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专题09 数列的不等式、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项、新定义问题
题型 考情分析 考向预测
1．数列不等式 2024年新高考卷Ⅰ：第19题考查了数列的新定义问题 2025年北京卷：第21题考查了数列的新定义问题 2023年新高考卷Ⅰ：第18题考查了数列的奇偶项问题 数列的奇偶项和新定义问题依旧是需要重点掌握的。
2．奇偶项问题
3．插项类问题
4．公共项问题
5．取整数问题
6．存在项问题
7．新定义问题
题型1 数列不等式
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题. 恒成立； 恒成立. 2、常见放缩公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）．
1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
2．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
3．（25-26高三·全国·三轮复习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式：
(2)求数列的前项和；
(3)若，求的取值范围．
4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知正项数列满足．
(1)求证：是等比数列
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
5．（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
6．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和；
(3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立.
题型2 奇偶项问题
1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 3、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 4、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 5、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型
1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知数列满足．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和；
2．数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
3．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的值.
4．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
6．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
7．已知，数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，证明：；
(3)若数列满足，，求数列的前n项和.
题型3 插项类问题
1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。
1．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求
2．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.
3．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
4．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列．
(1)求数列，的通项公式；
(2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新的数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 的值.
6．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求
题型4 公共项问题
在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
1．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和．
2．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．
3．（25-26高三上·河北·月考）已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求的通项公式；
(3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值.
4．（2025·四川乐山·模拟预测）北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，，，…，的和．
(1)若，．
①求的值；
②求．
(2)已知数列的通项公式为，其前n项和记为．数列满足，且．将与的所有公共项按照它们在原数列中的顺序组成一个新的数列．设，证明：．
题型5 取整数问题
1．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值．
2．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求满足的最大整数．
3．（2026高三·浙江·专题练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项的和；
(3)若，求满足条件的最大整数．
4．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数．
题型6 存在项问题
1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q.
(1)请推导前n项和公式；
(2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.
2．（2025高三上·陕西咸阳·专题练习）在数列中，，，数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得是与的等差中项？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
3．设数列的首项为常数，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)若，
（ⅰ）求使成立的n的最小值．
（ⅱ）中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由．
4．已知首项为的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：；
(3)若数列满足，试问中是否存在不同的三项能构成等比数列？若存在，请找出对应的项，若不存在，请说明理由.
题型7 新定义问题
1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
1．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，．
①求数列的通项公式；
②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
2．（2026·河北·模拟预测）若对于给定的正整数 正整数数列 同时满足① ②其中 ，则称数列 为 数列．
(1)若数列 为 数列，证明：
(2)若数列 为 数列，请写出所有满足条件的数列
(3)已知 数列 为 数列，求 的所有可能的值．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知数列：，，，…，的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列：2，4，6，7，求集合T，并写出的值；
(2)若A是递增数列，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”；
(3)已知数列A：2，，，…，，求证：．
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T.
(1)若，写出所有具有性质T的数列A；
(2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列.
5．（25-26高三上·广东·月考）已知数列，给出以下两个定义：
①若，且对于任意，都有，则称与为“型相关数列”；
②.
(1)若数列与为“型相关数列”，证明：；
(2)已知数列与为“1型相关数列”.
（i）若，从中随机抽取4项，表示这4项的和，求的期望；
（ii）若数列满足，且，求的最大值.
6．（25-26高三上·广西·月考）已知数列中，，．若数列同时满足以下条件：①对于任意的正整数n，恒成立；②对于给定的正整数k，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列是否是“数列”，并说明理由；
(3)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，成等差数列，求证：是等差数列．
1．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和.
3．（24-25高三上·广东江门·月考）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数.
4．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，若，求满足条件的最大整数.
5．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
6．（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值．
7．已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由．
8．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和．
9．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）．
10．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
(1)求，，，及的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
11．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围.
12．（24-25高三下·天津宝坻·月考）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；
(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
13．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”．
(1)若，，证明：为有界数列；
(2)设，对，均有，求实数的取值；
(3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值．
14．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列，，，当时，总存在正整数，使，则
(1)若，求证：为常数列；
(2)求证：是单调递增数列；
(3)试求当时，第项的最大值与最小值（用表示）．
15．（25-26高三上·天津·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.
