资源简介

平面直角坐标系中的动态问题
2026
春
季
班
近年中考试题 1
题型 1 对称问题将军饮马 4
1. 基础问题 4
2. 提高类型 6
题型 2 面积问题 8
1. 直接公式法： 8
2. 割补法 8
3. 分割法 10
4. 已知面积求坐标 12
5. 提升类型 (未完成) 13
题型 3 线段长度问题 17
1. 线段关系 17
2. 线段的最值 17
题型 4 三角形 22
1. 等腰三角形 22
2. 直角三角形 30
3. 相似三角形 34
题型 5 四边形 41
1. 平行四边形 41
2. 特殊的四边形 44
题型 6 角度 47
题型 7 定值 51
近年中考试题
(2023年成都中考题)
1. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=-x+ 5 k与 y轴交于点A ,与反比例函数 y= x 的图象的一
个交点为B a,4 ,过点B作AB的垂线 l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线 l上,且△ABC的面积为 5 ,求点C的坐标；
(3)P是直线 l上一点,连接PA ,以P为位似中心画△PDE ,使它与△PAB位似,相似比为m.若点D
,E恰好都落在反比例函数图象上,求点P的坐标及m的值.
2. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知抛物线 y= ax2+ c经过点P 4,-3 ,与 y轴交于点A 0,1 ,
直线 y= kx k≠0 与抛物线交于B ,C两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求点B的坐标；
(3)过点M 0,m 作 y轴的垂线,交直线AB于点D ,交直线AC于点 E.试探究:是否存在常数m ,
使得OD⊥OE始终成立 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
备用图
1
(2024年成都中考题)
3. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=-x+m与直线 y= 2x相交于点A 2,a ,与 x轴交于点
B b,0 , C y= k 点 在反比例函数 x k<0 图象上.
(1)求 a , b ,m的值；
(2)若O ,A ,B ,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和 k的值；
(3)过A ,C两点的直线与 x轴负半轴交于点D ,点E与点D关于 y轴对称.若有且只有一点C ,使得
△ABD与△ABE相似,求 k的值.
备用图
4. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 L : y= ax2- 2ax- 3a a>0 与 x轴交于A ,B两点 (点A
在点B的左侧) ,其顶点为C ,D是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段AB的长；
(2)当 a= 1时,若△ACD的面积与△ABD的面积相等,求 tan∠ABD的值；
(3)延长CD交 x轴于点E ,当AD=DE时,将△ADB沿DE方向平移得到△A EB .将抛物线L平移
得到抛物线L ,使得点A ,B 都落在抛物线L 上.试判断抛物线L 与L是否交于某个定点.若是,求出该定
点坐标;若不是,请说明理由.
备用图
2
(2025年成都中考题)
5. (本小题满分 10分)
k
如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=-x+ b与反比例函数 y= x 的图象的一个交点为A a,2
,与 x轴的交点为B 3,0 .
(1)求 k的值；
(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD=
90°，求直线AD的函数表达式；
(3)P为 x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A)，连接BE，若△BEP的面积为 2 ,
求点E的坐标.
y y
A A
O B x O B x
备用图
6. (本小题满分 12分)
如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y= ax2+ bx过点 -1,3 ，且对称轴为直线 x= 1，直线 y=
kx- k与抛物线交于A ,B两点,与 x轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 k= 1时,直线AB与 y轴交于点D ,与直线 x= 2交于点 E.若抛物线 y= x-h 2 - 1与线段
DE有公共点,求 h的取值范围;
(3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P ,Q两点,M ,N分别是AB ,PQ的中点.试探究:当 k变化
时,抛物线的对称轴上是否存在定点T ,使得TC总是平分∠MTN 若存在,求出点T的坐标;若不存在,
请说明理由.
y y
A A
O C x O C x
B B
备用图
3
题型1 对称问题将军饮马
1.基础问题
知识点：
1.点关于 x轴对称：(a , b) → (a ,-b)
2.点关于 y轴对称：(a , b) → (-a , b)
3.点关于原点对称：(a , b) → (-a ,-b)
例题1.已知A(2 , 1)，B(6 , 4) ,在 x轴上找一点P使得PA+PB的值最小，并求出P点的坐标.
y B
A
y B
P x
A
P x B
解：作B关于 x轴对称的点B ，则B (6 ,-4) ,连接AB 交 x轴于点P.
由将军饮马的知识可知PA+PB的最小值等于AB 的长度
由两点之间的距离公式得：AB = (6-2)2+(-4-1)2= 41
∴PA+PB的最小值为 41
直线AB'与 x轴的交点即为要求的P的坐标.
设AB'所在的直线方程为 y= kx+ b ,代入A(2 , 1) ,B (6 ,-4)的坐标得
5
1=2k+b k=- - = + ,解得 4 ,即AB'所在的直线方程为 y=-
5 x+ 7
4 6k b b= 7 4 22
∵P在 x轴上，∴ yP= 0
令 y=- 5 7 144 x+ 2 = 0 ,解得 x= 5
∴P( 145 , 0)
例题2.已知A(2 , 1)，B(6 ,-4) ,在 x轴上找一点P使得 |PA-PB|的值最大，并求出P点的坐标.
B y y
A A
x P x
B B
解：作B关于 x轴对称的点B (6 , 4)，连接AB 交 x轴于点P.
|PA-PB|的最大值等于AB 的长度
∵AB = (2-0)2+(1-0)2= 31
4
∴PA大PB的最小值为 3
设AB'所在的直线方程为 y= kx+ b ,代入A(2 , 1) ,B (6 , 4)的坐标得
k= 31=2k+b
= + ,解得 4 3 14 6k b b=- 1 ,即AB'所在的直线方程为 y= 4 x- 22
∵P在 x轴上，∴ yP= 0
令 y= 34 x-
1
2 = 0 ,解得 x=
2
3
∴P( 23 , 0)
变式1 1如图，一次函数 y= 2 x+
5 2
2 的图象与反比例函数 y=- x (x< 0)的图象相交于点A(-1，2)
点B(-4 1，2 )．在 x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标和△PAB的周长最小值．
y
A
B
x
变式2 15如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1= x+ 2的图象与反比例函数 y2= x 的图象相交于
第一、三象限内的A(3，5)，B(-5，-3)两点，与 x轴交于点C .在 y轴上找一点P，使PB-PC最大，求
PB-PC的最大值及点P的坐标；
变式3 1在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y= x24 - x+ 1的顶点坐标为 (2 , 0)，且经过点 (4 ,
1) 1，如图，直线 y= 4 x与抛物线交于A，B两点，直线 l为 y=-1.在 l上是否存在一点P，使PA+PB取得
最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4 如图，直线 y=-x+ 3分别与 x轴、y轴相交于A(3 , 0)、B(0 , 3)两点，
经过A，B两点的抛物线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴的另一交点为C(-1 , 0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，求△BCM周长的最小值及此时M的坐标；
5
2.提高类型
例题1.如图，直线 y=-x+ 3分别与 x轴、y轴相交于A(3 , 0)、B(0 , 3)两点，经过A，B两点的抛物
线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴的另一交点为 (-1 , 0). 若M，N为抛物线对称轴上的两点 (M在点N的上方)，
且MN= 1，当四边形BCNM的周长最小时，求M，N的坐标．
y
B
M
N
C A x
变式5 如图,已知抛物线的解析式为 y= x2+ 2x- 3与 x轴交于A -3,0 , B 1,0 ,与 y轴交于
C 0,-3 ,顶点坐标为 -1,-4 1 ,直线AC的解析式为 y=-x- 3 ,已知E 0, 2 ,点P是直线AC下方
的抛物线上的一动点,作PR⊥AC于点R ,当PR最大时,有一条长为 5的线段MN (点M在点N的左
侧)在直线BE上移动,首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP ,求出四边形AMNP周长最小时
点N的坐标.
6
题型2 面积问题
1.直接公式法：
当三角形的一边平行于坐标轴 ( 1或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S= 2 AB h。
如下图：
例题1.如图，平面直角坐标系中△ABC的面积是
例题2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)，则△ABC的面积为
．
变式6 80如图，已知一次函数 y=-2x+ 12与 x轴交于点A，与 y轴交于点B，与反比例函数 y=- x
交于C，E两点，过点C作CD⊥ x轴于点D，求△CDE的面积．
2.割补法
如下图
7
C
A
D B E
S△ABC=S四边形ADEC-S△ADB-S△BEC
例题1.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，三角形ABC的三个顶点恰好是正
方形网格的格点．
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积．
4
例题2.如图，一次函数 y=-2x+ 6与反比例函数 y= x (x> 0)的图象交于A(1 , 4)，B(2，2)两点，
与坐标轴分别交于M，N两点．求△AOB的面积．
变式4 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为
．
变式5 2如图，已知反比例函数 y= x (k> 0)的图象和一次函数 y=-x+ 3的图象都过点P(1，2)，过
点P作 y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点.设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过点
M作 x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．
8
3.分割法
当三角形的边中没有平行坐标轴的边，三角形的面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半，如下图：
S 1△ABC= 2 ah
(1)A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
(2)过点C作 x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
公式：S= 水平宽×铅垂高2 =
1
2 (xB- xA) (yC- yD)．
S△ABC=S
1
△ABD+S△BCD= 2 BD(AE+CF) =
1
2 (xB- xD)·(yC- yA)　
S 1△ABC= 2 (yD- yB)·(xC- xA)
例题1.引例：在平面直角坐标系中，已知A(1，1)、B(7，3)、C(4，7)，求△ABC的面积．
y C y
C
B B
A A D
x x
解：过点C作CD垂直 x轴，交AB于点D ,则 xC= xd= 4
设AB所在的直线方程为 y= kx+ b ,代入A(1 , 1) ,B(7 , 3)的坐标，得
1
1=k+b k= 3
= + ,解得 2 ,即AB'所在的直线方程为 y=
1 x+ 2
3 7k b b= 3 33
令 x= 4 , y= 13 × 4+
2
3 = 2 ,解得 yD= 2 ,∴D(4 , 2)
则S 1△ABC= 2 (xB- xA) (yC- yD) =
1
2 (7- 1) × (7- 2) = 10
例题2.已知抛物线 y= ax2- 2ax+ a- 4与 x轴交于A、B两点 (A在B的左侧)，交 y轴于点C(0，
-3)，M是抛物线的顶点．连接BC，BM，CM，求△BCM的面积；
9
解：将点C(0，-3)代入抛物线 y= ax2- 2ax+ a- 4，解得 a= 1，
∴抛物线解析式为 y= x2- 2x- 3，
∴ x =--2M 2 = 1，yM= 1- 2- 3=-4
∴点M的坐标为 (1，-4)．
令 x2- 2x- 3= 0，解得 x1=-1，x2= 3，
∵点A在点B的左侧，∴点B在坐标为 (3，0)．
如解图④，过点M作ME⊥ y轴于点E，过点B作BF⊥EM于点F.
由题意可知CE= 1，EM= 1，MF= 2，BF= 4，
∴S△BCM=S
1 1 1
四边形CEFB-S△CEM-S△BMF= 2 × 3× (1+ 4) - 2 × 1× 1- 2 × 2× 4= 3.
4.已知面积求坐标
例题1.如图，一次函数 y1=-2x+ 2 4的图象分别与 x轴、y轴交于点C，D，与反比例函数 y2=- x (m
≠ 0)的图象交于A(-1，4)，B(2，-2)两点．若 x轴上存在一点P，使△ABP的面积为 6，求点P的坐标．
变式6 4如图，一次函数 y=-2x+ 6与反比例函数 y= x (x> 0)的图象交于A(1，4)，B(2，2)两点，
与 x轴相交于N点．在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP= 3S△AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存
在，请说明理由．
变式7 如图，已知抛物线 L：y= x2- 2x- 3与 x轴交于A、B两点，与 y轴交于C点，连接AC、BC.
在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC= 2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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5.提升类型 (未完成)
1.化面积比为底边比：S△ABD：S△ACD=BD：CD．
推广：对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC交AD于点 E，则 S△ABD：S△ACD=BM：CN
=BE：CE．
例题1.已知抛物线 y=-x2- 2x+ 3经过点A(1，0)和点B(-3，0)，与 y轴交于点C，点P为第二象
限内抛物线上的动点．如图，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD= 1 : 2时，请求出点D的坐标．
2.在坐标系中，若三角形底或高与坐标轴不平行，可构造相似，将底或高之比转化为与坐标轴平行线
段的比值．
“A”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：CD=AB：CM．
“8”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：CD=AB：CM．
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垂线型“8”字：S△ABD：S△ACD=BD：CD=BM：CN．
例题2.如图，抛物线 y=-x2+ 2x+ c与 x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右
侧)，与 y轴交于点 C，OB=OC= 3．如图，连接 BC，点 D是直线 BC上方抛物线上的点，连接 OD、
CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF= 3 : 2时，求点D的坐标．
例题3.如图，已知抛物线L：y= x2- 2x- 3与 x轴交于A、B两点，与 y轴交于C点，连接AC、BC.
(1)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由；
(2)在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC= 2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明
理由．
例题4.在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2- 2x- 3与 x轴交于点A，B，与 y轴交于点C，对称轴交
抛物线于点D，交 x轴于点 E；如图，点 F是线段DE上的动点 (点 F与点D不重合)，连接AF，作 FG⊥
AF，交第四象限内的抛物线于点G，作GH⊥DE于点H，若S△AEF= 4S△FHG，求点F的坐标．
12
　　　　　　
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题型3 线段长度问题
1.线段关系
例题1.一次函数 y=- 32 x+ 9 ,如图，该一次函数的图象与反比例函数 y=
m
x (m> 0)的图象相交于
点C(x1，y1)，D(x2，y2)，与 y轴交于点E，且CD=CE，求m的值．
2.线段的最值
例题1. 8如图，直线 y= 2x+ 6与反比例函数 y= x 的图像交于点A 1,8 ，与 x轴交于点B，平行于 x
轴的直线 y= n(0< n< 6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM．直线 y= n沿 y轴方
向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

变式8 1 5如图,直线 y= x+ 2与抛物线 y= 2x2- 8x+ 6相交于A 2 , 2 和B(4
, 6) ,点P是直线AB上的动点,设点P的横坐标为 n ,过点P作PC⊥ x轴,交抛物
线于点C ,交 x轴于点M .当点P在线段AB上运动时 (点P不与点A ,B重合) ,是
否存在这样的点P ,使线段PC的长有最大值 若存在,求出这个最大值;若不存在,
请说明理由;
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变式9 如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y= x+ 3交 x轴于点A，交 y轴于点B，过A，B两点的
抛物线 y=-x2- 2x+ 3交 x轴于另一点C．点P是直线AB上方的抛物线上一点 (不与点A，B重合)，
过点P作 x轴的垂线交 x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G.求出△PFG周长的最大值；
y
P B
G
F
A C
H x
例题2.如图,抛物线 y= 4x2- 16x+ 12与 x轴交于A 1,0 、B 3,0 两点,与 y轴交于点C .若点D
为直线BC下方抛物线上一动点,当△BCD的面积最大时,求点D的坐标.
y
C
A B x
D
变式10 如图，已知抛物线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与 y轴交于C(0，3)
点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为 t.，连接BC，PB，PC，设△PBC的面
积为S.求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
y
C P
A B
x
变式11 , y= 3如图 直线 4 x+ 3.分别与 x轴、y轴交于点A -4,0 、B 0,3 ,抛物线 y=-x
2+ 2x+
1与 y轴交于点C .点P x,y 是抛物线 y=-x2+ 2x+ 1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为 d ,
求 d关于 x的函数解析式,并求 d取最小值时点P的坐标;
15
(2)若点 E在抛物线 y=-x2+ 2x+ 1的对称轴上移动,点 F在直线AB上移动,求CE+EF的最小
值.
②
变式12 如图，在平面直角坐标系中，已知点 B的坐标为 (-1，0)，且OA=OC= 4OB，抛物线 y=
ax2+ bx+ c(a≠ 0)图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时
点P的坐标及PD的最大值．
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题型4 三角形
1.等腰三角形
方法一 几何法
如图已知点A(x , y) ,在 x轴上找一点P，使得三角形OAB为等腰三角形，求P点的坐标.
