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2026年湖南省九年级中考数学模拟练习卷（解析版）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等知识点，熟知相关运算法则是解本题的关键．
根据同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：A．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．
【详解】解：，
故选A．
如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，
点B坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，，
∴，相似比为2，
∵点B坐标为，
∴点E的坐标是．
故选D．
“学雷锋”活动月中，某班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”
三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图（用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】画树状图为：（用分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故选A．
如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，
向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．
若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小丽在处时距离地面的高度是，
故选：A．
如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，
若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式．
利用圆周角定理得到，，再利用弧长公式（n为圆心角的度数）求解即可．
【详解】解：连接，，作于点，连接，

∵，，
∴，，
∵，
∴点是的中点，
∴，
∴点在半径上，
∵，，
∴，，
∴的长为，
故选：B．
近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，
近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小
B．图中曲线是反比例函数的图象（其中一支）
C．当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度
D．对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质可以判断．
【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）为反比例函数关系，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
图中曲线是反比例函数的图象（其中一支），故B正确，不符合题意；
当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度，故C正确，不符合题意；
当焦距x为时，不存在近视度数y与它对应，故D错误，符合题意．
故选：D．
如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，
设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，
则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论．
【详解】解：矩形，
，
，
，，
．
，
．
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，关于的函数图象经过，
代入得，，
，
．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，
若∠1=35°，则∠2的度数为_____________
【答案】25°
【详解】如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．
∵GH//EF，
∴∠2=∠AEC=25°．
故答案为：25°
12．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 ．
【答案】140°/140度
【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案．
【详解】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数
故答案为：140°．
围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒中棋子的总个数是 个
【答案】
【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．
【详解】解：由题意：设棋子的总数为个
解得
故答案为：20．
14．分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：，即
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量
的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；
当它的最快移动速度时，其载重后总质量 ．
【答案】80
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，得．
∴
故答案为：80．
16 . 如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，
若，则的度数为___________．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接、，如图，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据圆周角定理得到，接着根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：连接、，如图，
四边形内接于，
，
，
，
、为的切线，
，，
，
，
．
故答案为：．
17．某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
【答案】12
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键．
根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可．
【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为，
款新能源电动汽车每千米的耗电量为，
∴图象的函数关系式为，
图象的函数关系式为，
当时，，
，
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多．
故答案为：12．
如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，
使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．
若，，则 ．
【答案】/
【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为，
则，
∵正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠可知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
设正方形边长为，则，
∵，
∴，
在中，，即
解得：或（不合题意舍去）
∴．
故答案为：．
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．计算：．
【答案】8
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
整数解为0，1，2，3
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．

证明：是的切线；
若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
某学校为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．
已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元
(2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
(3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可；
（3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得：
，解得：；
答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元；
（2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个；
∴，
解得：，
∴，
；
∴共有3种方案：
方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
（3）解：由题意，得：，
∴随着的增大而增大，
∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）；
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元．
为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，
从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数分组 画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
【分析数据】数据的平均数是，方差是．
【解决问题】回答下列问题：
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况．
【答案】(1)见解析
(2)120人
(3)见解析
【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，方差与平均数，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据每个年级参与调查的人数都为20人，可求出这一组的频数，再补全统计图与统计表即可；
（2）用200乘以样本中该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数占比即可得到答案；
（3）根据题意可得八年级的平均数大于七年级的平均数，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，这一组的频数为，
补全统计图与统计表如下：
次数分组 画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
T 2
（2）解：人，
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人；
（3）解；由题意得，七年级的平均数为，八年级的平均数为，
∵，
∴七年级学生在此段时间内参加公益活动次数比八年级学生的少．
城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的
相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明： 图中点，在同平面内， 房顶，吊顶和地面所在的直线都平行， 点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)点到地面的距离为；
(2)顶部线段的长为．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
25．综合应用
【问题发现】
如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，
过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：；
【类比探究】
如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，
两条垂线交于点F，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，
连接，．若，则当是直角三角形时，求的长．
【答案】
（1）证明过程见解析；
（2）的值为；
（3）的长为或．
【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论；
（2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值；
（3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，为的中点，
∴，，
∴，
由是直角三角形，可得，
∴，
∴，
∴，
设，则，
当在线段上时，，
∵，
∴，
∴
∴或（不合题意，舍去），
当在延长线上时，
，，，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
已知抛物线经过两点．
求此抛物线的解析式和直线的解析式；
如图①，动点E从O点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，
同时，动点F从A点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，
当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为t秒，
当t为何值时，为直角三角形？
如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，
用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线上方 的抛物线上移动，
动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？
如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)或
(3)的面积的最大值为，此时点的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意得，，，然后分当时，当时，两种情况讨论求解即可；
（3）过点作轴，垂足为，交与点，设点的坐标为，则，根据，得到，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
，
解得．
∴抛物线的解析式为．
将点和点的坐标代入得，，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由题意得：，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
当时，则是等腰直角三角形，，
∴，
∴，解得；
当时，同理可得
∴，解得．
综上所述可知当或时，是直角三角形．
（3）解：如图所示：过点作轴，垂足为，交与点．

设点的坐标为，则，
∴，
∵，
∴
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴．
∴的面积的最大值为，此时点的坐标为．
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2026年湖南省九年级中考数学模拟练习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，
点B坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
“学雷锋”活动月中，某班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”
三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，
向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．
若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
如图，将直角三角板的角顶点A放在上，边，分别交于点E，D，
若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，
近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小
B．图中曲线是反比例函数的图象（其中一支）
C．当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度
D．对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应
如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，
设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，
则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，
若∠1=35°，则∠2的度数为_____________
12．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 ．
围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒中棋子的总个数是 个
14．分式方程的解为 ．
15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量
的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；
当它的最快移动速度时，其载重后总质量 ．
16 . 如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，
若，则的度数为___________．
17．某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，
使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．
若，，则 ．
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．计算：．
20．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．

证明：是的切线；
若，求的半径．
某学校为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．
已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，
从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数分组 画记 频数
T 2
正一 6
正正 10
【分析数据】数据的平均数是，方差是．
【解决问题】回答下列问题：
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况．
城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的
相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明： 图中点，在同平面内， 房顶，吊顶和地面所在的直线都平行， 点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
求点到地面的距离；
求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，
）
25．综合应用
【问题发现】
如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，
过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：；
【类比探究】
如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，
两条垂线交于点F，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，
连接，．若，则当是直角三角形时，求的长．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
已知抛物线经过两点．
求此抛物线的解析式和直线的解析式；
如图①，动点E从O点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，
同时，动点F从A点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，
当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为t秒，
当t为何值时，为直角三角形？
如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，
用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线上方 的抛物线上移动，
动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？
如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

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