(1)已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”；
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”，
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（）
16．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由．
17．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列 请说明理由.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 数列的不等式、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项、新定义问题
题型 考情分析 考向预测
1．数列不等式 2024年新高考卷Ⅰ：第19题考查了数列的新定义问题 2025年北京卷：第21题考查了数列的新定义问题 2023年新高考卷Ⅰ：第18题考查了数列的奇偶项问题 数列的奇偶项和新定义问题依旧是需要重点掌握的。
2．奇偶项问题
3．插项类问题
4．公共项问题
5．取整数问题
6．存在项问题
7．新定义问题
题型1 数列不等式
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题. 恒成立； 恒成立. 2、常见放缩公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）．
1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立.
【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列，
设数列的公差为，则，故，
所以，故.
（2）因为，
所以
，故原不等式成立.
2．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项；
（2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可.
【详解】（1）因为，代入，
整理得，
所以，
以上个式子相乘得，
.
当时，，符合上式，所以.
（2）.
所以，①
，②
①②得，
，
所以.
由得：，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
3．（25-26高三·全国·三轮复习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式：
(2)求数列的前项和；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
(3)
【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式；
（2）由（1）结合错位相减法可得答案；
（3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可.
【详解】（1）已知，故，当时，.
因为，代入，
整理得.
因此是首项为、公比为的等比数列，
所以，故.
（2）
两边同乘 得
得，，
整理得.
（3）由 得，设 ，对任意正整数恒成立，
只需的最大值.
，
当时，，即；
当时，，即，
故最大值为.
因此的取值范围为.
4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知正项数列满足．
(1)求证：是等比数列
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题设整理可得，进而求证即可；
（2）由（1）得，结合指数函数的性质可得，进而求和即可求证.
【详解】（1）由，则，
由于，则，
所以，则，
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，，则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
则，即，
所以.
5．（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【答案】(1)不是等比数列，且
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立.
【详解】（1）因为，且对任意的，，
当时，，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，所以，
又因为，
故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，
当时，，即，
综上所述，.
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，，
，，
所以，，，
因为、、成等比数列，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以
，故原不等式得证.
6．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和；
(3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系求解即可.
（2）根据裂项相消法求和即可.
（3）结合放缩法得到，再求和证明即可.
【详解】（1）当时，；
当时，，
也满足上式；
故.
当时，；
当时，，
也满足上式；
综上，.
（2），
故数列的前项和.
（3），
又对任意的：，
所以，
故.
题型2 奇偶项问题
1、等差数列中 ①若项数为偶数，则；；． ②若项数为奇数，则；；． 2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 3、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 4、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 5、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型
1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知数列满足．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和；
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求解；
（2）由（1）得，进而得，即可求，又得，进而求，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）由题意得：
，
又，所以，
所以数列是以为公比，首项为的等比数列，
所以；
（2）由（1）有，所以，
所以，
又，所以
所以
，
所以
.
2．数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
【答案】(1)
，或.
(2)
【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可.
（2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为.
则，得. 又，则，得，
代入，得，因此.
设等比数列的首项为，公比为.
由，，所以，
两式相减得，联立得，解得或.
若，代入得， 因此.
若，则，因此.
综上，，或.
（2）因为，所以.
由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和：
奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列，
末项为，所以和为.
偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项，
所以和为.
因此，整理得.
3．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式计算即可得解；
（2）结合并项求和法分奇偶讨论，再分奇偶计算即可得.
【详解】（1）设数列的公差为，则，即，
由，则，解得，则，
故；
（2），则，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
由，则当为奇数时，有，解得，
当为偶数时，有，解得，
综上可得，或.
4．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列，即可得到，再利用累加法计算可得；
（2）由（1）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列，其首项为，
于是，
则，，，
，，
所以，
所以；而符合该式，故.
（2）由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，
因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；
当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；
综上，当时，；当时，.
5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时求出，再由得到，从而得到数列的奇数项和偶数项均是以首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法及错位相减法计算可得.
【详解】（1）因为，，当时，解得，
又，所以，
所以数列的奇数项和偶数项均是以首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）因为，所以，
所以
，
设，，
则，
所以，
整理得，同理可得，
所以.
6．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式;
（2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，满足上式，
所以；
由得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以
7．已知，数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，证明：；
(3)若数列满足，，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式.
（2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明.
（3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解.
【详解】（1）当时，由，得，即，
因此，数列是常数列，则，即，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，则，数列是等比数列，
则，，，
，
，因此，
所以对任意，.