(下面以A(4 , 3)为例)
y A
O x
方法一几何法 (分两类①OA为腰②OA为底边)
①OA为腰
1、以O为圆心OA的长为半径做圆，交 x轴与P1和P2
y 解：∵A(4 , 3)
∴OA= 32+42A = 5
∵P1和P2在圆上
∴OP1和P2的长为 5
P1 O P2x ∴P1(-5 , 0) ,P2(5 , 0)
2、以A为圆心OA的长为半径做圆，交 x轴与P3和原点 (舍去)
y 解：∵P3在圆上,∴OP3=OA
A 过点A作AC⊥ x轴，则C(4 , 0)
y A
O P3 x
O C P3 x
∵OP3=OA ,∴C为OP3的中点
∴P3(8 , 0)
②OA为底边
3、作OA的垂直平分线，交 x轴于点P4 解：连接AP4 ,并过A点作AB垂直 x轴与点B
y y
A
A
O P4 B x
O P4 x 设OP4= x ,则AP4= x ,BP4= 4- x ,AB= 3
在RtΔABP4中，由勾股定理得AP24 =BP24 +AB2 ,
即 x2= (4- x)2+ 32 , x= 25解得： 8 ,∴P (
25
4 8 , 0)
17
y
A
P1 P4 P2 P3 x
方法二 代数法
两点之间的距离公式
已知A(x1 , y1)、B(x2 , y2) ,则线段AB＝ (x1-x )22 +(y1-y 22)
例、已知点P(8 , 6) ,在 y轴上找一点M，使得△POM是等腰三角形.求出所有的M的坐标．
解：设M (0 ,m).
y
则OP= 10 ,OM= |m| ,PM= (8-0)2+(6-m)2 M
P(8,6)
①当OP＝OM时，即 10= |m|,
解得：m= 10或m=-10 ,所以P1(0 , 10) ,P2(0 ,-10) O x
②当OP=PM时，10= (8-0)2+(6-m)2,
解得：m= 0(舍)或m= 12 ,所以P3(0 , 12)
③当PM=OM时，|m| = (8-0)2+(6-m)2,
解得m= 25 ,所以P (0 , 256 4 3 )
综上所述：P1(0 , 10) ,P2(0 ,-10) ,P3(0 , 12) ,P4(0 , 256 )
练习题：如图已知A(4 , 4) ,B(1 , 0)，在 x轴上找一点C，使得ΔABC为等腰三角形
几何法：
y y y
A A A
O B x O B x O B x
代数法：
18
1. xOy y= 1 x y= 4例题 如图，在平面直角坐标系 中，直线 2 与双曲线 x 交于A(2 2， 2 )，B两点．
已知P是 x轴上一点，是否存在点P，使得△BOP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标？若不存在，
请说明理由．
变式13 1如图，抛物线 y= 23 x -
1
3 x- 4与 x轴交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与 y轴交于点
C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥ x轴，垂
足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交 x轴于点E，交BC于点F.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角
形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
变式14 3 9如图，抛物线 y=- 4 x
2+ 4 x+ 3与 x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与 y轴交于点C，点
P是第一象限内抛物线上一点，直线PD⊥BC于点D，交 x轴于点E，交 y轴于点F.
(1)当OE=DE时，求点E的坐标；
(2)是否存在这样的点P，使得以点C，F，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点
P的横坐标；若不存在，请说明理由．
19
变式15 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=- 1 x2+ 13 3 x+ 4与 x轴交于点A和点B，与 y轴
交于点C，OB=OC= 4，点D(1，4)在抛物线上，连接BD，CD，点E是抛物线的对称轴上一点．
(1)连接DE，当DE平分∠CDB时，求点E的坐标；
(2)点F是平面直角坐标系内一点，当点 E在 x轴上方时，是否存在这样的点 E，使以点B，C，E，F
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第 1题图
变式16 1 1如图，抛物线 y= 24 x + 2 x- 2与 x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C(0，-2)，点A的坐
标是 (2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥ x轴于点D，交直线BC于点E.若点P在第二象
限内，，若M为直线BC上一点，在 x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20
2.直角三角形
已知A(4 , 3)在 x轴上找一点P使得△OPA为直角三角形
y A
O x
y
A ①当P为直角时
过A作AP1⊥ x轴，交 x轴于P1 ,此时P(4 , 0)
O P1 x
y ②当A为直角时，以A为垂足作OA的垂线，交 x轴于P .A 2
设P(m , 0)
在Rt△AP2O中，由勾股定理得：AP22 +OA2=OP22
25
P 解得：P2( , 0)O 2 x 3
练习题：如图已知A(4 , 4) ,B(1 , 0)，在 x轴上找一点C，使得ΔABC为直角三角形。
y
A
O B x
例题1.如图，正比例函数 y= 2x 2的图象与反比例函数 y= x 的图象交于A(1 , 2)、B(-1 ,-2)两点，
过点A作AC垂直 x轴于点C，连结BC． x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求
出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21
变式17 3 15如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x24 - 4 x+ 3与 x轴相交于A、B两点，与 y轴相
交于点C 3，直线 y=- 4 x+ 3经过B、C两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC= 5.
在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式18 1如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x22 - 2x- 6与 x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两
点，与 y轴交于点C，点D(2，-8)是抛物线的顶点，直线AD交 y轴于点E.如图②，将△AOE沿直线AD
平移得到△FGH .若点P是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点P，使以点C，G，H，P为顶点的
四边形是矩形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
变式19 如图，抛物线 y= 12 x
2+ 32 x+ 2与 x轴交于点A(-1，0)，点B(4，0)，与 y轴交于点C，点D
与点C关于 x轴对称，点P是 x轴上一个动点．设点P的坐标为 (m，0)，过点P作 x轴的垂线 l交抛物线
于点Q.在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22
3.相似三角形
1. 试题类型：一般都是动点与定点构成的三角形与某一固定三角形相似，这就需要按角 (或边)的对
应关系进行分类．
2. 问题：如图①，△ABC为直角三角形，在直线CB上是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形
与△AOB相似．
图① 图② 图③
3. 思维剖析：
注：对于上述情形 (一组对角相等)也可通过找另一组等角得到两三角形相似，分类方法相类似．
4. 坐标求法：通过相似关系 (一角相等且角的两边对应成比例)，得到相似比，建立方程，求得坐标．
例题1.如图，抛物线 y=-x2+ 4与 x轴交于A，B两点，与 y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动
点且在第一象限，过点P作 x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E.是否存在以点P，O，D为顶点的三
角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
y
C
P
A B
O D x
23
例题2.如图，已知抛物线 y=-x2+ 2x，顶点为A(1，1)，且与直线 y= x- 2交于B，C两点．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若点N为 x轴上的一个动点，过点N作MN⊥ x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N
为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+ bx+ c与 x轴交于点A，点B(3，0)，与 y轴交于
点C，直线 y= x+ 1与抛物线交于点D(2，m)，点E是抛物线的顶点，连接AE，DE.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在点 F(与点A不重合)，使△DEF与△DEA全等？若存在，请求出
点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是直线AD上一点，是否存在这样的点P，使△DEP∽△DAE？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
第 1题图 备用图
变式2 3如图①,经过原点O的抛物线 y= 2x2- 3x与 x轴交于另一点A 2 ,0 ,在第一象限内与直
线 y= x交于点B 2,2 .
y
B
O A x
24
如图,已知C 1,-1 ，若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO ,是否存在点P ,使得△POC∽
△MOB 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y
N B
M
O A x
1
例题3.如图，在直角坐标系中，直线 y=- 2 x+ 3与 x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为 x= 1的
抛物线过B, C两点，且交 x轴于另一点A，连接AC.
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，
求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25
题型5 四边形
1.平行四边形
性质 1：对应边平行且相等；性质 2：对角线互相平分．
x
性质 1：对边平行且相等可转化为： A-xB=xD-xC - = - ，可以理解为点 B移动到点A，点 C移动到点yA yB yD yC
D，移动路径完全相同．
x +x
A C = xB+xD2 2
性质 2：对角线互相平分转化为： y +y y +y ，可以理解为AC的中点也是BD的中点． A C = B D 2 2
xA+xC=xB+xD即当AC和BD为对角线时： yA+yC=yB+yD
若坐标系中的 4个点A、B、C、D满足“xA+ xC= xB+ xD”，则四边形ABCD是否一定为平行四边
形？答案是否定的，反例如下：
例题1.如图，已知A(1，2)、B(5，3)、C(3，5)，在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点
的四边形是平行四边形．
26
例题2.如图，已知A(1，1)、B(3，2)，点C在 x轴上，点D在 y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形
是平行四边形，求C、D坐标．
例题3.如图, 12反比例函数 y= x 过点A(3 , 4) ,直线AC与 x轴交于点C(6 , 0) ,过点C作 x轴的垂
线BC交反比例函数图象于点B(6 , 2).
在平面内有点D ,使得以A ,B ,C ,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D
点的坐标.
例题4.如图，已知抛物线 y= x2- 2x- 3 a≠0 经过点A(3，0)，B(-1，0)，C(0，-3)．若点Q在 x
轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
27
变式3 1如图，抛物线 y=- 22 x - x+ 4与 x轴交于点A(-4，0)，B(2，0)，与 y轴交于点C(0，4)，线
段BC的中垂线与对称轴 l 交于点D，与 x轴交于点F，与BC交于点E.对称轴 l与 x轴交于点H.
(1)求点D的坐标；
(2)点P为 x轴上一点，点P的坐标为 13 ，0 ，点M为 x轴上方抛物线上的点，在对称轴 l上是否存
在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出N点坐标；若不存在，请
说明理由．
2.特殊的四边形
例题1. 1 1如图,抛物线 y= 24 x - 2 x- 2.的对称轴是直线 x= 1 ,与 x轴交于A、B两点,与 y轴交于
点 C ,点A的坐标为 -2,0 ,点 P为抛物线上的一个动点,过点 P作 PD⊥ x轴于点D 5,0 ,交直线
BC于点E.
y
P
E
B
A D x
C
若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N ,使得以点
B、D、M、N为顶点的四边形是菱形 若存在,请写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
28
题型6 角度
例题1.在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线 y= ax2(a> 0)上两个不同的动点，其中A在第二
象限，B在第一象限．
(1)如图①所示，当直线AB与 x轴平行，∠AOB= 90°，且AB= 2时，求此抛物线的解析式和A，B两
点的横坐标的乘积；
(2)如图②所示，在 (1)所求得的抛物线上，当直线AB与 x轴不平行，∠AOB仍为 90°时，A，B两点
的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)在 (2)的条件下，若直线 y=-2x- 2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交 y轴于点D，且
∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
例题1. 在平面直角坐标系中，抛物线 y= ax2+ bx+ 3(a≠ 0)与 x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，交 y
轴于点C，过点A的直线交 y轴于点D，交抛物线于点E(4，3)，点P是直线AE下方抛物线上一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接PD，PE，若∠EDP= 45°，求PE的长；
(3)如图②，连接PD，PE，分别以点D和点E为圆心，以PE和PD长为半径作弧，两弧在直线DE的
上方交于点F，连接DF，EF，求四边形PDFE面积的最大值．
第 1题图
29
题型7 定值
例题1. 4如图，动点M在函数 y1= x (x> 0)的图像上，过点M分别作 x
1
轴和 y平行线，交函数 y2= x
(x> 0)的图像于点B、C，连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
例题2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2- 2x+ 3交 x轴于A、B两点 (A在B的左侧)，与
y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(-1，4)．
问：过点D作直线DE∥ y轴，交 x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点 (点P不与B、
D两点重合)，PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出
该定值；若不是，请说明理由．
例题3.在平面直角坐标系 xOy中，已知A(0，2)，动点P在 y= 33 x的图象上运动 (不与O重合)，连
接AP.过点P作PQ⊥AP，交 x轴于点Q，连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围；
(2)试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由；
(3)当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
30
例题4. 如图，抛物线 y= y= x2+ 2x- 3交 x轴于A、B两点，其中点A坐标为 (1，0)，与 y轴交于点
C(0，-3)．
(1)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB= 2∠ACO.求点P的坐标；
(2)如图②，点Q为 x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与 x轴的交点，直线AQ、BQ
分别交抛物线的对称轴于点M、N .请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请
说明理由．
第 1题图
31
参考答案
1. 答案：(1)点A的坐标为 (0 , 5) , 4反比例函数的表达式为 y= x ;
(2)点C的坐标为 (6 , 9)或 (-4,-1) ;
(3) 1 11点P的坐标为 - 4 , 4 ;m的值为 3.
2. (1)抛物线的函数表达式为 y=- 1 x24 + 1 ;
(2)点B的坐标为 (-4,-3)或 -2-2 5 ,-5-2 5 或 -2+2 5 ,-5+2 5 ；
(3) m 2 2当 的值为 或 3 时,OD⊥OE始终成立.
3. 1 a= 4 ,m= 6 , b= 6 ;
(2)点C的坐标为 (-4 , 4)或 4,-4 , k=-16 ;
(3)k=-1.
4. 1 AB= 4 ;
(2)tan∠ABD= 103 ；
(3)抛物线L 与L交于定点 (3 , 0).
5. (1)k= 2；(2)直线AD 1的函数表达式为 y= 2 x+
3
2 ；(3)点E的坐标为 -2,-1
2
或 3 ,3 .
6. (1)抛物线的函数表达式为 y= x2- 2x；
(2)h 1的取值范围是- 4 ≤ h≤ 2+ 2；
(3) 1抛物线的对称轴上存在T 1,- 2 ，使得TC总是平分∠MTN .
变式1 解：作B点关于 x轴的对称点C，连接AC交 x轴于P，则PA+PB=AC，此时PA+PB最小，即
△PAB的周长最小，
∵点C -4，- 12
1
和B关于 x轴对称，∴点C的坐标为 -4，- 2 ， y
设直线AC的表达式为 y= ax+ c， A
-a+c=2
a= 5 B
∴ 6 P 1 ，解得：-4a+c=- ， x2 c= 17 C6
∴直线AC 5 17的表达式为：y= 6 x+ 6 ，
y= 0 x=- 17 17当 时，则 5 ，∴P点坐标为 - 5 ，0 ．
变式2 解：在 y1= x+ 2中，当 y1= 0时，x=-2，
∴点C坐标为 (-2，0).令 x= 0，则 y1= 2，
∴点D坐标为 (0，2).连接PB，PC，
当B，C和P三点不共线时，由三角形三边关系可知PB-PC当B，C和P三点共线时，PB-PC=BC，
∴PB-PC≤BC.由勾股定理可知，BC= (-5+2)2+(-3-0)2= 3 2 .
∴当点P与点D重合，即点P为 (0，2)时，PB-PC取最大值，最大值为 3 2
32
y=
1
变式3 AB 4
x， x1=1， x2=4，解：联立直线 与抛物线解析式成方程组，得 1 解得 y = 1 y= x2-x+1， 1 ， 4 y2=1，4
∴点A的坐标为 1 1，4 ，点B的坐标为 (4 , 1)．如答图，
作点B关于直线 l的对称点B′，连接AB′交直线 l于点P，此时PA+PB取得最
小值．
∵点B(4 , 1)，直线 l为 y=-1，∴点B′的坐标为 (4，-3)．
设直线AB′的解析式为 y= kx+ b(k≠ 0)，
1 k=- 131 k+b= ， 12 ，将A 1，4 ，B′ (4，-3)分别代入 y= kx+ b，得 4 解得4k+b=-3， b= 43 ，
∴直线AB′的解析式为 y=- 1312 x+
4
3 . 当 y=-1时，有-
13
12 x+
4
3 =-1，
28 28
解得 x= 13 ，∴点P的坐标为 13 ，-1 ．
变式4 解:易得抛物线的对称轴为直线 x= 1.
由抛物线的对称轴可知A，C两点关于直线 x= 1对称．
连接AB，则直线AB与直线 x= 1的交点为M .此时，△BCM周长最小，
即C△BCM=BC+MC+BM=BC+AB.
由OC= 1，OB= 3，OA= 3，由勾股定理可得BC= 10，AB= 3 2，
∴△BCM周长的最小值为 10+ 3 2，
将 x= 1代入 y=-x+ 3，得 y=-1+ 3= 2，即M的坐标为 (1 , 2)．
例题1.解:在 y轴上取点K，使BK=MN= 1，可得点K的坐标为 (0 , 2)，
连接AK 2，可求得直线AK的解析式为 y=- 3 x+ 2，
x= 1 y=- 2 x+ 2 y=- 2将 代入 3 ，得 3 × 1+ 2=
4
3 ，
∴点N的坐标为 1 4，3 ，点M的坐标为 1
7
，3 ．
变式5 解：过点P作PQ y轴交AC于点Q.设P m,m2+2m-3 ,则Q m,-m-3 .
S = 1 3 PQ= 1
2
3 -m-3-m2-2m+3 =- 3 m+ 3 + 27△APC 2 2 2 2 8
∴ m=- 3当 2 时, △ACP
3
的面积最大,PR最大,此时P - 2 ,-
15
4
, P BE 5 G - 7 ,- 11如图 将点 沿 方向平移 个单位长度得到 2 4 ,作点A关于直线BE的对称点K ,
连接GK交BE于点M ,此时四边形APNM的最长最小.
1
易得直线BE的解析式为 y=- 2 x+
1
2 ,
直线AK的解析式为 y= 2x+ 6 , J - 11 85 , 5 .
∵AJ= JK ,∴K - 7 , 165 5 ,∴直线KG
17 43
的解析式为 y= 6 x+ 6 .
y= 17 x+ 43 6 6 , 3 1
联立 解得M -2, ,∴N 0, .
1 1 2 2 y=- 2 x+ 2 ,
将点M 1向下平移 1个单位长度,向右平移 2个单位长度,得N 0, 2
例题1. 4
33
例题2. 7.5
y=-2x+12
变式6 解：由一次函数 y=-2x+ 12可得A(6，0)，联立 80 ，解得
x=10 x=-4
=- 或 ，y x y=-8 y=20
∴C(-4，20)，E(10，-8)，
∴S 1 1△CDE=S△ACD+S△ADE = 2 AD·|yC- yE| = 2 × 10× (20+ 8) = 140.
