为可得，
由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故；
当时，此时方程化为可得或，
由可得方程有一个解为，
由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故；
所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足，
由于
所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根，
则满足或，解得，
综上的取值范围为，
故选：D
10．（25-26高三上·福建泉州·期中）函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可.
【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，
即与或的图象交点的横坐标，
当时，，则，
所以时，，所以在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，且；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当时，由图可知与无交点，即方程无解；
与有两个不同的交点，即有两个实数解；
当时，，
令，则，则，
作出大致图象如下图所示：
因为当时，与有两个不同的交点，
所以与及共有四个交点，
所以，解得，
即可得正实数的取值范围.
故选：B
11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，且）在R上为单调函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由在时的单调性，结合复合函数单调性，求出的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上，
所以当时，单调递增，
又且在R上为单调函数，所以在时单调递增．
因为函数在时单调递减，所以在单调递减；
所以解得，又，
则，所以，
故的最小值为2．
故选：B.
12．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围.
【详解】原方程可化为，
而的解为或或，若，则或或，
由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解，
当时，，此时有3个实数解，不合题意．
当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然．
当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．
当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足，
故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时，
注意到，且，
故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.
故选：B
13．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围．
【详解】已知，其定义域为，
则，
令，即，则，解得．
当或时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，也是最小值，．
令，则，
函数恰有个不同的零点，
即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，
且其中一个根为，另一个根．
则，解得 .
实数的取值范围是．
故选：A．
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析函数的单调性，换元简化，分析的根对零点的影响，进行分类讨论得到结果；
【详解】对于函数根据二次函数和对数函数可知

，在上单调递减，在和上单调递增，
令，则，，
函数恰有3个零点等价于方程的正根对应的的解的个数之和为3.
当有两个相等的正根时，，即，（舍），方程解得
，，分段函数计算可得，此时有两个零点，不符合题意；
当有两个不相等的正根时，，
所以①当时，，方程无实数解，且，解得；
②当时，，由于，
可知时，，因为在上单调递增，所以有1个解，；
时，，可知有2个解，
恰有3个零点，要求和的解的总个数为3个.
通过图象分析可知要求，即.是方程的较大的根，由，可得
综上，的取值范围为.
故选：A.
15．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利用复合函数单调性判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，
，因此为偶函数，A正确；
对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，
因此的值域为，B正确；
对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，
且，因此存在，使得，C错误；
对于D，函数在上单调递增，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.
故选：ABD
16．（多选题）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的单调递增区间为
C．当时，
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性的分析方式逐项判断即可．
【详解】解：定义域为，
，则为偶函数，故A正确；
当时，，令，
为增函数，在单调递减，在单调递增，
时，的单调递增区间为，
又为偶函数，
则函数在和单调递减，在和单调递增，
所以的单调递增区间为，故B正确；
当时，，且函数在单调递减，
，故C错误；
函数在和单调递减，在和单调递增，
，故D正确．
17．（多选题）定义在上的函数，则（　　）
A．函数是奇函数
B．函数的值域为
C．函数关于直线对称
D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】对于A，由奇函数的定义即可判断；对于B，利用换元法，结合函数的单调性即可得解；对于C，验证与的关系即可判断；对于D，利用复合函数的单调性即可得解.
【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称，
且，
故函数是奇函数，故A正确；
对于B：令，则可转化为关于的函数，
易知在上单调递增，因此易知在上单调递增，
因此在上单调递增，又因为，
因此的值域为，即的值域为，故B正确；
对于C：，
即，
即函数关于中心对称，不关于直线对称，故C错误；
对于D：由B可知，令，则可转化为关于的函数，且在上单调递增，
又因为在上的值域为，且在该区间上单调递减，
根据复合函数单调性遵循“同增异减”，因此函数在上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
18．（多选题）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．与的值域相同 B．与的奇偶性相同
C．与有相同的零点 D．与在上的单调性相同
【答案】BD
【详解】对于A选项，，，
于是的值域为，的值域为，故A选项不正确；
对于B选项，，所以为偶函数，
，所以为偶函数，故B选项正确；
对于C选项，由于的值域为，所以没有零点，
令，得，所以，．故C选项不正确；
对于D选项，因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在单调递减，
因为在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知在单调递减，故D选项正确．
19．（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】由，所以，所以或，
由有，，解得，即，故A正确；
所以有3个不等的实根，
作出的函数图像：
由图可知：，故B正确；，故C正确；由，
，所以，
由，所以，故D错误，
故选：ABC.