（3）由（1）得，所以，，
则，
当n为偶数时，，
设，，
，
，
两式相减得
，于是，
又，
因此；
当n为奇数时，，
，而满足上式，
所以.
题型3 插项类问题
1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。
1．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由已知可得，然后求数列的通项公式即可；
（2）由题意可得项数，然后结合等比数列的求和公式代入计算，即可求解．
【详解】（1）由，得，
两式相减得，
即，，
得等比数列的公比，
又当时，，所以，所以
（2）数列为：3，，，1，1，，，，，
以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数，
当时共有项数，
当时共有项数，
所以
.
2．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求；
（2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案.
【详解】（1）对于数列，由可得，又，
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，
故，得.
对于数列，设，
则当时，，得，
时验证成立，故.
（2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为
.
当时，到共项，
和为，
插入的到和为，
故.
第92到100项为后插的前9项，
即到，和为，
故.
3．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案；
（2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可.
【详解】（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
4．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列．
(1)求数列，的通项公式；
(2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，进而得到，再由题意得即可求解；
（2）假设在数列中存在三项，，成等比数列，则，结合，解得，与题设矛盾，从而得出结论．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
则，
又，
所以，所以，
所以．
在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，
则，
即，
则．
（2）不存在，理由如下：
假设在数列中存在三项，，成等比数列，
则，
即，即．
因为，
所以，
即，
即，
联立
解得，与题设矛盾，
故在数列中不存在三项，，成等比数列．
5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新的数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解；
（2）利用错位相减法来求和即可；
（3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到或.
【详解】（1）设数列的公比为.
因为成等差数列，所以，
即，
因此，而，所以.
又，所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
所以，
，
两式相减得：，
所以，
所以.
（3）由题意知，
则当时，，符合题意；
当时，，所以不成立；
当时，若，显然，
若不为2，则必是数列中的某一项，
则
.
又因为，所以，
即，所以，
如图，结合函数图像可知有三个解，（舍去），
，，此时，
，符合题意，
又，
所以，又因为，故不符合题意，
即当时，时，；
综上所述，或．
6．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出；
（2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和；
（3）依据规律找出的项数和的个数即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，则，故，
所以，
则，由，则，
又由是与的等差中项，所以，则，即，
解得或（舍去），
故；
（2）由（1）可得，，
，
令，
，
两式相减得，，
，
则，
因，
则
则；
（3）根据题意可得，，
之前共有个，
与之间共有个，
所以共有7项，共有个2，
则.
题型4 公共项问题
在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
1．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和．
【答案】(1)；
(2)243
【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式；
（2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故，
又，解得（负值舍去），故，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以，
，
当时，，
当时，．
所以，
由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数．
若，则，公共项为0；
若，则由，可得，n必须为偶数，令，，
则公共项为．
故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列，
即，
所以数列的前10项和为．
2．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式；
（2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，，
所以，
当时，由①，
得②，
①②得，所以，
当时，，可得，也满足，所以.
（2）因为，
，
当为偶数时，，
此时被除余，为数列中的项；
当为奇数时，，
此时被整除，不为数列中的项，
所以，
.
3．（25-26高三上·河北·月考）已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求的通项公式；
(3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入等式中，根据已知条件计算即可.
（2）根据已知条件求出，然后计算并化简，可判定数列是等差数列，进而求得通项公式.
（3）先求出公共项为，然后利用裂项相消法进行求和计算.
【详解】（1）因为.
令，，
得
化简得，解得.
（2）由（1）得，
当时，所以，
两式相减得，
化简得，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以.
（3）数列的项为，数列的项为
公共项需满足，即，
设，则公共项为.
所以
4．（2025·四川乐山·模拟预测）北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，，，…，的和．
(1)若，．
①求的值；
②求．
(2)已知数列的通项公式为，其前n项和记为．数列满足，且．将与的所有公共项按照它们在原数列中的顺序组成一个新的数列．设，证明：．
【答案】(1)①；②；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由和得到，代入公式分别求得；
（2）分别求出，得到，放缩，累加得，放缩得证.
【详解】（1）①当层时，下底的长，宽，
代入公式得；
②当时，下底，宽，代入公式得
；
（2）因为，
所以，
又，
所以
，
与的公共项满足，所以
当时，公共项组成的新数列，所以，
所以，所以
所以
.