例题1.解：(1)A(3，3)，B(-2，-2)，C(4，-3)；
(2)如图，分别过点 A，B，C作坐标轴的平行线，交点分别为 D，E，F .S三角形ABC = S正方形DECF -
S三角形BEC-S三角形ADB-S
1 1 1 35
三角形AFC= 6× 6- 2 × 6× 1- 2 × 5× 5- 2 × 6× 1= 2 .
例题2.解：∵直线 y=-2x+ 6与 x轴的交点为N，∴点N的坐标为 (3 , 0)，
∴S =S -S = 1 × 3× 4- 1△AOB △AON △BON 2 2 × 3× 2= 3.　
另解：S△AOB=S△MON-S△BON-S△AOM
变式4 11
B BD⊥ x D S =S +S = 1 × (4+ 2) × 3+ 1解析：过点 作 轴于 ，则 四边形ABCO 梯形OCBD 三角形ABD 2 2 × 1× 4=
9+ 2= 11.
y= 2 x =1 x =2
变式5 解：联立反比例函数和一次函数得 1 2 x ，解得 ， ，∴M (2，1)．y=-x+3 y1=2 y2=1
如解图，过点P作PD⊥ x轴于点D.
∴PD=OA= 2，OB= 2，BM= 1，OD=AP= 1，BD=OB-OD= 2- 1= 1.
∴ S五边形OAPMB= S
1
四边形OAPD+ S四边形PDBM =AP·OA+ 2 BD·(PD+BM ) = 1× 2+
1
2 × 1× (2+ 1) = 2
+ 32 =
7
2 .
例题1.解：∵点P在 x轴上，设点P的坐标为 (a，0)，∵一次函数解析式为 y1=-2x+ 2，令 y= 0，则 x=
1，∴直线AB与 x轴交于点 (1，0)，由△ABP 1 1的面积为 6，可得：2 (yA- yB) |a- 1| = 6，即 2 × 6 |a
- 1| = 6，解得：a=-1或 a= 3，∴点P的坐标为 (-1，0)或 (3，0)．
变式6 解：令 y= 0，得 y=-2x+ 6= 0，解得 x= 3，∴N (3，0)，∴ON= 3，设P(m，-2m+ 6)，∵ S△ONP=
3S 1△AOB，∴ 2 × 3| -2m+ 6| = 3× 3，解得m= 0或 6，∴P(0，6)或 (6，-6)．
变式7 解：存在．设点N坐标为 (n，n2- 2n- 3)，
∵AB=OA+OB= 1+ 3= 4，OC= 3，
34
∴S = 1 OC·|n| = 1△OCN 2 2 × 3× |n|，S
1
△ABC= 2 AB·OC=
1
2 × 4× 3，
∵S 1△ABC= 2S△OCN，∴ 2 × 4× 3= 2×
1
2 × 3× |n|，∴ |n| = 2，∴n=±2，
当n= 2时，n2- 2n- 3=-3，∴N (2，-3)，
当n=-2时，n2- 2n- 3= 5，∴N (-2，5)，
综上所述，符合条件的点N的坐标为 (2，-3)或 (-2，5)．
例题1.答案：(-1 , 2)
例题2.答案：(1 , 4)或 (2 , 3)
例题3.【思维教练】要使△ACM周长最小，已知边AC一定，即要使AM+CM的值最小，即可转化为同侧
两点到定直线上一动点的和的最小值问题．易知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，则直线BC
与抛物线的对称轴的交点即为点M，联立解析式求交点坐标即可．
【思维教练】要求点N的坐标，可根据点N是抛物线 L上的一点，设出点N的坐标，进而表示出 S△OCN，
而△ABC的面积易求得，再根据S△ABC= 2S△OCN列等量关系式，即可得解．
证明：存在．由题意知，抛物线的对称轴为直线 x= 1，如解图，则直线BC与直线 x= 1的交点即为所
求作的点M，
∵点A与点B关于直线 x= 1对称，
∴AM=MB，∴CM+AM=CM+MB=BC，
∴△ACM的周长为AC+BC，
在直线 x= 1上任取一点M ′，连接CM ′、BM ′、AM ′，
∵AM ′ =M ′B，
∴CM ′ +AM ′ =CM ′ +M ′B≥BC，
∴AC+CM ′ +AM ′ ≥AC+BC，
∴当点M在直线BC与直线 x= 1的交点时，△ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为 y= kx+ d，
3k+d=0 k=1将B、C的坐标分别代入，得 d=- ，解得 ，3 d=-3
∴直线BC的解析式为 y= x- 3，
∴当 x= 1时，y= 1- 3=-2，
∴M (1，-2)；
解：存在．设点N坐标为 (n，n2- 2n- 3)，
∵AB=OA+OB= 1+ 3= 4，OC= 3，
∴S 1△OCN= 2 OC·|n| =
1
2 × 3× |n| S
1 1
， △ABC= 2 AB·OC= 2 × 4× 3，
∵S△ABC= 2S△OCN，
∴ 12 × 4× 3= 2×
1
2 × 3× |n|，
∴ |n| = 2，∴n=±2，
当n= 2时，n2- 2n- 3=-3，∴N (2，-3)，
当n=-2时，n2- 2n- 3= 5，∴N (-2，5)，
综上所述，符合条件的点N的坐标为 (2，-3)或 (-2，5)．
例题4.①△AEF∽△FHG；
【解法提示】∵ FG⊥ AF，∴ ∠AFG = ∠AFE + ∠GFH = 90 °，∵ GH⊥ DE，∴ ∠GHF = 90 °，∴
∠GFH+∠FGH= 90°，∴∠AFE=∠FGH，∵∠AEF=∠FHG= 90°，∴△AEF∽△FHG.
35
② 2；
S 2
【解法提示】∵△AEF∽△FHG ∴ △， AEFS =△
AE AE = EFFH ，FH ，∵ S
AE EF
HG △AEF
= 4S△FHG，∴ =
FHG FH HG
= 2.
③m- 1；
【解法提示】∵A(-1，0)，对称轴是直线 x= 1，∴AE= 2，∴FH= 1，设点F的坐标为 (1，-m)，则EF
=m，∴EH=EF-FH=m- 1.
1
④ 2 m
1
；⑤ 2 m+1，1-m ；⑥ (1，2- 2 6 )；
【解法提示】∵ EF = m，∴ HG = 1 12 EF = 2 m，∵ F ( 1，-m )，FH = 1，∴ 点 G 的坐标为
2
12 m+1，1-m
1
，把 2 m+1，1-m
1 1
代入 y= x2- 2x- 3得， 2 m+1 - 2× 2 m+1 - 3= 1-
m, 解得m1=-2+ 2 6，m2=-2- 2 6 (舍去)，∴点F的坐标为 (1，2- 2 6 ).
例题1.解：如解图，分别过点C、D作CG⊥ y轴于点G，DH⊥ y轴于点H.
设点C坐标为 (a，b)，由已知得 ab=m.由 (1)得点E坐标为 (0，9)，
则GE= 9- b.
∵GC∥HD，CD=CE，
∴HD= 2a，EH= 2(9- b)，∴OH= 9- 2(9- b) = 2b- 9，
∴点D坐标为 (2a，2b- 9)，∴ 2a·(2b- 9) =m，整理得m= 6a.
∵ ab=m，∴ b= 6.则点D坐标为 (2a，3)．
∵ 3点D在函数 y=- 2 x+ 9图象上，∴ a= 2，∴m= ab= 12.
8
例题1.解：由题意，点M，N的坐标为M n ，n ，N
n-6
2 ，n ，
∵ 08 - n-6n 2 ，
∴S = 1△BMN 2 MN × y
1 8 n-6 1
2
25
M = 2 × n - 2 ×n=- 4 n-3 + 4 ，
∵- 14 < 0，∴n= 3时，△BMN
25
的面积最大，最大值为 4 ．
变式8 解：(1)存在. 1易知点P的坐标为 (n ,n+ 2) ( 2 2- 8n+ 6),
∴PC= (n+ 2) - (2n2- 8n+ 6) =-2n2+ 9n- 4=-2(n- 94 )
2+ 498 .
∵-2< 0 ,∴当n= 9 494 时,线段PC的长取得最大值 8 .
变式9 解：由题意可知△PFG是等腰直角三角形．△PFG周长= ( 2+ 1)PF
设P(m，-m2- 2m+ 3)，则F(m, m+ 3)．
∴PF=-m2- 2m+ 3-m- 3=-m2- 3m.
2
∴△PFG周长为-m2- 3m+ 2 (-m2- 3m) =- ( 2+ 1) m+ 3 +
9( 2+1)
2 4 .
∴ =- 3 △ 9( 2+1)当m 2 时， PFG周长最大，最大值为 4 ；
例题2.解：过点D作DH OC交BC于点H.设D m,4m2-16m+12 .易得直线BC的解析式为 y=
-4x+ 12 ,则H m,-4m+12 ,DH=-4m2+ 12m,
2
∴S 1 2 3 27△DBC=S△DHC+S△DHB= 2 -4m +12m 3=-6 m- 2 + 2 .
∵-6< 0 ,∴ m= 3当 2 时, △DBC
3
的面积最大,此时D 2 ,-3 .
36
变式10 解：在图 2中，过点P作PF∥ y轴，交BC于点F.设直线BC的解析式为 y=mx+n(m≠ 0)．
将B(3，0)，C( ) = + 3m+n=0， m=-1，0，3 代入 y mx n，得 = 解得 = ∴直线BC的解析式为 y=-x+n 3. n 3.
3.
y
∵P(t，-t2+ 2t+ 3)，∴F(t，-t+ 3)．
∴PF=-t2+ 2t+ 3- (-t+ 3) =-t2+ 3t. C P
∴S= 12 PF·OB=-
3
2 t
2+ 92 t；
2 A F B
∵S=- 3 3 272 t- 2 + 8 . x
∵- 32 < 0，开口向下.∴当 t=
3 27
2 时，S取最大值，最大值为 8 .
∵B(3，0)，C(0，3)，∴BC= OB2+OC2= 3 2 .
27 ×2
∴P 8 9 2 3 15点到直线BC的距离的最大值为 = ，此时点P的坐标为 ， .
3 2 8 2 4
变式11 解:如图①,过P作PH⊥AB于点H ,过H作HQ⊥ x轴,过P作PQ⊥ y轴,两垂线交于点Q ,
则∠AHQ=∠ABO ,且∠AHP= 90°,
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO= 90°,
∴∠PHQ=∠BAO ,且∠AOB=∠PQH= 90° ,∴△PQH∽△BOA ,∴ PQ = HQ = PH .
BO AO BA
设H m, 3 34 m+3 ,则PQ= x-m ,HQ= 4 m+ 3- -x2+2x+1 .∵A -4,0 ,B 0,3 ,
3
x-m 4 m+3- -x
2+2x+1
∴OA= 4 ,OB= 3 ,AB= 5 ,且PH= d ,∴ d3 = 4 = 5 ,
4 8 4 5 2 103
整理消去m可得 d= 5 x
2- x+ 5 = 5 x- 8 + 80 .
2
∵ 45 > 0 ,∴当 x=
5
8 时, d有最小值,此时 y=-
5
8 + 2×
5
8 + 1=
119
64
∴ d 5 119当 取得最小值时,点P的坐标为 8 , 64 .
(3)如图 2 ,设点C关于抛物线对称轴的对称点为C ,由对称的性质可得CE=C E,
∴CE+EF=C E+EF,
∴当F、E、C 三点一线且C F与AB垂直时,CE+EF最小.
∵C 0,1 ,∴C 2,1 ,
2
由 (2)可知当 x= 2时, d= 4 × 2- 5 + 103 = 145 8 80 5 ,
即CE+EF 14的最小值为 5 .
变式12 解：(1) ∵B(-1，0)，∴OB= 1.
又∵OA=OC= 4OB，∴OA=OC= 4，∴A(4，0)，C(0，-4)；
37
16a+4b+c=0 a=1
(2)将A、B、C三点坐标代入 y= ax2+ bx+ c得， a-b+c=0 ，解得 b=-3，c=-4 c=-4
∴抛物线的解析式为 y= x2- 3x- 4；
(3)如解图，过点P作PE⊥ x轴交AC于点E，
∴PE∥ y轴．
∵OA=OC，
∴∠PED=∠OCA= 45°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴PD= 22 PE，
∴当PE取得最大值时，PD取得最大值，
易得直线AC的解析式为 y= x- 4，
设P(x，x2- 3x- 4)，则E(x，x- 4)，
则PE= (x- 4) - (x2- 3x- 4) =-x2+ 4x=- (x- 2)2+ 4，
∵ 0< x< 4，
∴当 x= 2时，PE取得最大值，最大值为 4，
此时PD 2取得最大值，最大值为 4× 2 = 2 2，
∴点P的坐标为 (2，-6)．
例题1. 解：存在．
∵ 1 4直线 y= 2 x与双曲线 y= x 分别关于原点成中心对称，A(2 2， 2 )，∴B(-2 2，- 2 )，
∴OB= (-2 2)2+(- 2)2= 10，
要使得△BOP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论：①当OB=OP时；②当OB=PB时；③当
OP=BP时，即可求解．
①当OB=OP时，即OP= 10，
∵P是 x轴上一点，
当点P在 x轴正半轴上时，如解图①，此时，P点的坐标为 ( 10，0)，
当点P在 x轴负半轴上时，如解图②，此时，P点的坐标为 (- 10，0)；
②当OB=PB时，根据题意，点P在 x轴负半轴，如解图③，过点B作BH⊥ x轴于点H，
∵OB=PB，∴BH垂直平分OP，
38
∵B(-2 2，- 2 )，∴P(-4 2，0)；
图③ 图④
③当OP=BP时，如解图④，过点B作BH⊥ x轴于点H，
根据题意得，OH= 2 2，BH= 2，设HP= a，∴OP=BP= 2 2- a，
在Rt△BHP中，BP= PH 2+BH 2，
∴ 2 2- a= a2+( 2)2 3 2，解得 a= 4 ，
∴OP=OH-HP= 2 2- 3 2 = 5 2 ∴P - 5 24 4 ， 4 ，0 .
综上所述，存在点P，使得△BOP为等腰三角形，点P的坐标为 ( 10，0)或 (- 10，0)或 (-4 2，0)
或 - 5 24 ，0 .
变式13【思维教练】已知抛物线的解析式A，B，C三点均为抛物线与坐标轴的交点，分别令 y= 0，x= 0，
求解即可．
【思维教练】利用待定系数法可求得直线BC的解析式，利用勾股定理计算出AC的长，设点Q的坐标
为 (m，m- 4) (0分三种情况讨论：①CQ=CA；②AQ=AC；③QA=QC，然后分别列方程求出m，即可得到对应的
点Q的坐标．
【思维教练】过点 F作 FG⊥PQ于点G，由△OBC为等腰直角三角形，可判断△FQG为等腰直角三
角形，则 FG=GQ= 22 FQ，通过证明 △FGP∽△AOC，再结合线段的和差关系继而得到QF与
QP的关系，QP的长可用含m的代数式表示出来，即可求得QF关于m的函数关系式，再利用函数
的增减性即可求解.
解：令 y= 0 1 1，得 23 x - 3 x- 4= 0，解得 x1=-3，x2= 4，
∴点A，B的坐标分别为 (-3，0)，(4，0)．由 x= 0，得 y=-4，
∴点C的坐标为 (0，-4)；
Q 5 2 5 2解：点 的坐标为 2 ， 2 -4 或 (1，-3)；
解法提示：设直线BC的解析式为 y= kx+ b，(k≠ 0)
将B(4，0)，C(0，-4) = 4k+b=0 k=1代入 y kx+ b ,得 =- ，解得 ，b 4 b=-4
∴直线BC的解析式为 y= x- 4，
∵PM⊥ x轴，点P的横坐标为m，∴点Q的坐标为 (m，m- 4 )，
∵点Q在第四象限，∴m> 0，m- 4< 0，∴ 0∵A(-3，0)，C(0，-4)，
∴AC2=AO2+CO2= (-3)2+ (-4)2= 25，CQ2= (m- 0)2+[m- 4- (-4)]2= 2m2，
AQ2=[m- (-3)]2+ (m- 4)2= 2m2- 2m+ 25 ，
要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，
39
①当AC=CQ时，即AC2=CQ2，∴ 25= 2m2 m = 5 2，解得 1 2 ，m2=-
5 2
2 (舍去)，∴点Q的坐标
5 2 5 2为 2 ， 2 -4 ；
②当AC=AQ时，即AC2=AQ2，∴ 25= 2m2- 2m+ 25，解得m3= 0 (舍去)，m4= 1，
∴点Q的坐标为 (1，-3)；
③当AQ=CQ时，即AQ2=CQ2，∴ 2m2- 2m+ 25= 2m2 25，解得m5= 2 (舍去)．
5 2 5 2
综上所述，点Q的坐标为 2 ， 2 -4 或 (1，-3)．
解：如解图，过点F作FG⊥PQ于点G，则FG∥ x轴，
由B(4，0)，C(0，-4)得△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠QFG= 45°，∴GQ=FG= 22 FQ.
∵PE∥AC，∴∠1=∠2.
∵FG∥ x轴，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.