20．（多选题）（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（ ）
A．方程有两个不同的实根
B．
C．是方程的一个根
D．
【答案】ACD
【分析】画出函数的图象，结合图像可得有两个不同的解且，，从而可判断A的正误，同样结合图形求出的范围后可判断B的正误，将代入计算后可判断C的正误，根据方程的解的传递性可用表示后根据单调性可求范围，从而可判断D的正误.
【详解】令，考虑的解.
的图象如图所示：
对于A，因为有3个不同的解，故有两个不同的解，
且，，故A正确.
对于B，由A的分析可得，故B错误.
对于C，由A的分析结合图象可得：有两个不同的解，
故且，故，
故是方程的一个根，故C正确.
对于D，由A的分析可得有两个不同的解，不妨设为，
有唯一解，不妨设为，
则，，故，
故，
而即，
所以，
记，则，
故在上单调递增，故，D正确.
故选：ACD.
21．（多选题）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是
【答案】BCD
【分析】作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解.
【详解】因为当时，，当且仅当时取等号，
当时，，
因为在单调递减，而单调递增，
所以在定义域内单调递减，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下：
令，则，即，根据的图象可知，
要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，
当且仅当时，有两个整数根或．
要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2，
显然只有符合题意，当时，，则．
即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确．
解方程得或，解方程得，
此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确．
故选：BCD．
22．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______．
【答案】
【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解.
【详解】函数，
令，解得，故函数的定义域为，
，
故函数是奇函数.
而函数在上单调递减，
函数在上单调递增，
因此函数在上单调递减.
不等式
，
所以所求不等式的解集为．
故答案为:.
23．已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调.
【详解】当时，，
因为，所以在上单调递增，
又是上的单调函数，当时，，
所以在上单调递增，且.
由在上单调递增可知
（1）因为函数的图象开口向上，
所以需要在上单调递增，且，
即，解得；
（2）需要在定义域上单调递增，所以.
由上知，.
由得，
结合得，解得.
综上，，即实数的取值范围是.
24．若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】当时，在单调递增，所以无最小值，不满足题意；
当时，令，则，根据双钩函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，所以要想在上有最小值，只需满足 即可；
当时，令，解得，，解得，
所以，
因为单调递增，单调递增，所以单调递增，单调递减，
即函数在上单调递增，在上单调递减，且在处连续，
所以在出取得最小值，
所以要想在有最小值，只需满足 即可；
综上所述：满足题意的的取值范围是.
故答案为：
25．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________．
【答案】2
【分析】由题意得到，代入解析式即可求解.
【详解】由可得:
，
即恒成立，
得到恒成立，即，
即，恒成立，
因为在定义域内不恒为0，
所以，
即恒成立，
展开可得，即或，
当时，定义域为空集，舍去，
所以，所以．
故答案为：2
26．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________．
【答案】 或 或
【详解】当时，由得，解得或，
当时，由得，解得（舍），
作出的图象如图，由得或，
即或，
当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符；
当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意；
当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意；
当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意；
当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意；
当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意；
当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意；
当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意；
综上所述，有3个零点时，或.
27．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________.
【答案】 2
【分析】先将代入不等式，再根据对数函数的性质求解不等式；先分析函数和的对称性，再根据对称性求出交点横坐标之和.
【详解】由题意得，，即，又在单调递增，
，解得，故的解集为.
，则，
，
故函数的图象关于点对称，
，则，
，
故函数的图象关于点对称，
两个函数的图象都关于点对称，
两个函数的图象交点也关于点对称，
因为，可知单调减区间为，图象关于点对称，时，时，
函数，可知函数单调增区间为，值域为且图象关于点对称，
可画出两个函数的大致图象，两个函数的图象有两个交点且关于点对称，
所以交点横坐标之和为.