题型5 取整数问题
1．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)9
【分析】（1）结合题干和等差数列的定义求解通项公式即可；
（2）由（1）得，设，裂项相消可得，再结合的特点求解m的最小值.
【详解】（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列，
所以．故的通项公式是．
（2）由（1）得．
设，则，．
当时，
，
则单调递增且极限为9，所以．
由，可知符合题设条件的m的最小值为9．
2．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求满足的最大整数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题目信息可求出，，根据等比数列的通项公式列方程组即可求出答案；
（2）利用分组求和法求出，结合函数的单调性可得随着的增大而增大，求出，,即可得答案.
【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，则，
则，即，
整理得，解得或（舍去），则，
所以．
（2）由（1）可知，
故
，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，
故随着的增大而增大，
又，
，
所以满足的最大整数．
3．（2026高三·浙江·专题练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项的和；
(3)若，求满足条件的最大整数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)2025
【分析】（1）对两边取倒数并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断；
（2）先求得，利用错位相减法求解即可得到；
（3）由，利用分组求和法求出，再令，得到满足条件的最大整数．
【详解】（1）由且，可得，
，
即，，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，则
所以，
则，
两式相减，
，
.
（3）由（1）知，
则
，
由，即，
，，
所以，
因为，所以，
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件，
故满足条件的最大整数．
4．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用得到，即可得证；
（2）在（1）基础上，得到，再利用并项求和法求解即可；
（3）求出公比，由（2）知，，即，令，判断其单调性得到，进而可得出答案.
【详解】（1）①，
当时，②，
式子①②，化简得，
两边同时除以得，
中，令得，
即，又，故，
，故对，
数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，则，
则，
则
；
（3）设等比数列的公比为，
由，或，
又数列是递增数列，，
由（2）知，即，
令，则，
，
当时，，当时，，当时，，
即有，
又，
故当时，，
又，
，当时，，
故使得成立的最大整数为6.
题型6 存在项问题
1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q.
(1)请推导前n项和公式；
(2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
当时，不存在常数.当时，存在，
【详解】（1）当时，，此时.
当时，，即.①
用公比q乘①的两边，得.②
，得，即，所以.
综上，
（2）当时，.显然不存在常数c，使得是等比数列.
当时，.
令，则，所以.
因为，所以是等比数列.
综上，当时，不存在常数.
当时，存在常数，使得是等比数列.
2．（2025高三上·陕西咸阳·专题练习）在数列中，，，数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得是与的等差中项？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由题可知，数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，得到数列的递推公式，利用累加法可得数列的通项公式；
（2）假设存在正整数，使得是与的等差中项，由此得到关于的方程，.讨论可得，存在满足题意，并求出.
【详解】（1）数列中，由，得，所以数列是公差为的等差数列.
因为，所以，所以.
所以．
所以，
即，所以.
所以.
因为满足，所以数列的通项公式.
（2）假设存在正整数，使得是与的等差中项，则，
整理得，即.
因为，所以.
因为，所以，且均能整除9.
所以时，，所以（舍去）；
当时，，所以.
因为，且，即是与的等差中项.
综上所述，存在正整数，使得是与的等差中项，.
3．设数列的首项为常数，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)若，
（ⅰ）求使成立的n的最小值．
（ⅱ）中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）2；（ⅱ）存在，这三项为，利用等差中项性质证明即可.
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等比数列定义推理得证.
（2）（ⅰ）由（1）求出数列的通项公式，再借助一元二次不等式求解；
（ⅱ）由（ⅰ）中通项公式，结合等差中项建立方程求解.
【详解】（1）数列中，，则，
由，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）（ⅰ）当时，等比数列的首项是，
则，即，
不等式，
则，即，而，
因此，解得，又，
所以n的最小值为2.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
假定数列中存在连续三项成等差数列，则必有，
即，
整理得，即，
而，则，必为偶数，
因此，解得，所以成等差数列.
4．已知首项为的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：；
(3)若数列满足，试问中是否存在不同的三项能构成等比数列？若存在，请找出对应的项，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据等比数列列方程求出公差，进而得到通项公式；
（2）利用裂项相消法求和，根据的取值范围证明不等式；
（3）假设存在不同的三项成等比数列，根据等比中项的性质列方程，通过化简和分析方程的解判断是否存在这样的三项.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，
当时，，此时构不成等比数列，舍去；
当，，，满足题意，故，
此时数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，
所以
，
因为，
所以，则，所以，
即，结论得证；
（3）假设存在不同的三项能构成等比数列，
则，即，
即，
展开整理并化简得：，
因为均为正整数，所以和为整数，
要使为整数，则，
所以，代入可得：，
即，即，所以，这与矛盾，
所以中不存在不同的三项能构成等比数列.