∵∠FGP=∠AOC= 90°，
∴△FGP∽△AOC ∴ FG = GP FG GP， ，即
AO OC 3
= 4 ，
∴GP= 43 FG=
4
3 ·
2
2 FQ=
2 2
3 FQ，
∴QP=GQ+GP= 2 FQ+ 2 2 FQ= 7 22 3 6 FQ，∴FQ=
3 2
7 QP.
∵PM⊥ x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ= 45°，
∴QM=MB= 4-m 1 1，PM=- 3 m
2+ 3 m+ 4，
∴QP=PM-QM=- 1 23 m +
1
3 m+ 4- (4-m) =-
1 m2+ 43 3 m，
∴QF= 3 27 QP=
3 2
7 -
1 2 4
3 m + 3 m =-
2
7 m
2+ 4 27 m.
4 2
∵- 2 < 0 ∴QF ∴ m=- 77 ， 有最大值， 当 = 2时，QF有最大值．
2× - 27
变式14 解：(1)由抛物线解析式可知，C(0，3)，
∵A(-1，0)，B(4，0)，∴OA= 1，OB= 4，OC= 3，∴BC= OC2+OB2= 32+42= 5.
设OE=ED= x，则BE= 4- x.
∵PD⊥BC，∴∠EDB=∠COB= 90°.
∵∠EBD=∠CBO，∴△EDB∽△COB，
∴ ED = BE ∴ x = 4-x x= 3 3 3， 3 5 ，解得 2 ，即OE= 2 ，∴E 2 ，0 ；CO BC
(2) 47 31存在，点P的横坐标为 18 或 9 .
40
【解法提示】设点P的横坐标为m(0　第 3题解图
∴ PH =m，∵ ∠CFD + ∠FCD = 90°，∠CBO + ∠FCD = 90°，∴ ∠CFD = ∠CBO，又 ∵ ∠COB =
∠PHF= 90°，∴ △PHF∽△COB PH HF，∴ = = PF PH HF PF，即 = = ，∴ HF= 4 PH=
CO OB CB 3 4 5 3
4
3 m，PF=
5
3 PH=
5
3 m
3 9
，∵点P在抛物线上，∴ yP=- m24 + 4 m+ 3，则 yF= yP-HF=-
3
4 m
2
+ 9 m+ 3- 44 3 m=-
3 2 11
4 m + 12 m+ 3.
①当 CF = CP 时，∵ CF = CP，CD ⊥ PF，∴ 点 D 为 PF 的中点，由中点坐标公式可得，
xP+xD F
yP+yF m
2 ， 2 ，即D 2 ，-
3 m2+ 194 12 m+3 .设直线BC的解析式为 y= kx+ b(k≠ 0)，将点
( ) ( ) 4k+b=0 k=-
3
B 4 3，0 ，C 0，3 分别代入，得 ，解得 4 ，∴直线BC的解析式为 y=- x+ 3.将Db=3 b=3 4
3 m 3 19
点坐标代入直线 BC的解析式可得，- 4 × 2 + 3=- 4 m
2+ 12 m+ 3，解得m=
47
18 或m= 0(舍
去)；
②当 CF= PF 3时，CF= y 2 11 3 2 11 5 3 2C- yF= 3- - 4 m + 12 m+3 = 4 m - 12 m，PF= 3 m，∴ 4 m -
11
12 m=
5
3 m
31
，解得m= 9 或m= 0(舍去)；
③当 CP= y +yPF时，∵ PH⊥ CF，由三线合一知，H F为 CF中点，则 y = CH 2 = yP，代入坐标可得
3+ - 34 m2+
11
12 m+3
2 =-
3
4 m
2+ 94 m+ 3
43
，解得m= 9 (舍去)或m= 0(舍去)；综上所述，满足条
47 31
件的点P的横坐标为 18 或 9 .
变式15 (1) ∵C(0，4)，∴CD∥ x轴，如解图，延长DE交 x轴于点F，则∠CDF=∠BFD，
∵DE平分∠CDB，∴∠CDF=∠BDF，∴∠BDF=∠BFD，∴BD=BF，
作DG⊥BF于点G，则DG= 4，OG= 1，∴BG= 3，
在Rt△BDG中，根据勾股定理得，BD= 5，∴BF= 5, ∴点F坐标为 (-1，0)，
设直线DF的解析式为 y= kx+ b1(k≠ 0)，
( ) (- ) k+b1=4 k=2将D 1，4 ，F 1，0 代入，得 - + = ，解得 ，∴直线DF的解析式为 y= 2x+ 2，k b1 0 b1=2
由 y=- 1 x2+ 13 3 x+ 4
1
可得，抛物线的对称轴为直线 x= 2 ，
41
∴ E 1 1点 的横坐标为 2 ，把 x= 2 代入 y= 2x+ 2得，y= 3，
∴ 1点E的坐标为 2 ，3 ；
(2) E 1 79 1 4+ 127 1 1存在，点 的坐标为 2 ， 2 或 2 ， 2 或 2 ，2 .
设点 E 1的坐标为 2 ，n ，∵点C(0，4)
1 49
，点B(4，0)，∴CE 2= + (n- 4)2，BE 2= + n2，BC 24 4 =
32，
当BC为边时，
BE=BC BE 2=BC 2 49①若 ，则 ，即 24 + n = 32，解得 n=±
79
2 ，∵点E在 x轴上方，∴点E的坐标
1 79为 2 ， 2 ；
②若CE=BC，则CE 2=BC2 1，即 4 + (n- 4)
2= 32，解得 n= 4± 1272 ，∵点E在 x轴上方，∴点E
1的坐标为 2 ，4+
127
2 ；
当BC为对角线时，则CE=BE，∴CE 2=BE 2 1，即 4 + (n- 4)
2= 494 + n
2 1，解得 n= 2 ，∴点E的坐
1 1
标为 2 ，2 ；
E 1 79 1 4+ 127 1 1综上所述，点 的坐标为 2 ， 2 或 2 ， 2 或 2 ，2 .
变式16 解：存在．
①当DM=DB= 1时，如解图①，过点M作MF⊥ x轴于点F，
设M m 1，- 2 m-2 ，
则MF=- 12 m- 2，DF=-m- 5，
∵MF 2+DF 2=DM 2，
2
∴ - 12 m-2 + (-m- 5)
2= 1，
解得m=- 285 或m=-4(舍去)．
∴点M 28 4的坐标为 - 5 ，5 ；
解图①
②当BD=BM= 1时，如解图②，过点M作 x轴的垂线，垂足为N，
∵DE⊥ x轴，
∴DE∥MN，
∴BN ∶BD=BM ∶BE，
∴BN ∶ 1= 1 ∶BE.
∵E -5 1，2 ，
42
∴DE= 12 ，
∴BE= 52 ，
∴BN ∶ 1= 1 ∶ 52 ，解得BN=
2 5
5 .
∴点M 2 5的横坐标为-4- 5 ，
x=-4- 2 5 y=- 1将 5 代入 2 x- 2，得 y=
5
5 ，即点M
2 5 5
的坐标为 -4- 5 ，5 ．
28 4 2 5 5
综上所述，点M的坐标为 - 5 ，5 或 -4- 5 ，5 ．
解图②
例题1.设直线AD 1的关系式为 y=- 2 x+ b，将A(1，2)
5
代入上式得：b= 2 ，
∴直线AD 1 5的关系式为 y=- 2 x+ 2 ，令 y= 0得：x= 5，∴D(5，0)；
②当BD⊥AB时，如图 2，
设直线BD 1的关系式为 y=- 2 x+ b B(-1 -2) b=-
5
，将 ， 代入上式得： 2 ，∴直线AD的关系式为 y=
- 1 x- 52 2 ，令 y= 0得：x=-5，∴D(-5，0)；
③当AD⊥BD时，如图 3，
∵ O 1为线段 AB的中点，∴ OD= 2 AB= OA ,∵ A（1，2），∴ OC，AC= 2，由勾股定理得：OA=
OC2+AC2= 5
∴OD= 5 ,∴D（ 5 , 0）
故 x轴上存在一点D，使得△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）（，-5，0）（， 5 , 0）（，- 5 , 0）
变式17【思维教练】要求点P坐标，可用未知数 t将点P坐标表示出来，再分别用含 t的式子表示出PC、
PB、BC的长度，△PBC为直角三角形时，分∠BCP= 90°，∠PBC= 90°，∠BPC= 90°，这三种情况讨
论，利用勾股定理列方程求解.
- 15
解：存在．对称轴 l 4 5为直线 x=- = ，
2× 3 24
5
设点P的坐标为 2 ，t ，如解图，过点C作CD⊥ l于点D，连接PC，PB，设直线 l与 x轴的交点为
43
M D 5 3 M 5点 ，则点 的坐标为 2 ， ，点 的坐标为 2 ，0 ，
则CD= 52 ，PD= |t- 3|，PM= |t| BM= 4-
5 = 3， 2 2 ，
∴PC2=CD2+PD2= 25 + (t- 3)2，PB2=PM 24 +BM
2= t2+ 94 ，BC
2= 25，
当△BCP是直角三角形时，则有：
(i)当∠BCP= 90°时，即PC⊥BC，有PC2+BC2=PB2，
25
即 4 + (t- 3)
2+ 25= t2+ 9 19 5 194 ，解得 t= 3 ，此时点P的坐标为 2 ，3 ；
(ii)当∠PBC= 90°时，即BP⊥BC，有BP2+BC2=PC2，
即 t2+ 94 + 25=
25
4 + (t- 3)
2，解得 t=-2，此时点P 5的坐标为 2 ，-2 ；
(iii)当∠BPC= 90°时，即CP⊥BP，有BP2+PC2=BC2，
9 25 3+2 6 3-2 6
即 t2+ 4 + 4 + (t- 3)
2= 25，解得 t1= 2 ，t2= 2 ，
此时点P 5 3+2 6 5 3-2 6的坐标为 2 ， 2 ， 2 ， 2 ，
5 19 5 5 3+2 6
综上可得，存在满足条件的点P，点P的坐标为 2 ，3 ， 2 ，-2 ， 2 ， 2 ，
5 3-2 62 ， 2 ．
变式18 1解：存在，把 x= 0代入 y= 22 x - 2x- 6，得 y=-6，∴点C的坐标为 (0，-6).
当以点C，G，H，P为顶点的四边形是矩形时，则以点C，H，G为顶点的三角形是直角三角形，
∴分以下三种情况讨论：
①如解图②，若∠CHG= 90°，
∵点C的坐标为 (0，-6)，∴点H的纵坐标为-6，
把 y=-6代入 y=-2x- 4得-2x- 4=-6，解得 x= 1，
∴点H的坐标为 (1，-6)，把 x= 1代入 y=-2x得，y=-2，∴点G的坐标为 (1，-2).
图② 图③
②如解图③，若∠CGH= 90°，把 y=-6代入 y=-2x得-2x=-6，解得 x= 3，
∴点G的坐标为 (3，-6).
44
③如解图④，当∠GCH= 90°时，
设点G的坐标为 (m，-2m)，则点H的坐标为 (m，-2m- 4)，
作CM⊥GH于点M，∴CM=m，GM=-2m+ 6，HM= 2m- 2，
∠GMC=∠CMH= 90°，
∵∠GCM+∠MCH= 90°，∠MCH+∠CHM= 90°，
∴∠GCM=∠CHM，∴△CGM∽△HCM ∴ CM = GM， HM ，CM
∴CM 2=GM ·HM，即m2= (-2m+ 6) × (2m- 2) ，解得m1= 2，m2= 65 ，
∴点G的坐标为 (2，-4) 6 12或 5 ，- 5 .
综上所述，点G的坐标为 (1，-2)或 (3，-6)或 (2，-4) 6 12或 5 ，- 5 .
变式19 解：当∠QBD= 90°时，即QB⊥DB，设BQ所在直线的解析式为 y=-2x+ b，
将B(4，0)代入，得 b= 8，∴ y=-2x+ 8.
∵点Q是直线QB与抛物线的交点，
∴- 1 x22 +
3
2 x+ 2=-2x+ 8，解得 x1= 3，x2= 4.
∵B(4，0)，∴Q1(3，2)．
当∠QDB= 90°，即QD⊥DB，设QD所在直线的解析式为 y=-2x+ b，
将D(0，-2)代入，得 b=-2，∴ y=-2x- 2.
∵点Q是直线QD与抛物线的交点，
∴- 1 2 32 x + 2 x+ 2=-2x- 2，解得 x1= 8，x2=-1.
∴Q2(8，-18)，Q3(-1，0)．
例题1.解：存在．设点P的坐标为 (x，-x2+ 4)，0< x< 2.
由于△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
2
△PDO∽△COA PD = OD -x +4 x①当 时， ，即 4 = 2 ，∴-x
2+ 4= 2x.
CO AO
解得 x1= 5- 1，x2=- 5- 1(舍去)．
当 x= 5- 1时，y= 2x= 2 5- 2，即P( 5- 1，2 5- 2)．
2
②当△PDO∽△AOC PD OD -x +4 x时， = ，即 22 = 4 ，∴-x + 4=
x
AO OC 2
.
x = -1+ 65解得 3 4 ，x =
-1- 65
4 4 (舍去)．
x= -1+ 65 y= x = -1+ 65 P -1+ 65 -1+ 65当 4 时， 2 8 ，即 4 ， 8 .
综上所述，点P的坐标为 5-1 2 5-2 -1+ 65 -1+ 65， 或 4 ， 8 .
例题2.【思维教练】根据点 A、B、C的坐标求出 AB、BC、AC的长，利用勾股定理的逆定理即可证得
△ABC为直角三角形．
45
【思维教练】设点N的坐标为 (x，0)，继而表示出点M的坐标，从而用含 x的代数式表示出MN、ON的
长度，分情况：①点N在点B右侧；②点N在点B左侧，讨论△MNO和△ABC相似时，利用三角形相
MN ON MN ON
似的性质可得 = 或 = ，即可分别求得点N的坐标.
BC AB AB BC
证明：∵A(1，1)，B(2，0)，C(-1，-3)，∴AB2= (2- 1)2+ (0- 1)2= 2，BC2= (-1- 2)2+ (-3- 0)2
= 18，AC2= (-1- 1)2+ (-3- 1)2= 20，∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形；
解：存在．设N (x，0)，则M (x ,-x2+ 2x)，由 (2)知，AB= 2，BC= 3 3，分两种情况讨论：
①若点 N在点 B右侧，即 x> 2，x与 -x2+ 2x异号，如解图①，△M1N1O∽ △ABC或 △ON2M2∽
2 2
△ MABC，则 1N1 = ON1 M N ON x -2x x x -2x x或 2 2 = 2 ，即 = 或 = ，
AB BC BC AB 2 3 2 3 2 2
7
解得 x1= 3 ，x2= 5，x3= 0(舍去)，
∴ 7点N1、N2的坐标为 3 ，0 ，(5，0)；
②若点N在点B左侧，即 x< 2，x与-x2+ 2x同号，如解图②，△M3N3O∽△ABC或△ON4M4∽
△ M NABC，则 3 3 = ON3 M4N4 = ON或 4 ，
AB BC BC AB
-x2+2x = x x
2-2x = -x即 或 ,解得 x = 51 3 ，x2=-1，x3= 0(舍去)，2 3 2 3 2 2
∴点N 53、N4的坐标为 3 ，0 ，(-1，0)；
综上所述，存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
7 5
满足条件的点N的坐标为 3 ，0 ，(5，0)， 3 ，0 ，(-1，0)．
变式1 1. 解：(1)将点 (2，m)代入 y= x+ 1得，m= 3，∴D(2，3)，
把点 (3，0)，(2，3)代入 y=-x2+ bx+ c得，
46
-9+3b+c=0 b=2
-4+ + = ，解得2b c 3 c= ，3
∴抛物线的解析式为 y=-x2+ 2x+ 3；
(2)存在．
∵ y=-x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4，
∴E(1，4)，抛物线的对称轴为直线 x= 1，
∵D(2，3)，∴DE 2= (2- 1)2+ (3- 4)2= 2，
∵B(3，0)，∴由抛物线的对称性可得A(-1，0)，
∴AE 2= (-1- 1)2+ (0- 4)2= 20，AD2= (-1- 2)2+ (0- 3)2= 18，
在△ADE中，DE 2+AD2= 20=AE 2，∴∠ADE= 90°，
要使△DEF与△DEA全等，则DE为公共边，点A与点F为对应点，分以下三种情况讨论：
如解图①，当点F在DE的左侧，且在直线AD外，设为点F1，即△DEF1≌△EDA时，
则EF1∥AD，EF1=AD，
由平移的性质可知，F1(-2，1)；
当点F在DE的右侧，且在直线AD外，设为点F2，
即△DEF2≌△EDA时，同理可得F2(4，7)；
当点F在DE的右侧，且在直线AD上，设为点F3，
即△EDF3≌△EDA时，
则DF3=DA，由平移的性质可得，F3(5，6)
综上所述，点F的坐标为 (-2，1)或 (4，7)或 (5，6)；
第 1题解图①
(3)存在．
∵∠EDA= 90°，∴ DE DP点P可以分别在点D的两侧，且当 = DE 时，△DEP∽△DAE，DA
由 (2)可得DE 2= 2，DA2= 18 ∴DE= 2 DA= 3 2 ∴ 2 = DP 2， ， ， ，∴DP=
3 2 2 3
，
∴AP= 8 23 或AP=
10 2
3 ，
如解图②，作PQ⊥ x轴于点Q，易得∠DAB= 45°，
第 1题解图②
47
∴AQ=PQ= 8 103 或 3 ，
∴点P 5 8 7 10的坐标为 3 ，3 或 3 ，3 .