故答案为：；2
28．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围.
【详解】的图象如图所示：
令，若关于的方程有8个相异的实根，
则在上有两个不等的实根.
令，则，
即，解得，
实数的取值范围为.
故答案为：
29．已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由单调性求出解析式，转化为与图像有两个交点，数形结合求的取值范围即可.
【详解】由题意设，则，
因为函数，，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
当时，，
所以，
则，
设，则与的图象有2个交点．
因为在单调递增且，
所以当时，，则不会有两个交点；
当时，在单调递增，在单调递减，且，可得，
所以．
故答案为：.

30．已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则______；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】画出分段函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出，再结合函数图象分类讨论求解的范围即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示，
当时，由可得，
即，故.
由图知，和关于轴对称得，
所以.
令，则，
若关于的方程至少有7个不同的解，
当时，有1个解，，而，有1个解，故原方程有1个解；
当时，有3个解，假设，则，
故有1个解，有3个解，有3个解，
所以原方程共有7个解；
当时，有4个解，假设，
则，
故有1个解，有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有8个解；
当时，有3个解，假设，
则，，，故有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有7个解；
当时，有2个解，假设，则，
故有4个解，有2个解，共有6个解，
综上所述，关于的方程至少有7个不同的解时，
故答案为：；.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题
题型 考情分析 考向预测
1．复合函数的单调性 2024年新高考卷Ⅰ：第18题（2）考查了复合函数的对称性 2023年新高考卷Ⅰ：第4题考查了复合函数的单调性中的参数问题 2023年新高考卷Ⅱ：第4题考查了复合函数的奇偶性 复合函数的单调性及其参数问题、指对复合函数中的奇偶性、对称性问题
2．复合函数的最值
3．复合函数的奇偶性、对称性
4．函数的零点问题
5．函数的零点问题
6．函数的零点问题
题型1 复合函数的单调性
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2、求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增增增增减减
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·山西大同·期末）已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（多选题）（2025·青海·模拟预测）在下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意. 都有 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是_______．
8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
题型2 复合函数的最值
复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
1．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为
C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为
2．函数.（ ）
A．4 B．4或 C．2或 D．2
3．已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·安徽·月考）当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·北京·月考）若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，函数值域与函数的值域完全相同的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间的最大值为______.
9．（24-25高三上·河南·开学考试）已知且，则的最小值为______．
10．已知函数，函数.
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围.
题型3 复合函数的奇偶性、对称性
常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. （2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. （4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. （5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）若函数 的图象关于直线对称，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2026高三·全国·专题练习）设函数，则的图象（ ）
A．关于对称
B．关于对称
C．关于直线对称
D．关于对称
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
4．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
7．（多选题）（2027高三·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．没有最小值
8．（多选题）（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴
C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为
9．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则关于的不等式的解集是__________．
10．已知函数，______；的最小值是______．
11．（25-26高三上·河南濮阳·月考）已知函数存在对称中心，求的最小值________
题型4 函数的零点问题
1．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）设函数，若函数恰有4个不同的零点，，，，且，则实数可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________.
5．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________.
题型5 函数的零点问题
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为___________．
5．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为__________.
题型6 函数的零点问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　）
A． B． C．8 D．16
5．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________.
6．设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是__________.
1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的定义域为，若函数，则的解析式不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
6．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的零点个数不可能为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高三上·福建泉州·期中）函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，且）在R上为单调函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
12．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
16．（多选题）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的单调递增区间为
C．当时，
D．的最小值为
17．（多选题）定义在上的函数，则（　　）
A．函数是奇函数
B．函数的值域为
C．函数关于直线对称
D．函数在上单调递减
18．（多选题）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．与的值域相同 B．与的奇偶性相同
C．与有相同的零点 D．与在上的单调性相同
19．（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（多选题）（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（ ）
A．方程有两个不同的实根
B．
C．是方程的一个根
D．
21．（多选题）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是
22．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______．
23．已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.
24．若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是_______．
25．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________．
26．（25-26高三下·北京·月考）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________．
27．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________.
28．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数的取值范围为______________.
29．已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
30．已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则______；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是______.
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