题型7 新定义问题
1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
1．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，．
①求数列的通项公式；
②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①；②.
【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可；
（2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式；
②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以
，
所以，故数列为等差数列，
故数列为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得，，
因为数列为等差数列，故数列的公差为,
所以等差数列的首项为，故，
所以，
当时，，，，，
上述等式相加得，
故，
也满足，故对任意的，；
②由题意可知，，即，可得，
令，则，
当且时，，可得；
当时，；
当且时，，可得，
所以数列的最大项为，故，
所以实数的取值范围是.
2．（2026·河北·模拟预测）若对于给定的正整数 正整数数列 同时满足① ②其中 ，则称数列 为 数列．
(1)若数列 为 数列，证明：
(2)若数列 为 数列，请写出所有满足条件的数列
(3)已知 数列 为 数列，求 的所有可能的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)有1，2，1和2，1，2；
(3){6，10}．
【分析】（1）根据数列的新定义，当 时，求出即可验证其与题中矛盾，从而得证；
（2）由数列A 为K （3）数列，知由 可得，讨论和即可求解
（3）由题意可知，递推可得 ，两式相减可得.讨论的情况即可求解.
【详解】（1）由数列为数列，知
当 时， 故 或 ，
这与题中条件矛盾，故．
（2）由数列 为 数列，知 即
由 且 知 故
当 时， 可得 (舍去)或 ，
当 时， 则 ，
综上可知，满足条件的数列有1，2，1和2，1，2这两个．
（3）由题意可知 则
两式相减可得
若 则
则 矛盾；
若 则
又 则
易得 或 或 ，即 或6；
若 则 矛盾．
综上， 的取值范围是{6，10}．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知数列：，，，…，的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列：2，4，6，7，求集合T，并写出的值；
(2)若A是递增数列，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”；
(3)已知数列A：2，，，…，，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若为等差数列，且是递增数列，结合，证得必要性成立；再由是递增数列，，得到，由此证明为等差数列，得到充分性成立，即可得证；
（3）根据题意，得到，得出，设存在， ，推出矛盾，进而得证.
【详解】（1）由题意知数列，可得，
则，故；
（2）必要性：由于为等差数列，故设数列的公差为，
因为，所以，即，
因，所以，则；
充分性： 因为是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
又，所以，
又因为，
所以，且互不相等，
所以，
所以，
所以为等差数列，充分性成立.
所以若是递增数列，“为等差数列”的充要条件是“”.
（3）因为，
所以集合中的元素个数最多为个，即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，故，
故由得到的彼此相异，所以.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T.
(1)若，写出所有具有性质T的数列A；
(2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由数列新定义可得；
（2）由数列新定义证明即可；
（3）结合数列新定义，假设，分，，三种情况讨论数列的个数，再结合等比数列的性质可证明.
【详解】（1）所有具有性质的数列有
（2）证明：因为数列具有性质，所以对任意都有
所以即
由的任意性可得，是的单调递增排列，
所以数列即为，此时，
所以对任意的，都有所以数列具有性质.
（3）（i）假设，
由已知，所以，
又因为，所以，
依此类推，若，则
①若，则满足条件的数列为，只有一个；
②若，则，所以，
此时满足条件的数列为，只有一个；
③若，只要是的满足条件的一个数列，就可以相应得到满足条件的一个数列，
此时满足条件的数列有个 .
（ii）假设，只要是的满足条件的排列，此时满足条件的数列有个.
综上，，
又因为时，，
上面两式相减得，时，.
所以对任意，都有，所以数列是等比数列.
5．（25-26高三上·广东·月考）已知数列，给出以下两个定义：
①若，且对于任意，都有，则称与为“型相关数列”；
②.
(1)若数列与为“型相关数列”，证明：；
(2)已知数列与为“1型相关数列”.
（i）若，从中随机抽取4项，表示这4项的和，求的期望；
（ii）若数列满足，且，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）1；（ii）
【分析】（1）根据“型相关数列”的概念可得，从而可得和的值，即可证明得到结论；
（2）（i）根据题意分析得到中有3项为，5项为1，从而可得的所有可能取值，再分别计算取每个值的概率，最后利用期望的公式计算可得结果；
（ii）由可得，从而可得的值，分析得到的符号关系，以及的符号关系，进而得到的值，最终得到的最大值.