变式2 存在.如图 2 ,连接AB、OM ,设MB交 y轴于点N .
∵B 2,2 ,∴∠AOB=∠NOB= 45°.
∠AOB=∠NOB,
在△AOB和△NOB中, OB=OB, ∴△AOB △NOB ,∴ON=OA=
3
2 ,∴N 0,
3
2
.
∠ABO=∠NBO,
3
设直线BN的解析式为 y= kx+ 2 ,把B点坐标代入得 2= 2k+
3 , k= 12 解得 4 ,
∴直线BN的解析式为 y= 14 x+
3
2 .
3
y= 1 x+ 3 , x=2, x=-
BN 8
,
3 45
联立直线 和抛物线解析式可得 4 2 解得 或 ∴My=2, 45 - , .y=2x2-3x, y= 32 , 8 32
∵C 1,-1 ,∴∠COA=∠AOB= 45° ,且B 2,2 ,
∴OB= 2 2 ,OC= 2 .
∵△MOB∽△POC ,∴ OM = OB = 2 , ∠POC=∠BOM .当点P在第一象限时,如图 3 ,过点M作
OP OC
MG⊥ y轴于点G ,过点P作PH⊥ x轴于点H.
∵∠COA=∠BOG= 45° ,∴∠MOG=∠POH ,且∠PHO=∠MGO,
∴△MOG∽△POH ,∴ OM = MG OGPH = = 2.OP OH
∵M - 3 , 458 32 ,∴MG=
3
8 ,OG=
45
32 ,∴PH=
1
2 MG=
3 1
16 ,OH= 2 OG=
45 ,∴P 45 , 364 64 16 .
∴P - 3 ,- 4516 64 .
综上,存在满足条件的点P , 45 3 3 45其坐标为 64 , 16 或 - 16 ,- 64 .
例题3. 1. 解：(1)A(-4，0)，B(6，0)，C(0 1 1，3)，抛物线的解析式为 y=- 28 x + 4 x+ 3；
1
【解法提示】令 y=- 2 x+ 3= 0，解得 x= 6，令 x= 0，得 y= 3，∴B(6，0)，C(0，3)．∵抛物线的对称
轴为 x= 1，且过点B、A，∴抛物线与 x轴的另一交点A坐标为 (-4，0)，设抛物线的解析式为 y= a(x
+ 4) (x- 6)，将点C(0，3)代入得-24a= 3，解得 a=- 18 .∴ y=-
1
8 (x+ 4) (x- 6) =-
1 2 1
8 x + 4 x+
3
(2)如解图①，过点P作PG⊥ x轴于点G，交BC于点Q，过点P作PH⊥BC于点H.
∵OC= 3，OB= 6，
∴BC= OC2+OB2= 3 5 .
又∵∠HQP=∠GQB，
∴∠HPQ=∠CBO，
∴ sin∠HPQ= sin∠CBO= 55 .
故点P到直线BC的距离最大，即PQ最大．
设P m - 1 2 1 1， 8 m + 4 m+3 ，Q m，- 2 m+3 ，
∴PQ=- 1 m2+ 1 m+ 3- - 18 4 2 m+3 =-
1 (m- 3)28 +
9
8 .
48
∵- 18 < 0，
∴当m= 3 9时，PQ有最大值为 8 .
∴P 3 21，8 ；
解图①
(3)存在．
由 (1)得A(-4，0)、B(6，0)、C(0，3)，
∴AB= 10，AC= 32+42= 5.
分为两种情况分类讨论：
①当△ABC∽△AQB时，如解图②所示．
∴ AC = AB ，∠CAB=∠BAQ.
AB AQ
2 2
∴AQ= AB = 105 = 20，AC
过点Q作QD⊥ x轴，垂足为点D，
∴QD=AQ·sin∠BAQ= 20× 35 = 12，
AD=AQ·cos∠BAQ= 20× 45 = 16.
∴Q(12，-12)．
解图②
②当△ABC∽△BQA时，如解图③所示，
∴ AB = AC ，∠CAB=∠ABQ.
BQ AB
2
∴BQ= AB = 20，
AC
过点Q作QE⊥ x轴，垂足为E，
同理可得QE=BQ·sin∠ABQ= 20× 35 = 12，BE=BQ·cos∠ABQ= 20×
4
5 = 16，
∴Q(-10，-12)．
综上所述，点Q的坐标是 (12，-12)或 (-10，-12)．
49
解图③
例题1.答案：(3 , 0) ; (7 , 6) ; (-1 , 4)
例题2.答案：CD分别为 (2 , 0) , (0 ,-1)或 (-2，0) (0，1)或 (4，0）(0，3)
例题3.解：如图
综上所述,符合条件的点D的坐标是 (3 , 2)或 (3 , 6)或 (9 ,-2).
例题4.答案：(2 ,-3) , (1+ 7 , 3) , (1- 7 , 3)
变式3【思维教练】因为DE为线段BC的中垂线，故DB=DC，可设点D的坐标，构造直角三角形，利用
勾股定理解答即可．
【思维教练】因为点D、P已经确定，且点N在对称轴上，故根据要求形成平行四边形有两种情况，其一
是DP为边，可采用平移的方法判断出两个点；其二是DP为对角线时判断出第三个点.
∵ x=- -1解： 对称轴为 =-1，∴点D在对称轴 x=-1上，
2× - 12
设D点的坐标为 (-1，m)，如解图①，过点C作CG⊥ l，垂足为G，连接DC，DB，
∵DE为BC的中垂线，∴DC=BD，
在Rt△DCG与Rt△DBH中，DC2= 12+ (4-m)2，DB2=m2+ (2+ 1)2，
∴ 12+ (4-m)2=m2+ (2+ 1)2，解得m= 1，∴点D的坐标为 (-1，1)；
N -1 83解：存在， 1 ，18 ，N -1
47
2 ，18 ，N3 -1 -
47
， 18 ．
∵点P 1为 3 ，0 ，如解图②，
①若M1N1∥DP，则M 11点横坐标为 3 ，
x= 1 65 65 83将 3 代入抛物线表达式可得 yM= 18 ，∴N1D=M1P= 18 ，∴点N1的坐标为 -1，18 ；
50
②若M 72N2∥DP，由抛物线的对称性得M2点横坐标为- 3 ，
65
代入抛物线表达式可得 yM= 18 ，yN- yP= yM- yD，
∴ y = 47 ∴ N -1 47N 18 ， 点 2坐标为 ，18 ；
③若DP为对角线，PM1∥N3D，已知 xM= xp，则PM1=N D M 1 653 ，由①得 1 3 ，18 ，
∵ yM- yP= yD- yN , 解得 yN=-
47
18 ，
∴点N3的坐标为 -1 - 47， 18 ，
83
综上所述，点N坐标为N1 -1，18 ，N2 -1
47
，18 N
47
， 3 -1，- 18 ．
例题1.解：存在. M n, 1设 2 n-2 .
①以BD为对角线,如图①.∵四边形BNDM是菱形,
∴MN垂直平分BD ,∴n= 4+5 ,∴M 9 , 12 2 4 .
∵M、N 9 1关于 x轴对称,∴N 2 ,- 4 .
51
②以BD为边,如图②.∵以点B、D、M1、N1为顶点的四边形是菱形,
∴M1N1 BD ,M1N1=BD=M1D= 1.
2
过M1作M1H⊥ x轴于点H1 ,∴M1H 21 +DH 2=DM 21 1 ,即 1 n-2 + n-5 2 = 122 ,
2
解得n1= 4( 28 23 4不合题意,舍去) ,n2= 5 ,∴N 5 , 5 . :
1
同理 2 n-2 + 4-n
2 = 1,
解得n = 4+ 2 5 2 5 2 5 51 5 (不合题意,舍去) ,n2= 4- 5 ,∴N2 5- 5 ,- 5 .
③以BD为边,如图③.过M作MH⊥ x轴于点H,
2
∴MH 2+BH 2=BM 2 , 1即 2 n-2 + n-4
2 = 12,
n = 4+ 2 5 ,n = 4- 2 5解得 1 5 2 5 (不合题意,舍去) ,∴N 5+
2 5 , 55 5 .
, N 9 ,- 1 23 4 2 5 5综上 当 的坐标为 2 4 或 5 , 5 或 5- 5 ,- 5 5+
2 5
或 5 ,
5
5 时,以点B、D、
M、N为顶点的四边形是菱形.
例题1.【思维教练】设AB与 y轴交于点C，已知AB与 x轴平行，根据抛物线的对称性及∠AOB= 90°，可
求出点 A(-1，1)，B(1，1)，把点 B的坐标代入 y= ax2即可求得 a，A、B两点的横坐标的乘积为
xA·xB.
【思维教练】分别过点A、B作AM、BN垂直 x轴于点M、N，设A(c , c2)，B(b , b2) ，即可得出AM，
OM，ON，BN的长度，通过证明△AOM∽△OBN，利用相似三角形的性质即可得到关于 b，c的方
程，继而求得 bc的值，即可得解．
【思维教练】设A(c , c2)，B(b , b2)，利用点A、B的坐标求出直线AB的解析式，即可求出点D的坐标，
根据直线PC的解析式可求出点C的坐标，过点P作PG⊥ y轴于点G，设P(x ,-2x- 2)，继而求得
PG，PD，DG，在Rt△PDG中，利用勾股定理即可求出 x，点P的坐标即可求得.
52
解：如解图①，设直线AB与 y轴相交于点C，
∵抛物线关于 y轴对称，AB= 2，∴AC=BC= 1，
∵∠AOB= 90°，∴AC=BC=OC，
∴A(-1，1)，B(1，1)，∴ xA·xB=-1× 1=-1，
将B(1，1)代入 y= ax2，得 a= 1，∴抛物线解析式为 y= ax2；
解：A、B两点的横坐标的乘积是常数，为-1.
证明：如解图②，分别过点A、B作AM、BN垂直 x轴于点M、N，
设A(c , c2)，B(b , b2)，
∵∠AOB= 90°，
∴∠AOM+∠OAM=∠AOM+∠BON，∴∠OAM=∠BON，
又∵∠AMO=∠ONB= 90°，∴△AOM∽△OBN，
∴ AM = OM c
2 -c
BN ，即 = 2 ，∴ b
2c2=-bc，
ON b b
∵ b、c均不能为 0，
∴ bc=-1，即A、B两点的横坐标的乘积是常数，为-1；
解：如解图②，过点P作PG⊥ y轴于点G，设AB的解析式为 y= kx+ t，
∵A(c , c2)，B(b , b2) bc= -1 ∴A - 1 1， ， ，b b2 ，
将B(b , b2)，A - 1 1， 2 代入直线AB的解析式 y= kx+ t，b b
b
2=bk+t ①
2 1 1 1 1 1得 1 =- 1 k+ ，①-②，得 b -t② b2 = bk+ k，即 b+ b- = b+ k，b2 b b b b b
53
∵ b+ 1 ≠ 0，∴ k= b- 1 ，将 k= b- 1 代入①，得 b2= b2- 1+ t，
b b b
∴ t= 1，即D(0，1)，当 x= 0时，y=-2x- 2=-2，即C(0，-2)，
设P(x，-2x- 2)，则PG=-x，OG= -2x- 2，DC= 3，OC= 2，OD= 1，
∴GD= OG-OD=-2x- 3，
∵∠BPC=∠OCP，∴DP=DC= 3，
在Rt△PGD中，PG2+DG2=PD2，即 x2+ (-2x- 3)2= 9，
∴ x1= 0 (舍去)，x2=- 125 ，
∴ y=-2x- 2= 14 12 145 ，∴P - 5 ，5 ．
例题1. 1. 解：(1) ∵A(1，0)，B(3，0)两点在抛物线 y= ax2+ bx+ 3(a≠ 0)上，
∴将A(1，0)，B(3，0)代入 y= ax2+ bx+ 3，
a+b+3=0 a=1
得 + + = ，解得 =- ，9a 3b 3 0 b 4
∴抛物线的解析式为 y= x2- 4x+ 3；
(2)设直线AE的解析式为 y= kx+m(k≠ 0)，将
A(1，0)，E(4，3)代入 y= kx+m，
k+m=0 k=1得 + = ，解得4k m 3 m=- ，1
∴ y= x- 1，
∵点D在直线AE上，且在 y轴上，
∴将 x= 0代入 y= x- 1，得 y=-1，
∴点D(0，-1)，
∵A(1，0)，∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠ODA= 45°，∵∠EDP= 45°，∴∠ODP= 90°，
∴点P的纵坐标为-1，
将 y=-1代入 y= x2- 4x+ 3，得-1= x2- 4x+ 3，解得 x1= x2= 2，
∴P(2，-1)，
如解图①，过点E作 x轴的垂线，交DP的延长线于点F，则EF⊥DP，
　第 1题解图①
∵E(4，3)，P(2，-1)，
54
∴EF= 4，PF= 4- 2= 2，
∴在Rt△PEF中，PE= PF 2+EF 2= 22+42= 2 5；
(3)根据题意，将四边形面积最值转化为求三角形面积最值．
由题意可知，DF=EP，EF=DP，
∵DE=ED，∴△FDE≌△PED，
∴S△FDE=S△PED，∴S四边形PDFE= 2S△PED，
要求四边形PDFE面积的最大值，即求△PED面积的最大值，
点D，E坐标已知，要求 S△PED的最大值，考虑设点P坐标，将△PED分割为两个三角形，用含有自变
量的式子表示出△PED的面积．
如解图②，过点P作PG⊥ x轴于点G，延长PG交DE于点H，
　第 1题解图②
过点E作ER⊥PH，交PH的延长线于点R，
设点P的坐标为 (n，n2- 4n+ 3) (1∵点H在直线AE上，且与点P的横坐标相同，
∴将 x=n代入直线AE的解析式 y= x- 1，
则点H坐标为 (n，n- 1),
∴PH= y 2H- yP=-n + 5n- 4，
∴S 1 1 2 5
2 9
△PED=S△PHD+S△PHE= 2 PH× (OG+ER) = 2 (-n + 5n- 4) × 4=-2 n- 2 + 2 ，
∴△PED 9的最大面积为 2 ，
∴四边形PDFE的最大面积为 9.
例题1. 4证明：延长MC、MB分别交 x轴于G，交 y轴于H，设m a，a ，
∴B a4 ,
4
a ，C a
1
，a ，
∴S△OBC=S矩形OGMH-S△OCG-S△BCM-S△BHO
= a× 4a -
1
2 -
1
2 ×
4 - 1 a 1 1 9 1 15a a × a- 4 - 2 = 4- 2 - 8 - 2 = 8 ，
∴△BOC的面积是个定值．
例题2.【思维教练】要判断EF+EG的值是否为定值，过点P作PQ∥ y轴，交 x轴于点Q，只需利用平行
线得三角形相似，列等量关系式分别表示出EF与EG的值，再判断EF+EG的值的情况．
55
解：EF+EG为定值，理由如下，如解图，过点P作PQ∥ y轴，交 x轴于点Q，
设P(t，-t2- 2t+ 3)，则PQ=-t2- 2t+ 3，AQ= 3+ t，QB= 1- t，
∵DE∥ y轴，∴PQ∥DE，
∴△AEF∽△AQP，
∴ AE = EF ，
AQ PQ
∵A(-3，0)，E(-1，0)，B(1，0)，
∴AE=BE= 2，
∴ = AE PQ
2
= 2×(-t -2t+3) = 2×(1-t)(t+3)EF 3+t 3+t = 2(1- t)，AQ
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴ BE = EG ，
BQ PQ
∴ = BE PQ = 2×(-t
2-2t+3) = 2×(1-t)(t+3)EG 1-t 1-t = 2(t+ 3)，BQ
∴EF+EG= 2(1- t) + 2(t+ 3) = 8.
例题3.解：(1)如解图①，过点A作AH⊥OP于点H，则AP≥AH，
∵ P y= 3点 在 3 x的图象上，
∴∠HOQ= 30°，∠HOA= 60°.
∵A(0，2)，
∴AH=AO·sin60° = 3，
∴AP≥ 3；
第 1题解图①
(2)是．
理由如下：①如解图②，当点P在第三象限时，
由∠QPA=∠QOA= 90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠QAP=∠POQ= 30°；
第 1题解图②
②如解图③，当点P在第一象限的线段OH上时，
由∠QPA=∠QOA= 90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ+∠POQ= 180°，
56
又∵∠POQ= 150°，
∴∠QAP= 180° -∠POQ= 30°；
第 1题解图③
③如解图④，当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由∠QPA=∠QOA= 90°，
可得∠APQ+∠AOQ= 180°，
∴Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ=∠POQ= 30°；
第 1题解图④
2 2
(3)设P m 3，3 m ，∵A(0，2)，∴OP2=
4m AP2= 4m - 4 3m3 ， 3 3 + 4.
在Rt△APQ中，∵∠QAP= 30°，
2 2 2
∴PQ2= (AP·tan30°)2= 4m - 4 3m 4 2 AP 16m 16 3m 169 9 + 3 ，AQ = ° =cos30 9 - 9 + 3 ，
2 2
∵在Rt△AOQ OQ2=AQ2-OA2= 16m - 16 3中， 9 9 m+
4 16
3 = 9 m-
3
2 ，
∴Q 4m-2 33 ，0 ．
①当OP=OQ 4时，则 3 m
2= 16 m2- 16 3m 49 9 + 3 ，解得m= 2 3 ± 3，∴Q1(2 3 + 4，0)，Q2(2 3
- 4，0)；
OP=PQ 4②当 时，则 23 m =
4 2 4 3m 4 3
9 m - 9 + 3 ，解得m= 2 或m=- 3，
当m= 32 时，点Q与点O重合，舍去，∴m=- 3，∴Q3(-2 3，0)；
③如解图④，当QO=QP时，
16
则 9 m
2- 16 3m + 49 3 =
4 m2- 4 3m + 49 9 3 ，解得m= 3或m= 0，
当m= 0时，点P与点O重合，舍去，∴m= 3 .∴Q 2 34 3 ，0 ．
综上所述，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为 (2 3 + 4，0)或 (2 3 - 4，0)或 (-2 3，0)或
2 33 ，0 ．
例题4. 解：(1)如解图，作点A关于 y轴的对称点A′，连接A′C，作AD⊥A′C于点D，
∴点A′的坐标为 (-1，0)，则AA′ = 2，OC= 3，A′C= 10，
∵S 1 1△A′AC= 2 AA′·OC= 2 A′C·AD，
57
∴AD= AA′·OC = 3 10 ，
A′C 5
在Rt△A′AD中，∵A′D2+AD2=A′A2，
∴A′D2+ 3 10
2
5 = 22.解得A′D=
10
5 (负值已舍去)，
∴DC= 4 105 ，∴ tan∠ACA′ =
AD = 3 .
DC 4
由对称可得∠ACD= 2∠ACO，则∠PAB=∠ACA′，
设P(a，a2+ 2a- 3)，
①如解图，当点P在 x轴的上方时，作P1H1⊥ x轴于点H1，
2
∴ tan∠ PHP1AB= 1 1 = a +2a-3 3 15AH1 1-a
= 4 ，解得 a1= 1(舍)，a2=- 4 ，
a=- 15 15 57把 4 代入得P - 4 ，16 ；
②如解图，当点P在 x轴的下方时，作P2H2⊥ x轴于点H2，
2
∴ tan∠PAB= P2H2 = -a -2a+3 32 1-a = 4 ，解得 a3= 1(舍)，a4=-
9
，
AH2 4
a=- 9 P - 9 - 39把 4 代入得 4 ， 16 ，
15 57 9 39
综上所述，点P的坐标为 - 4 ，16 或 - 4 ，- 16 ；
第 1题解图
(3)是．设Q(m，m2+ 2m- 3)，则-3( k =m+3把A 1，0)，Q(m，m2+ 2m- 3)，代入解析式解得
1
= - ，∴ y= (m+ 3)x-m- 3，b1 m 3
当 x=-1时，y=-2m- 6，
设直线BQ的解析式为 y= k2x+ b2，
(- ) ( 2+ - ) = + k2=m-1把B 3，0 ，Q m，m 2m 3 代入 y k2x b2，解得 ，b2=3m-3
∴ y= (m- 1)x+ 3m- 3，
当 x=-1时，y= 2m- 2，
∴DM= 2m+ 6，DN=-2m+ 2，
∴DM+DN= 2m+ 6- 2m+ 2= 8.
58平面直角坐标系中的动态问题
2026
春
季
班
近年中考试题 1
题型 1 对称问题将军饮马 4
1. 基础问题 4
2. 提高类型 6
题型 2 面积问题 8
1. 直接公式法： 8
2. 割补法 8
3. 分割法 10
4. 已知面积求坐标 12
5. 提升类型 (未完成) 13
题型 3 线段长度问题 17
1. 线段关系 17
2. 线段的最值 17
题型 4 三角形 22
1. 等腰三角形 22
2. 直角三角形 30
3. 相似三角形 34
题型 5 四边形 41
1. 平行四边形 41
2. 特殊的四边形 44
题型 6 角度 47
题型 7 定值 51
近年中考试题
(2023年成都中考题)
1. (本小题满分 10分)
如图, k在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=-x+ 5与 y轴交于点A ,与反比例函数 y= x 的图象的一
个交点为B a,4 ,过点B作AB的垂线 l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线 l上,且△ABC的面积为 5 ,求点C的坐标；
(3)P是直线 l上一点,连接PA ,以P为位似中心画△PDE ,使它与△PAB位似,相似比为m.若点D
,E恰好都落在反比例函数图象上,求点P的坐标及m的值.
答案：(1)点A的坐标为 (0 , 5) ,反比例函数的表达式为 y= 4x ;
(2)点C的坐标为 (6 , 9)或 (-4,-1) ;
(3)点P的坐标为 - 1 , 114 4 ;m的值为 3.
2. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知抛物线 y= ax2+ c经过点P 4,-3 ,与 y轴交于点A 0,1 ,
直线 y= kx k≠0 与抛物线交于B ,C两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求点B的坐标；
(3)过点M 0,m 作 y轴的垂线,交直线AB于点D ,交直线AC于点 E.试探究:是否存在常数m ,
使得OD⊥OE始终成立 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
备用图
(1)抛物线的函数表达式为 y=- 1 24 x + 1 ;
(2)点B的坐标为 (-4,-3)或 -2-2 5 ,-5-2 5 或 -2+2 5 ,-5+2 5 ；
(3)当m的值为 2或 23 时,OD⊥OE始终成立.
1
(2024年成都中考题)
3. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=-x+m与直线 y= 2x相交于点A 2,a ,与 x轴交于点
B b,0 , C y= k 点 在反比例函数 x k<0 图象上.
(1)求 a , b ,m的值；
(2)若O ,A ,B ,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和 k的值；
(3)过A ,C两点的直线与 x轴负半轴交于点D ,点E与点D关于 y轴对称.若有且只有一点C ,使得
△ABD与△ABE相似,求 k的值.
备用图
1 a= 4 ,m= 6 , b= 6 ;
(2)点C的坐标为 (-4 , 4)或 4,-4 , k=-16 ;
(3)k=-1.
4. (本小题满分 10分)
如图,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 L : y= ax2- 2ax- 3a a>0 与 x轴交于A ,B两点 (点A
在点B的左侧) ,其顶点为C ,D是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段AB的长；
(2)当 a= 1时,若△ACD的面积与△ABD的面积相等,求 tan∠ABD的值；
(3)延长CD交 x轴于点E ,当AD=DE时,将△ADB沿DE方向平移得到△A EB .将抛物线L平移
得到抛物线L ,使得点A ,B 都落在抛物线L 上.试判断抛物线L 与L是否交于某个定点.若是,求出该定
点坐标;若不是,请说明理由.
备用图
1 AB= 4 ;
(2)tan∠ABD= 103 ；
(3)抛物线L 与L交于定点 (3 , 0).
2
(2025年成都中考题)
5. (本小题满分 10分)
k
如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=-x+ b与反比例函数 y= x 的图象的一个交点为A a,2
,与 x轴的交点为B 3,0 .
(1)求 k的值；
(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD=
90°，求直线AD的函数表达式；
(3)P为 x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A)，连接BE，若△BEP的面积为 2 ,
求点E的坐标.
y y
A A
O B x O B x
备用图
(1)k= 2；(2)直线AD的函数表达式为 y= 12 x+
3
2 ；(3)点E的坐标为 -2,-1 或
2
3 ,3 .
6. (本小题满分 12分)
如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y= ax2+ bx过点 -1,3 ，且对称轴为直线 x= 1，直线 y=
kx- k与抛物线交于A ,B两点,与 x轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 k= 1时,直线AB与 y轴交于点D ,与直线 x= 2交于点 E.若抛物线 y= x-h 2 - 1与线段
DE有公共点,求 h的取值范围;
(3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P ,Q两点,M ,N分别是AB ,PQ的中点.试探究:当 k变化
时,抛物线的对称轴上是否存在定点T ,使得TC总是平分∠MTN 若存在,求出点T的坐标;若不存在,
请说明理由.
y y
A A
O C x O C x
B B
备用图
(1)抛物线的函数表达式为 y= x2- 2x；
(2)h的取值范围是- 14 ≤ h≤ 2+ 2；
(3)抛物线的对称轴上存在T 1,- 12 ，使得TC总是平分∠MTN .
3
题型1 对称问题将军饮马
1.基础问题
知识点：
1.点关于 x轴对称：(a , b) → (a ,-b)
2.点关于 y轴对称：(a , b) → (-a , b)
3.点关于原点对称：(a , b) → (-a ,-b)
例题1.已知A(2 , 1)，B(6 , 4) ,在 x轴上找一点P使得PA+PB的值最小，并求出P点的坐标.
y B
A
y B
P x
A
P x B
解：作B关于 x轴对称的点B ，则B (6 ,-4) ,连接AB 交 x轴于点P.
由将军饮马的知识可知PA+PB的最小值等于AB 的长度
由两点之间的距离公式得：AB = (6-2)2+(-4-1)2= 41
∴PA+PB的最小值为 41
直线AB'与 x轴的交点即为要求的P的坐标.
设AB'所在的直线方程为 y= kx+ b ,代入A(2 , 1) ,B (6 ,-4)的坐标得
5
1=2k+b k=- - = + ,解得 4 ,即AB'所在的直线方程为 y=-
5 x+ 7
4 6k b b= 7 4 22
∵P在 x轴上，∴ yP= 0
令 y=- 5 7 144 x+ 2 = 0 ,解得 x= 5
∴P( 145 , 0)
例题2.已知A(2 , 1)，B(6 ,-4) ,在 x轴上找一点P使得 |PA-PB|的值最大，并求出P点的坐标.
B y y
A A
x P x
B B
解：作B关于 x轴对称的点B (6 , 4)，连接AB 交 x轴于点P.
|PA-PB|的最大值等于AB 的长度
∵AB = (2-0)2+(1-0)2= 31
4
∴PA大PB的最小值为 3
设AB'所在的直线方程为 y= kx+ b ,代入A(2 , 1) ,B (6 , 4)的坐标得
3
1=2k+b
k= 4
= + ,解得 1 ,即AB'所在的直线方程为 y=
3 x- 1
4 6k b b=- 4 22
∵P在 x轴上，∴ yP= 0
令 y= 3 14 x- 2 = 0 ,解得 x=
2
3
∴P( 23 , 0)
变式1 1 5 2如图，一次函数 y= 2 x+ 2 的图象与反比例函数 y=- x (x< 0)的图象相交于点A(-1，2)
点B(-4 1，2 )．在 x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标和△PAB的周长最小值．
y
A
B
x
解：作 B点关于 x轴的对称点 C，连接AC交 x轴于 P，则 PA+ PB=AC，此时 PA+ PB最小，即
△PAB的周长最小，
∵点C -4，- 12 和B关于 x轴对称，∴点C的坐标为 -4 -
1
， 2 ， y
设直线AC的表达式为 y= ax+ c， A
-a+c=2
a=
5 B
∴ 6 P ，解得： ，-4a+c=- 1 C x2 c= 176
∴ AC y= 5 x+ 17直线 的表达式为： 6 6 ，
17
当 y= 0时，则 x=- 5 ，∴P点坐标为 -
17
5 ，0 ．
变式2 y = x+ 2 y = 15如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 的图象与反比例函数 2 x 的图象相交于
第一、三象限内的A(3，5)，B(-5，-3)两点，与 x轴交于点C .在 y轴上找一点P，使PB-PC最大，求
PB-PC的最大值及点P的坐标；
解：在 y1= x+ 2中，当 y1= 0时，x=-2，
∴点C坐标为 (-2，0).令 x= 0，则 y1= 2，
∴点D坐标为 (0，2).连接PB，PC，
当B，C和P三点不共线时，由三角形三边关系可知PB-PC当B，C和P三点共线时，PB-PC=BC，
5
∴PB-PC≤BC.由勾股定理可知，BC= (-5+2)2+(-3-0)2= 3 2 .
∴当点P与点D重合，即点P为 (0，2)时，PB-PC取最大值，最大值为 3 2
变式3 在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y= 14 x
2- x+ 1的顶点坐标为 (2 , 0)，且经过点 (4 ,
1) 1，如图，直线 y= 4 x与抛物线交于A，B两点，直线 l为 y=-1.在 l上是否存在一点P，使PA+PB取得
最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y= 1 x， x1=1， x =4，
解：联立直线AB 4与抛物线解析式成方程组，得 1 解得 1
2
y= 24 x -x+1，
y1= 4 ，y2=1，
∴点A的坐标为 1 1，4 ，点B的坐标为 (4 , 1)．如答图，
作点B关于直线 l的对称点B′，连接AB′交直线 l于点P，此时PA+PB取得
最小值．
∵点B(4 , 1)，直线 l为 y=-1，∴点B′的坐标为 (4，-3)．
设直线AB′的解析式为 y= kx+ b(k≠ 0)，
k+b= 1 ， k=-
13 ，
将A 1 1，4 ，B′ (4，-3)分别代入 y= kx+ b
12
，得 4 解得 4k+b=-3， b= 43 ，
∴直线AB′的解析式为 y=- 1312 x+
4
3 . 当 y=-1时，有-
13
12 x+
4
3 =-1，
28 28
解得 x= 13 ，∴点P的坐标为 13 ，-1 ．
变式4 如图，直线 y=-x+ 3分别与 x轴、y轴相交于A(3 , 0)、B(0 , 3)两点，
经过A，B两点的抛物线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴的另一交点为C(-1 , 0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线对称轴上一动点，求△BCM周长的最小值及此时M的坐标；
解:易得抛物线的对称轴为直线 x= 1.
由抛物线的对称轴可知A，C两点关于直线 x= 1对称．
连接AB，则直线AB与直线 x= 1的交点为M .此时，△BCM周长最小，
即C△BCM=BC+MC+BM=BC+AB.
由OC= 1，OB= 3，OA= 3，由勾股定理可得BC= 10，AB= 3 2，
∴△BCM周长的最小值为 10+ 3 2，
将 x= 1代入 y=-x+ 3，得 y=-1+ 3= 2，即M的坐标为 (1 , 2)．
2.提高类型
例题1.如图，直线 y=-x+ 3分别与 x轴、y轴相交于A(3 , 0)、B(0 , 3)两点，经过A，B两点的抛物
线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴的另一交点为 (-1 , 0). 若M，N为抛物线对称轴上的两点 (M在点N的上方)，
6
且MN= 1，当四边形BCNM的周长最小时，求M，N的坐标．
y y
B B M
M K
N N
C A x C A x
解:在 y轴上取点K，使BK=MN= 1，可得点K的坐标为 (0 , 2)，
连接AK，可求得直线AK的解析式为 y=- 23 x+ 2，
将 x= 1代入 y=- 23 x+ 2，得 y=-
2
3 × 1+ 2=
4
3 ，
∴点N的坐标为 1，43 ，点M的坐标为 1，
7
3 ．
变式5 如图,已知抛物线的解析式为 y= x2+ 2x- 3与 x轴交于A -3,0 , B 1,0 ,与 y轴交于
C 1 0,-3 ,顶点坐标为 -1,-4 ,直线AC的解析式为 y=-x- 3 ,已知E 0, 2 ,点P是直线AC下方
的抛物线上的一动点,作PR⊥AC于点R ,当PR最大时,有一条长为 5的线段MN (点M在点N的左
侧)在直线BE上移动,首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP ,求出四边形AMNP周长最小时
点N的坐标.
解：过点P作PQ y轴交AC于点Q.设P m,m2+2m-3 ,则Q m,-m-3 .
S = 1
2
△APC 2 3 PQ=
1
2 3 -m-3-m
2-2m+3 =- 32 m+
3 + 272 8
∴ m=- 3当 2 时, △ACP的面积最大,PR最大,
3 15
此时P - 2 ,- 4
如图, P 7 11将点 沿BE方向平移 5个单位长度得到G - 2 ,- 4 ,作点A关于直线BE的对称点K ,
连接GK交BE于点M ,此时四边形APNM的最长最小.
易得直线BE 1 1的解析式为 y=- 2 x+ 2 ,
直线AK的解析式为 y= 2x+ 6 , J - 11 , 85 5 .
∵AJ= JK ,∴K - 7 , 165 5 ,∴直线KG的解析式为 y=
17
6 x+
43
6 .
y= 17 43 6 x+ 6 ,
联立 解得M1 1 -2,
3
2 ,∴N 0,
1
y=- x+ , 2
.
2 2
1
将点M向下平移 1个单位长度,向右平移 2个单位长度,得N 0, 2
7
题型2 面积问题
1.直接公式法：
1
当三角形的一边平行于坐标轴 (或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S= 2 AB h。
如下图：
例题1.如图，平面直角坐标系中△ABC的面积是 4
例题2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)，则△ABC的面积为
7.5 ．
变式6 如图，已知一次函数 y=-2x+ 12与 x轴交于点A，与 y 80轴交于点B，与反比例函数 y=- x
交于C，E两点，过点C作CD⊥ x轴于点D，求△CDE的面积．
y=-2x+12
=- + x=10 x=-4解：由一次函数 y 2x 12可得A(6，0)，联立 ，解得 或 ，y=- 80 x y=-8 y=20
∴C(-4，20)，E(10，-8)，
∴S△CDE=S△ACD+S
1 1
△ADE = 2 AD·|yC- yE| = 2 × 10× (20+ 8) = 140.