【详解】（1）证明：根据“型相关数列”的概念可知，当时，，
当时，，
则，
所以，
故.
（2）（i）因为与为“1型相关数列”，所以，且.
当时，则，所以；当时，则，则，
因为，所以，所以中有3项为，5项为1.
由题意可知，可能取值为.
则，
，
所以.
（ii），所以，则，
又，所以中有2组符号相同，5组符号相反，
因为符号相反，所以中有2组符号相反，5组符号相同，
当符号相反时，；当符号相同时，，
所以.
故的最大值为，
当且仅当这2018组符号相同时取得等号.
6．（25-26高三上·广西·月考）已知数列中，，．若数列同时满足以下条件：①对于任意的正整数n，恒成立；②对于给定的正整数k，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列是否是“数列”，并说明理由；
(3)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，成等差数列，求证：是等差数列．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）将等式变形，然后两式相减可确定数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列，然后根据为偶数和奇数时分别求得通项公式即可.
（2）根据“数列”的定义，判断和是否成立即可.
（3）根据“数列”的定义，可得数列、、都是等差数列，设公差分别为，借助性质①探究出，再利用，，，成等差数列，设公差为，然后分类讨论求解为同一常数即可.
【详解】（1）因为①，所以当时，②.
①②式相减得即数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列.
由于，可得，所以.
当为奇数时，设，；
当为偶数时，设，；
综上，数列的通项公式为.
（2）是，理由如下：
当为奇数时，为偶数，则，则；
当为偶数时，为奇数，则，则；
所以对于任意正整数，恒成立.
当为奇数时，，；
当为偶数时，，；
所以对于给定的正整数2，对于任意的正整数恒成立.
所以数列是“数列”.
（3）因为数列是“数列”，则（），
当时，，
则，
所以数列是等差数列，首项为，设公差为；
当时，，
则，
所以数列是等差数列，首项为，设公差为；
当时，，
则，
所以数列是等差数列，且首项为，设公差为；
因为对任意正整数n，恒成立，所以，
即，
所以，且，
若，则当且时，，
由性质①对于任意的正整数n，恒成立，产生矛盾；
若，则当时，，
这也与性质①产生矛盾；
所以；
同理由，可得；
记，
由题意，存在整数，使得，，，成等差数列，
可设，
则，
同理可得，，
即对任意整数，恒成立，
所以是等差数列．
1．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用的关系，结合已知条件，分类讨论时对应的；
（2）根据题意，列出数列，结合等差数列和等比数列前项和公式，求解即可.
【详解】（1），当时，；
当时，，又，不满足；
故.
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，则新数列的前项为：
故
即.
2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和.
【答案】(1)，
(2)96
【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式；
（2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可.
【详解】（1）为等差数列，设其公差为d，
则，解得，
故；
又①，
故当时，②，
两式相减得，
故，所以，，又，故，满足，
从而；
（2）由（1）知，，，
所以在中，从开始到项为止，
共有项数为，
当时，，
当时，，
所以数列前75项是项之后，还有5项为1，
故.
3．（24-25高三上·广东江门·月考）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用退一相减法可得及，即可得证；
（2）根据等差数列求和公式可得，则，利用裂项相消法可得，解不等式即可.
【详解】（1）由已知，
当时，，即；
当时，，
则，即，
又时，满足，
所以，
设，，
即数列为等差数列，即数列为以为首项2为公差的等差数列；
（2）由等差数列可知，
则，
所以，
即，，
解得，
即满足条件的最大整数.
4．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系式可证明数列为等比数列，可求得通项公式；
（2）利用等比数列前项公式求得，解不等式可得满足条件的最大整数.
【详解】（1）由题意知，
当时，，可得，
即，当时，可得，满足；
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则，
若，则，
易知随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
所以满足条件的最大整数为.
5．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式；
（2）易知是常数列，即可求的通项公式；
（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.
【详解】（1）由可得，又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）方法一：由已知得，所以，
所以，又，
等式两边同时相乘，可得，
得，该式对也成立.
故.
方法二：由可知是常数列，
所以，
即.
（3）设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以.