2.割补法
8
如下图
C
A
D B E
S△ABC=S四边形ADEC-S△ADB-S△BEC
例题1.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，三角形ABC的三个顶点恰好是正
方形网格的格点．
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积．
解：(1)A(3，3)，B(-2，-2)，C(4，-3)；
(2)如图，分别过点 A，B，C作坐标轴的平行线，交点分别为 D，E，F .S三角形ABC = S正方形DECF -
S 1 1三角形BEC-S三角形ADB-S三角形AFC= 6× 6- 2 × 6× 1- 2 × 5× 5-
1 × 6× 1= 352 2 .
4
例题2.如图，一次函数 y=-2x+ 6与反比例函数 y= x (x> 0)的图象交于A(1 , 4)，B(2，2)两点，
与坐标轴分别交于M，N两点．求△AOB的面积．
解：∵直线 y=-2x+ 6与 x轴的交点为N，∴点N的坐标为 (3 , 0)，
∴S△AOB=S△AON-S
1
△BON= 2 × 3× 4-
1
2 × 3× 2= 3.　
另解：S△AOB=S△MON-S△BON-S△AOM
变式4 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为
11 ．
9
解析：过点B作BD⊥ x轴于D，则 S四边形ABCO= S
1
梯形OCBD+ S三角形ABD= 2 × (4+ 2) × 3+
1
2 × 1× 4
= 9+ 2= 11.
变式5 2如图，已知反比例函数 y= x (k> 0)的图象和一次函数 y=-x+ 3的图象都过点P(1，2)，过
点P作 y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点.设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过点
M作 x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．
y= 2x x1=1 x2=2解：联立反比例函数和一次函数得 ，解得 ，y=-x+3 y1=2 = ，∴M (2，1)．y2 1
如解图，过点P作PD⊥ x轴于点D.
∴PD=OA= 2，OB= 2，BM= 1，OD=AP= 1，BD=OB-OD= 2- 1= 1.
∴ S 1 1五边形OAPMB= S四边形OAPD+ S四边形PDBM =AP·OA+ 2 BD·(PD+BM ) = 1× 2+ 2 × 1× (2+ 1) =
2+ 3 = 72 2 .
3.分割法
当三角形的边中没有平行坐标轴的边，三角形的面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半，如下图：
S 1△ABC= 2 ah
(1)A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
10
(2)过点C作 x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
S= 水平宽×铅垂高公式： 2 =
1
2 (xB- xA) (yC- yD)．
S△ABC=S
1
△ABD+S△BCD= 2 BD(AE+CF) =
1
2 (xB- xD)·(yC- yA)　
S 1△ABC= 2 (yD- yB)·(xC- xA)
例题1.引例：在平面直角坐标系中，已知A(1，1)、B(7，3)、C(4，7)，求△ABC的面积．
C y Cy
B B
A A D
x x
解：过点C作CD垂直 x轴，交AB于点D ,则 xC= xd= 4
设AB所在的直线方程为 y= kx+ b ,代入A(1 , 1) ,B(7 , 3)的坐标，得
1
1=k+b k=,解得 3 ,即AB'所在的直线方程为 y= 1 x+ 2 3=7k+b b= 2 3 33
令 x= 4 , y= 13 × 4+
2
3 = 2 ,解得 yD= 2 ,∴D(4 , 2)
则S 1 1△ABC= 2 (xB- xA) (yC- yD) = 2 (7- 1) × (7- 2) = 10
例题2.已知抛物线 y= ax2- 2ax+ a- 4与 x轴交于A、B两点 (A在B的左侧)，交 y轴于点C(0，
-3)，M是抛物线的顶点．连接BC，BM，CM，求△BCM的面积；
解：将点C(0，-3)代入抛物线 y= ax2- 2ax+ a- 4，解得 a= 1，
∴抛物线解析式为 y= x2- 2x- 3，
∴ x =--2M 2 = 1，yM= 1- 2- 3=-4
∴点M的坐标为 (1，-4)．
令 x2- 2x- 3= 0，解得 x1=-1，x2= 3，
∵点A在点B的左侧，∴点B在坐标为 (3，0)．
如解图④，过点M作ME⊥ y轴于点E，过点B作BF⊥EM于点F.
由题意可知CE= 1，EM= 1，MF= 2，BF= 4，
∴S 1 1 1△BCM=S四边形CEFB-S△CEM-S△BMF= 2 × 3× (1+ 4) - 2 × 1× 1- 2 × 2× 4= 3.
11
4.已知面积求坐标
例题1. 4如图，一次函数 y1=-2x+ 2的图象分别与 x轴、y轴交于点C，D，与反比例函数 y2=- x (m
≠ 0)的图象交于A(-1，4)，B(2，-2)两点．若 x轴上存在一点P，使△ABP的面积为 6，求点P的坐标．
解：∵点P在 x轴上，设点P的坐标为 (a，0)，∵一次函数解析式为 y1=-2x+ 2，令 y= 0，则 x= 1，
∴直线AB与 x轴交于点 (1，0)，由△ABP的面积为 6，可得：12 (yA- yB) |a- 1| = 6，即
1
2 × 6 |a- 1| =
6，解得：a=-1或 a= 3，∴点P的坐标为 (-1，0)或 (3，0)．
变式6 如图，一次函数 y=-2x+ 6与反比例函数 y= 4x (x> 0)的图象交于A(1，4)，B(2，2)两点，
与 x轴相交于N点．在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP= 3S△AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存
在，请说明理由．
解：令 y= 0，得 y=-2x+ 6= 0，解得 x= 3，∴N (3，0)，∴ON= 3，设P(m，-2m+ 6)，∵ S△ONP=
3S 1△AOB，∴ 2 × 3| -2m+ 6| = 3× 3，解得m= 0或 6，∴P(0，6)或 (6，-6)．
变式7 如图，已知抛物线 L：y= x2- 2x- 3与 x轴交于A、B两点，与 y轴交于C点，连接AC、BC.
在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC= 2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．设点N坐标为 (n，n2- 2n- 3)，
∵AB=OA+OB= 1+ 3= 4，OC= 3，
∴S = 1 OC·|n| = 1△OCN 2 2 × 3× |n|
1 1
，S△ABC= 2 AB·OC= 2 × 4× 3，
12
∵S = 2S ∴ 1△ABC △OCN， 2 × 4× 3= 2×
1
2 × 3× |n|，∴ |n| = 2，∴n=±2，
当n= 2时，n2- 2n- 3=-3，∴N (2，-3)，
当n=-2时，n2- 2n- 3= 5，∴N (-2，5)，
综上所述，符合条件的点N的坐标为 (2，-3)或 (-2，5)．
5.提升类型 (未完成)
1.化面积比为底边比：S△ABD：S△ACD=BD：CD．
推广：对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC交AD于点 E，则 S△ABD：S△ACD=BM：CN
=BE：CE．
例题1.已知抛物线 y=-x2- 2x+ 3经过点A(1，0)和点B(-3，0)，与 y轴交于点C，点P为第二象
限内抛物线上的动点．如图，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD= 1 : 2时，请求出点D的坐标．
答案：(-1 , 2)
2.在坐标系中，若三角形底或高与坐标轴不平行，可构造相似，将底或高之比转化为与坐标轴平行线
段的比值．
“A”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：CD=AB：CM．
“8”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：CD=AB：CM．
垂线型“8”字：S△ABD：S△ACD=BD：CD=BM：CN．
13
例题2.如图，抛物线 y=-x2+ 2x+ c与 x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右
侧)，与 y轴交于点 C，OB=OC= 3．如图，连接 BC，点 D是直线 BC上方抛物线上的点，连接 OD、
CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF= 3 : 2时，求点D的坐标．
答案：(1 , 4)或 (2 , 3)
例题3.如图，已知抛物线L：y= x2- 2x- 3与 x轴交于A、B两点，与 y轴交于C点，连接AC、BC.
(1)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由；
(2)在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC= 2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明
理由．
【思维教练】要使△ACM周长最小，已知边AC一定，即要使AM+CM的值最小，即可转化为同侧两
点到定直线上一动点的和的最小值问题．易知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，则直线BC与抛物
线的对称轴的交点即为点M，联立解析式求交点坐标即可．
【思维教练】要求点 N的坐标，可根据点 N是抛物线 L上的一点，设出点 N的坐标，进而表示出
S△OCN，而△ABC的面积易求得，再根据S△ABC= 2S△OCN列等量关系式，即可得解．
证明：存在．由题意知，抛物线的对称轴为直线 x= 1，如解图，则直线BC与直线 x= 1的交点即为所
求作的点M，
∵点A与点B关于直线 x= 1对称，
∴AM=MB，∴CM+AM=CM+MB=BC，
14
∴△ACM的周长为AC+BC，
在直线 x= 1上任取一点M ′，连接CM ′、BM ′、AM ′，
∵AM ′ =M ′B，
∴CM ′ +AM ′ =CM ′ +M ′B≥BC，
∴AC+CM ′ +AM ′ ≥AC+BC，
∴当点M在直线BC与直线 x= 1的交点时，△ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为 y= kx+ d，
3k+d=0 k=1
将B、C的坐标分别代入，得 =- ，解得d 3 ，d=-3
∴直线BC的解析式为 y= x- 3，
∴当 x= 1时，y= 1- 3=-2，
∴M (1，-2)；
解：存在．设点N坐标为 (n，n2- 2n- 3)，
∵AB=OA+OB= 1+ 3= 4，OC= 3，
∴S 1△OCN= 2 OC·|n| =
1
2 × 3× |n|，S
1 1
△ABC= 2 AB·OC= 2 × 4× 3，
∵S△ABC= 2S△OCN，
∴ 12 × 4× 3= 2×
1
2 × 3× |n|，
∴ |n| = 2，∴n=±2，
当n= 2时，n2- 2n- 3=-3，∴N (2，-3)，
当n=-2时，n2- 2n- 3= 5，∴N (-2，5)，
综上所述，符合条件的点N的坐标为 (2，-3)或 (-2，5)．
例题4.在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2- 2x- 3与 x轴交于点A，B，与 y轴交于点C，对称轴交
抛物线于点D，交 x轴于点 E；如图，点 F是线段DE上的动点 (点 F与点D不重合)，连接AF，作 FG⊥
AF，交第四象限内的抛物线于点G，作GH⊥DE于点H，若S△AEF= 4S△FHG，求点F的坐标．
　　　　　　
①△AEF∽△FHG；
【解法提示】∵ FG⊥ AF，∴ ∠AFG = ∠AFE + ∠GFH = 90°，∵ GH⊥ DE，∴ ∠GHF = 90°，∴
∠GFH+∠FGH= 90°，∴∠AFE=∠FGH，∵∠AEF=∠FHG= 90°，∴△AEF∽△FHG.
15
② 2；
S 2
【解法提示】∵ △AEF ∽ △FHG，∴ △AEF = AE ，AE = EF ，∵ S = 4S AES FH FH HG △AEF △FHG，∴ =△FHG FH
EF = 2.
HG
③m- 1；
【解法提示】∵A(-1，0)，对称轴是直线 x= 1，∴AE= 2，∴ FH= 1，设点 F的坐标为 (1，-m)，则
EF=m，∴EH=EF-FH=m- 1.
④ 12 m；⑤
1
2 m+1，1-m ；⑥ (1，2- 2 6 )；
【解法提示】∵ EF = m，∴ HG = 12 EF =
1
2 m，∵ F ( 1，-m )，FH = 1，∴ 点 G 的坐标为
1
2
2 m+1，1-m ，把
1 m+1，1-m 代入 y= x2- 2x- 3得， 1 12 2 m+1 - 2× 2 m+1 - 3= 1-m,
解得m1=-2+ 2 6，m2=-2- 2 6 (舍去)，∴点F的坐标为 (1，2- 2 6 ).
16
题型3 线段长度问题
1.线段关系
3 m
例题1.一次函数 y=- 2 x+ 9 ,如图，该一次函数的图象与反比例函数 y= x (m> 0)的图象相交于
点C(x1，y1)，D(x2，y2)，与 y轴交于点E，且CD=CE，求m的值．
解：如解图，分别过点C、D作CG⊥ y轴于点G，DH⊥ y轴于点H.
设点C坐标为 (a，b)，由已知得 ab=m.由 (1)得点E坐标为 (0，9)，
则GE= 9- b.
∵GC∥HD，CD=CE，
∴HD= 2a，EH= 2(9- b)，∴OH= 9- 2(9- b) = 2b- 9，
∴点D坐标为 (2a，2b- 9)，∴ 2a·(2b- 9) =m，整理得m= 6a.
∵ ab=m，∴ b= 6.则点D坐标为 (2a，3)．
∵点D在函数 y=- 32 x+ 9图象上，∴ a= 2，∴m= ab= 12.
2.线段的最值
8
例题1.如图，直线 y= 2x+ 6与反比例函数 y= x 的图像交于点A 1,8 ，与 x轴交于点B，平行于 x
轴的直线 y= n(0< n< 6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM．直线 y= n沿 y轴方
向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

解：由题意，点M，N的坐标为M 8n ，n ，N
n-6
2 ，n ，
∵ 08 - n-6n 2 ，
∴S = 1 MN 1 8 n-6 1 × y = × - ×n=- n-3 2+ 25△BMN 2 M 2 n 2 4 4 ，
∵- 14 < 0，∴n= 3时，△BMN的面积最大，最大值为
25
4 ．
17
变式8 如图,直线 y= x+ 2 1 5与抛物线 y= 2x2- 8x+ 6相交于A 2 , 2 和B(4
, 6) ,点P是直线AB上的动点,设点P的横坐标为 n ,过点P作PC⊥ x轴,交抛物
线于点C ,交 x轴于点M .当点P在线段AB上运动时 (点P不与点A ,B重合) ,是
否存在这样的点P ,使线段PC的长有最大值 若存在,求出这个最大值;若不存在,
请说明理由;
解：(1)存在. 1易知点 P的坐标为 (n , n+ 2) ( 2 < n< 4) ,点 C的坐标为 (n ,
2n2- 8n+ 6),
∴PC= (n+ 2) - (2n2- 8n+ 6) =-2n2+ 9n- 4=-2(n- 94 )
2+ 498 .
∵-2< 0 ,∴当n= 94 时,
49
线段PC的长取得最大值 8 .
变式9 如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y= x+ 3交 x轴于点A，交 y轴于点B，过A，B两点的
抛物线 y=-x2- 2x+ 3交 x轴于另一点C．点P是直线AB上方的抛物线上一点 (不与点A，B重合)，
过点P作 x轴的垂线交 x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G.求出△PFG周长的最大值；
y
P B
G
F
A C
H x
解：由题意可知△PFG是等腰直角三角形．△PFG周长= ( 2+ 1)PF
设P(m，-m2- 2m+ 3)，则F(m, m+ 3)．
∴PF=-m2- 2m+ 3-m- 3=-m2- 3m.
2
∴△PFG周长为-m2- 3m+ 2 (-m2- 3m) =- ( 2+ 1) + 3 + 9( 2+1) m 2 4 .
∴ =- 3 9( 2+1)当m 2 时，△PFG周长最大，最大值为 4 ；
例题2.如图,抛物线 y= 4x2- 16x+ 12与 x轴交于A 1,0 、B 3,0 两点,与 y轴交于点C .若点D
为直线BC下方抛物线上一动点,当△BCD的面积最大时,求点D的坐标.
y y
C C
H
A B x A B x
D D
解：过点D作DH OC交BC于点H.设D m,4m2-16m+12 .易得直线BC的解析式为 y=-4x
+ 12 ,则H m,-4m+12 ,DH=-4m2+ 12m,
2
∴S△DBC=S
1 2
△DHC+S△DHB= 2 -4m +12m 3=-6 m-
3
2 +
27
2 .
∵-6< 0 ,∴当m= 32 时, △DBC的面积最大,此时D
3
2 ,-3 .
变式10 如图，已知抛物线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与 y轴交于C(0，3)
18
点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为 t.，连接BC，PB，PC，设△PBC的面
积为S.求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
y
C P
A B
x
解：在图 2中，过点P作PF∥ y轴，交BC于点F.设直线BC的解析式为 y=mx+n(m≠ 0)．
( ) ( ) = + 3m+n=0， m=-1，将B 3，0 ，C 0，3 代入 y mx n，得 = 解得 = ∴直线BC的解析式为 y=-xn 3. n 3.
+ 3.
y
∵P(t，-t2+ 2t+ 3)，∴F(t，-t+ 3)．
∴PF=-t2+ 2t+ 3- (-t+ 3) =-t2+ 3t. C P
∴S= 12 PF·OB=-
3 t2+ 92 2 t；
2 A F B
∵S=- 32 t-
3
2 +
27
8 . x
∵- 32 < 0，开口向下.∴当 t=
3 27
2 时，S取最大值，最大值为 8 .
∵B(3，0)，C(0，3)，∴BC= OB2+OC2= 3 2 .