6．（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)．
(2)8
【分析】（1）由与的关系求的通项公式；
（2）将不等式转化为，令，作差求出数列的最大值即可．
【详解】（1）因为，
所以，
当时，，
两式相减得：，
即，，
所以，
所以，，
所以，是以为首项，以为公差得等差数列，
故．
（2）因为，
所以，
依题意，不等式为，
即，
由得对任意的正整数恒成立，
又，
所以对任意的正整数恒成立．
设，
则，
所以，
所以当时，最大，最大值为，
所以，
解得，
则整数的最大值为．
7．已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得；
（3）由（1）可得，假设存在，使得成等差数列，根据等差中项的性质得到方程，求出，的值，即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，则，
整理得，且，所以．
又因为，则，
解得，所以．
（2）由（1）可得，
则，
．
两式相减得
，
所以．
（3）由（1）可得，则，
假设存在，使得成等差数列，
则，即，化简得，
则，
又，为不相等的正整数，
若，则（舍去）；
若，则，符合题意；
综上可得.
8．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和．
【答案】(1)
(2)
(3)223
【分析】（1）根据及推出，进一步变换即可求得的通项公式；
（2）求出的表达式并结合裂项相消即可求解；
（3）分析数列的前30项包含了及的项数即可求解．
【详解】（1）由题意，在中，
令，可得，
因为，当时，，
可得，即，
整理得，因为，，
可得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以．
（2）由，则，
所以的前项和为：
．
（3）因为，
在数列中，项之前（含）共有项，，
所以数列的前30项中包含数列的前7项及数列的前23项，
．
9．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由递推公式同时取以2为底的对数，再结合等比数列定义即可求证；
（2）由题意确定插入多少项，再结合通项公式，错位相减法求和即可求解.
【详解】（1）由递推关系 ，且 ，可知所有 ，
对等式两边取以2为底的对数： ，
等式两边同时加 ，整理得： ，
即，
当时，首项为 ，
因此是首项为1、公比为2的等比数列，得证；
（2）由（1）得 ，结合 ，
得： ，
根据新数列 ：
到原数列第 项 结束时，
总项数为：原 项加插入的 项，共计项，
计算得：，，
即前190项恰好是1个 ，2个，，19个 ，剩余 项均为插入的 ，
因此：
即
，
令，
则，
两式相减可得，
即，
所以，
则.
10．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
(1)求，，，及的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，，.
(2)①，；②不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式；
（2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值；
②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断.
【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除，
所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，
所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为，
则，，，，.
（2）①由，得.
当时，，，
由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故；
当时，，，
由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故.
②不存在，理由如下：
由题意，即，所以．
假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列，
则，即．化简得．
又因为，所以，
得，所以，
又因为，所以，
即，所以，即，这与题设矛盾．
所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列．
11．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；
（2）利用分组求和法即可求解；
（3）由题意可得，所以对恒成立，令，通过作差研究的单调性求出的最大值，即可求出答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，，
则，解得或（舍去），
所以；.
（2）依题意，
设，
，
两式相减得
，
所以，
设，
所以.
（3）由题意可得，
由，得，所以对恒成立，
令，则
当时，，当时，，当时，，
所以最大，所以.
12．（24-25高三下·天津宝坻·月考）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；
(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)627
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的基本量运算可得答案；
（2）设求出n为偶数，进而求出两数列的公共项通项公式，利用等比数列求和公式可得答案；
（3）利用错位相减法求出，结合单调性和恒成立可得答案.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，
解得，所以，.
（2）设，则，
，
因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数，
即，.
（3）因为，所以，
所以；
又，所以，
，
，
两式相减可得
.
，
.
因为，所以；
所以，
时，令，则，
即为递增数列，所以，解得，
故的最小值为.
13．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”．
(1)若，，证明：为有界数列；
(2)设，对，均有，求实数的取值；
(3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）通过证明时，可完成证明；
（2）注意到，然后分，，
，四种情况，结合正负性讨论可得答案.
（3）由题，为得到最大值，应让中出现尽量多的或，据此可得答案.
【详解】（1）因，则，对于函数，
，则在上单调递增，，从而.
则，即为有界数列；
（2）.
因，又，均有，
则，，
因函数在上单调递减，则，
又满足题意，则；
，.
当时，为任意实数满足题意；
当时，，因函数在上单调递减，
则，又满足题意，则此时；
当时，，因函数在上单调递减，
则，则此时.
综上可得：
（3）由题可得，因，为使最大，
应让中出现尽量多的或.
则容易想到可让中有个，个，和个，
此时中包含个，1个，.
14．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列，，，当时，总存在正整数，使，则
(1)若，求证：为常数列；
(2)求证：是单调递增数列；
(3)试求当时，第项的最大值与最小值（用表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）由题意可得，即可得证；
（2）借助数学归纳法与数列单调性计算即可得；
（3）结合等比数列求和公式与累加法，当时，可得第项的最大值；当时，可得第项的最小值.
【详解】（1）时，，则，
又，故数列为常数列，且；
（2）由，，故；
假设对任意的，有；
当时，，，
由，，则，
故，即；
故对任意，都有，即是单调递增数列；
（3）由（2）知，是单调递增数列，故，
故要使第项最大，则只需使，即，
此时，又，
故数列从第二项开始，以为公比，
又，故，故，
故第项的最大值为；
由是单调递增数列，故，
要使第项最小，则只需使，即，
此时，又，
则数列是以为公比，为首项的等比数列，
即，则，，，
则，
故第项的最小值为.
15．（25-26高三上·天津·期中）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.
(1)已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式，并判断是否为“数列”；
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若数列是“数列”，
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）记数列中不超过正整数的项的个数为，设数列的前项和为，求（）
【答案】(1)，是“数列”
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）利用与的关系求出的通项公式，再根据定义判断是否为“数列”；
（2）（i）首先设数列的公比为，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到或再分类讨论去验证即可得到答案；
（ii）发现规律当时，，，因此，再用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由，得①，则②，
②－①得，整理得，
由，得，
又时，，解得，
所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则，
由于，所以是“数列”
（2）（ⅰ）设数列的公比为，则.
因为的每一项均为正整数，且，
所以在中，为最小项.
同理，中，为最小项.
由为“数列”，只需，即.
又因为不是“数列”，且为最小项，
所以，即.
由数列的每一项均为正整数，可得，
所以，或，.
当，时，，设.
，
又，
所以为递增数列，因为，
所以对于任意的，都有，即数列为“数列”.
当，时，，则.
因为，所以数列不是“数列”.
综上，
（ⅱ），，，，…，，，
当时，，，
所以
，
记，
，
两式相减得，
化简得，所以.
16．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)不存在符合条件的正整数，理由见解析
【分析】(1)设、，用首项、公差、公比表示，结合已知条件列方程求解参数，最终得到通项公式；
(2)代入和化简，得到等差乘等比型数列，使用错位相减法计算前项和；
(3)先分析、的单调性与符号，确定四个数的大小关系，结合等差数列“最大项+最小项=中间两项和”的核心性质列方程，验证是否存在符合条件的正整数.
【详解】（1）设，.
由题意，是公差为2的等差数列，因此；
是首项为4的等比数列，设公比为，因此.
由数列和差关系，可得：
代入已知条件、列方程：
，，代入，得；
，，代入，得.
联立方程解得，，因此：
，，
于是，.
（2）已知，，因此：
.
设数列的前项和为，则：
(1)-(2)错位相减：
，
令：
，
两式相减：
，
故，因此：
，
于是，，
即.
（3）对：，因此是单调递增的正项数列，
即对任意正整数成立；
对：，因此是单调递减数列，
且，时，即.
若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有：
，即，
，
为正整数，且，因此是2的正整数次幂，
仅当时，，此时，解得.
验证该解：四个数为，，，，
按从小到大排列为，相邻项的差不相等，无法构成等差数列.
其余正整数均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数.
17．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列 请说明理由.
【答案】(1)或
(2)，其中.
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题设条件可求且或，故可求数列各项；
（2）设等差数列的公差为，根据条件①可得，，结合②可求公差和首项，故可得通项；
（3）结合绝对值不等式的性质可得且，据此可得各项的性质，从而可判断不存在.
【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，故，
否则，这与为等比数列矛盾.
故，而，故，
故，而，故，即或，
故4阶好数列的各项为：或.
（2）设等差数列的公差为，
由，得，即，
因，则，从而，.
若，则为常数列且常数为0，这与矛盾.
当时，因，，则有，
所以，解得.
由得，则.
所以.
当时，同理可得，即.
由得，则，
所以.
综上，，其中.
（3）因为，故.
故，
结合绝对值不等式取等的条件可得.
故，
当时，
，
所以，
所以与不能同时成立，
所以数列不能为阶好数列.
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