27
∴P BC 8
×2 9 2 3 15
点到直线 的距离的最大值为 = 8 ，此时点P的坐标为 2 ，4 .3 2
变式11 3如图,直线 y= 4 x+ 3.分别与 x轴、y轴交于点A -4,0 、B 0,3 ,抛物线 y=-x
2+ 2x+
1与 y轴交于点C .点P x,y 是抛物线 y=-x2+ 2x+ 1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为 d ,
求 d关于 x的函数解析式,并求 d取最小值时点P的坐标;
解:如图①,过P作PH⊥AB于点H ,过H作HQ⊥ x轴,过P作PQ⊥ y轴,两垂线交于点Q ,则
∠AHQ=∠ABO ,且∠AHP= 90°,
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO= 90°,
19
∴∠PHQ=∠BAO ,且∠AOB=∠PQH= 90° ,∴△PQH∽△BOA ,∴ PQ = HQ = PH .
BO AO BA
设H m, 34 m+3 ,则PQ= x-m ,HQ=
3
4 m+ 3- -x
2+2x+1 .∵A -4,0 ,B 0,3 ,
3 2
∴OA= 4 ,OB= 3 ,AB= 5 , PH= d ,∴ x-m 4
m+3- -x +2x+1
且 3 = =
d
4 5 ,
2
m d= 4 x2- x+ 8 = 4 x- 5 + 103整理消去 可得 5 5 5 8 80 .
∵ 4 > 0 ,∴ x= 5
2
5 当 8 时, d有最小值,此时 y=-
5 + 2× 58 8 + 1=
119
64
∴当 d 5 119取得最小值时,点P的坐标为 8 , 64 .
(2)若点 E在抛物线 y=-x2+ 2x+ 1的对称轴上移动,点 F在直线AB上移动,求CE+EF的最小
值.
②
(3)如图 2 ,设点C关于抛物线对称轴的对称点为C ,由对称的性质可得CE=C E,
∴CE+EF=C E+EF,
∴当F、E、C 三点一线且C F与AB垂直时,CE+EF最小.
∵C 0,1 ,∴C 2,1 ,
2
由 (2) 4 5 103 14可知当 x= 2时, d= 5 × 2- 8 + 80 = 5 ,
即CE+EF 14的最小值为 5 .
变式12 如图，在平面直角坐标系中，已知点 B的坐标为 (-1，0)，且OA=OC= 4OB，抛物线 y=
ax2+ bx+ c(a≠ 0)图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时
点P的坐标及PD的最大值．
解：(1) ∵B(-1，0)，∴OB= 1.
又∵OA=OC= 4OB，∴OA=OC= 4，∴A(4，0)，C(0，-4)；
16a+4b+c=0 a=1
(2)将A、B、C三点坐标代入 y= ax2+ bx+ c得， a-b+c=0 ，解得 b=-3，c=-4 c=-4
20
∴抛物线的解析式为 y= x2- 3x- 4；
(3)如解图，过点P作PE⊥ x轴交AC于点E，
∴PE∥ y轴．
∵OA=OC，
∴∠PED=∠OCA= 45°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴PD= 22 PE，
∴当PE取得最大值时，PD取得最大值，
易得直线AC的解析式为 y= x- 4，
设P(x，x2- 3x- 4)，则E(x，x- 4)，
则PE= (x- 4) - (x2- 3x- 4) =-x2+ 4x=- (x- 2)2+ 4，
∵ 0< x< 4，
∴当 x= 2时，PE取得最大值，最大值为 4，
此时PD 2取得最大值，最大值为 4× 2 = 2 2，
∴点P的坐标为 (2，-6)．
21
题型4 三角形
1.等腰三角形
方法一 几何法
如图已知点A(x , y) ,在 x轴上找一点P，使得三角形OAB为等腰三角形，求P点的坐标.
(下面以A(4 , 3)为例)
y A
O x
方法一几何法 (分两类①OA为腰②OA为底边)
①OA为腰
1、以O为圆心OA的长为半径做圆，交 x轴与P1和P2
y 解：∵A(4 , 3)
∴OA= 32+42A = 5
∵P1和P2在圆上
∴OP1和P2的长为 5
P1 O P2x ∴P1(-5 , 0) ,P2(5 , 0)
2、以A为圆心OA的长为半径做圆，交 x轴与P3和原点 (舍去)
y 解：∵P3在圆上,∴OP3=OA
A 过点A作AC⊥ x轴，则C(4 , 0)
y A
O P3 x
O C P3 x
∵OP3=OA ,∴C为OP3的中点
∴P3(8 , 0)
②OA为底边
3、作OA的垂直平分线，交 x轴于点P4 解：连接AP4 ,并过A点作AB垂直 x轴与点B
y y
A
A
O P4 B x
O P4 x 设OP4= x ,则AP4= x ,BP4= 4- x ,AB= 3
在RtΔABP4中，由勾股定理得AP24 =BP24 +AB2 ,
即 x2= (4- x)2+ 32 , x= 25解得： 8 ,∴P (
25
4 8 , 0)
22
y
A
P1 P4 P2 P3 x
方法二 代数法
两点之间的距离公式
已知A(x1 , y1)、B(x2 , y2) ,则线段AB＝ (x1-x )22 +(y1-y 22)
例、已知点P(8 , 6) ,在 y轴上找一点M，使得△POM是等腰三角形.求出所有的M的坐标．
解：设M (0 ,m).
y
则OP= 10 ,OM= |m| ,PM= (8-0)2+(6-m)2 M
P(8,6)
①当OP＝OM时，即 10= |m|,
解得：m= 10或m=-10 ,所以P1(0 , 10) ,P2(0 ,-10) O x
②当OP=PM时，10= (8-0)2+(6-m)2,
解得：m= 0(舍)或m= 12 ,所以P3(0 , 12)
③当PM=OM时，|m| = (8-0)2+(6-m)2,
解得m= 25 ,所以P (0 , 256 4 3 )
综上所述：P1(0 , 10) ,P2(0 ,-10) ,P3(0 , 12) ,P4(0 , 256 )
练习题：如图已知A(4 , 4) ,B(1 , 0)，在 x轴上找一点C，使得ΔABC为等腰三角形
几何法：
y y y
A A A
O B x O B x O B x
代数法：
23
例题1. 1 4如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y= 2 x与双曲线 y= x 交于A(2 2， 2 )，B两点．
已知P是 x轴上一点，是否存在点P，使得△BOP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标？若不存在，
请说明理由．
解：存在．
∵直线 y= 1 42 x与双曲线 y= x 分别关于原点成中心对称，A(2 2， 2 )，∴B(-2 2，- 2 )，
∴OB= (-2 2)2+(- 2)2= 10，
要使得△BOP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论：①当OB=OP时；②当OB=PB时；③当
OP=BP时，即可求解．
①当OB=OP时，即OP= 10，
∵P是 x轴上一点，
当点P在 x轴正半轴上时，如解图①，此时，P点的坐标为 ( 10，0)，
当点P在 x轴负半轴上时，如解图②，此时，P点的坐标为 (- 10，0)；
②当OB=PB时，根据题意，点P在 x轴负半轴，如解图③，过点B作BH⊥ x轴于点H，
∵OB=PB，∴BH垂直平分OP，
∵B(-2 2，- 2 )，∴P(-4 2，0)；
图③ 图④
③当OP=BP时，如解图④，过点B作BH⊥ x轴于点H，
根据题意得，OH= 2 2，BH= 2，设HP= a，∴OP=BP= 2 2- a，
在Rt△BHP中，BP= PH 2+BH 2，
∴ 2 2- a= a2+( 2)2，解得 a= 3 24 ，
∴OP=OH-HP= 2 2- 3 24 =
5 2
4 ，∴P -
5 2
4 ，0 .
综上所述，存在点P，使得△BOP为等腰三角形，点P的坐标为 ( 10，0)或 (- 10，0)或 (-4 2，0)
或 - 5 24 ，0 .
24
变式13 1如图，抛物线 y= 23 x -
1
3 x- 4与 x轴交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与 y轴交于点
C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥ x轴，垂
足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交 x轴于点E，交BC于点F.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角
形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
【思维教练】已知抛物线的解析式A，B，C三点均为抛物线与坐标轴的交点，分别令 y= 0，x= 0，求
解即可．
【思维教练】利用待定系数法可求得直线BC的解析式，利用勾股定理计算出AC的长，设点Q的坐标
为 (m，m- 4) (0三种情况讨论：①CQ=CA；②AQ=AC；③QA=QC，然后分别列方程求出m，即可得到对应的点Q
的坐标．
【思维教练】过点F作FG⊥PQ于点G，由△OBC为等腰直角三角形，可判断△FQG为等腰直角三
角形，则FG=GQ= 22 FQ，通过证明△FGP∽△AOC，再结合线段的和差关系继而得到QF与QP的
关系，QP的长可用含m的代数式表示出来，即可求得QF关于m的函数关系式，再利用函数的增减性即
可求解.
解：令 y= 0 1，得 23 x -
1
3 x- 4= 0，解得 x1=-3，x2= 4，
∴点A，B的坐标分别为 (-3，0)，(4，0)．由 x= 0，得 y=-4，
∴点C的坐标为 (0，-4)；
5 2 5 2
解：点Q的坐标为 2 ， 2 -4 或 (1，-3)；
解法提示：设直线BC的解析式为 y= kx+ b，(k≠ 0)
将B(4，0)，C(0，- ) = + , 4k+b=0 k=14 代入 y kx b 得 b=- ，解得4 b=- ，4
∴直线BC的解析式为 y= x- 4，
∵PM⊥ x轴，点P的横坐标为m，∴点Q的坐标为 (m，m- 4 )，
∵点Q在第四象限，∴m> 0，m- 4< 0，∴ 0∵A(-3，0)，C(0，-4)，
∴AC2=AO2+CO2= (-3)2+ (-4)2= 25，CQ2= (m- 0)2+[m- 4- (-4)]2= 2m2，
AQ2=[m- (-3)]2+ (m- 4)2= 2m2- 2m+ 25 ，
要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，
①当AC=CQ时，即AC2=CQ2，∴ 25= 2m2，解得m1= 5 22 ，m2=-
5 2
2 (舍去)，∴点Q的坐
25
标为 5 2 5 22 ， 2 -4 ；
②当AC=AQ时，即AC2=AQ2，∴ 25= 2m2- 2m+ 25，解得m3= 0 (舍去)，m4= 1，
∴点Q的坐标为 (1，-3)；
③当AQ=CQ时，即AQ2=CQ2，∴ 2m2- 2m+ 25= 2m2，解得m 255= 2 (舍去)．
Q 5 2 5 2综上所述，点 的坐标为 2 ， 2 -4 或 (1，-3)．
解：如解图，过点F作FG⊥PQ于点G，则FG∥ x轴，
由B(4，0)，C(0，-4)得△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠QFG= 45°，∴GQ=FG= 22 FQ.
∵PE∥AC，∴∠1=∠2.
∵FG∥ x轴，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.
∵∠FGP=∠AOC= 90°，
∴△FGP∽△AOC FG，∴ = GP FG，即 3 =
GP
4 ，AO OC
∴GP= 43 FG=
4
3 ·
2 2 2
2 FQ= 3 FQ，
∴QP=GQ+GP= 22 FQ+
2 2
3 FQ=
7 2 FQ ∴FQ= 3 26 ， 7 QP.
∵PM⊥ x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ= 45°，
∴QM=MB= 4-m，PM=- 1 23 m +
1
3 m+ 4，
∴QP=PM-QM=- 1 m2+ 13 3 m+ 4- (4-m) =-
1 2 4
3 m + 3 m，
∴QF= 3 2 QP= 3 2 - 1 m2+ 47 7 3 3 m =-
2 m2+ 4 27 7 m.
4 2
∵- 27 < 0，∴QF
7
有最大值，∴当m=- = 2时，QF有最大值．
2× - 27
变式14 如图，抛物线 y=- 3 2 94 x + 4 x+ 3与 x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与 y轴交于点C，点
P是第一象限内抛物线上一点，直线PD⊥BC于点D，交 x轴于点E，交 y轴于点F.
(1)当OE=DE时，求点E的坐标；
(2)是否存在这样的点P，使得以点C，F，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点
P的横坐标；若不存在，请说明理由．
26
解：(1)由抛物线解析式可知，C(0，3)，
∵A(-1，0)，B(4，0)，∴OA= 1，OB= 4，OC= 3，∴BC= OC2+OB2= 32+42= 5.
设OE=ED= x，则BE= 4- x.
∵PD⊥BC，∴∠EDB=∠COB= 90°.
∵∠EBD=∠CBO，∴△EDB∽△COB，
∴ ED = BE ，∴ x3 =
4-x 3
5 ，解得 x= 2 ，即OE=
3 3
CO BC 2
，∴E 2 ，0 ；
(2) P 47 31存在，点 的横坐标为 18 或 9 .
【解法提示】设点P的横坐标为m(0　第 3题解图
∴ PH=m，∵ ∠CFD + ∠FCD= 90°，∠CBO + ∠FCD= 90°，∴ ∠CFD= ∠CBO，又 ∵ ∠COB=
∠PHF= 90° ∴ △PHF∽△COB ∴ PH = HF = PF PH， ， ，即 3 =
HF = PF 4 4
CO OB CB 4 5
，∴HF= 3 PH= 3 m，
PF= 53 PH=
5
3 m，∵点P在抛物线上，∴ y =-
3 m2P 4 +
9 3
4 m+ 3，则 yF= yP-HF=- 4 m
2+ 94 m+
3- 4 m=- 3 2 113 4 m + 12 m+ 3.
①当 CF = CP 时，∵ CF = CP，CD ⊥ PF，∴ 点 D 为 PF 的中点，由中点坐标公式可得，
x
D P
+xF yP+yF m 3 19
2 ， 2 ，即D 2 ，- 4 m2+ 12 m+3 .设直线 BC的解析式为 y= kx+ b(k≠ 0)，将点 B
3
(4，0)，C( ) 4k+b=0 k=-0，3 分别代入，得 ，解得 4 ∴
3
= ， 直线BC的解析式为 y=- 4 x+ 3.将D点坐b 3 b=3
标代入直线BC 3 m的解析式可得，- 4 × 2 + 3=-
3
4 m
2+ 1912 m+ 3 m=
47
，解得 18 或m= 0(舍去)；
②当CF=PF时，CF= y - y = 3- - 3 m2+ 11C F 4 12 m+3 =
3 2 11 5
4 m - 12 m，PF= 3 m ∴
3
， 4 m
2-
11
12 m=
5 31
3 m，解得m= 9 或m= 0(舍去)；
③当CP=PF时，∵ ⊥ y +yPH CF F，由三线合一知，H为CF中点，则 yH= C 2 = yP，代入坐标可得
3+ - 3 m2+ 114 12 m+3 =- 3 m2+ 9 432 4 4 m+ 3，解得m= 9 (舍去)或m= 0(舍去)；综上所述，满足条件
47 31
的点P的横坐标为 18 或 9 .
27
变式15 1 1如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=- 23 x + 3 x+ 4与 x轴交于点A和点B，与 y轴
交于点C，OB=OC= 4，点D(1，4)在抛物线上，连接BD，CD，点E是抛物线的对称轴上一点．
(1)连接DE，当DE平分∠CDB时，求点E的坐标；
(2)点F是平面直角坐标系内一点，当点 E在 x轴上方时，是否存在这样的点 E，使以点B，C，E，F
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第 1题图
(1) ∵C(0，4)，∴CD∥ x轴，如解图，延长DE交 x轴于点F，则∠CDF=∠BFD，
∵DE平分∠CDB，∴∠CDF=∠BDF，∴∠BDF=∠BFD，∴BD=BF，
作DG⊥BF于点G，则DG= 4，OG= 1，∴BG= 3，
在Rt△BDG中，根据勾股定理得，BD= 5，∴BF= 5, ∴点F坐标为 (-1，0)，
设直线DF的解析式为 y= kx+ b1(k≠ 0)，
( k+b =4 k=2将D 1，4)，F(-1，0)代入，得 1 - + = ，解得 = ，∴直线DF的解析式为 y= 2x+ 2，k b1 0 b1 2
y=- 1 x2+ 1由 3 3 x+ 4
1
可得，抛物线的对称轴为直线 x= 2 ，
∴ E 1 1点 的横坐标为 2 ，把 x= 2 代入 y= 2x+ 2得，y= 3，
∴ E 1点 的坐标为 2 ，3 ；
(2) 1 79存在，点E的坐标为 2 ， 2
1 4+ 127或 2 ， 2 或
1 1
2 ，2 .
1 1 49
设点E的坐标为 2 ，n ，∵点C(0，4)，点B(4，0)，∴CE 2= 4 + (n- 4)
2，BE 2= 4 + n
2，BC 2=
32，
当BC为边时，
①若BE=BC，则BE 2=BC2 49，即 + n24 = 32
79
，解得 n=± 2 ，∵点E在 x轴上方，∴点E的坐标
为 1 792 ， 2 ；
②若CE=BC 1 127，则CE 2=BC 2，即 4 + (n- 4)
2= 32，解得 n= 4± 2 ，∵点E在 x轴上方，∴点
E 1 127的坐标为 2 ，4+ 2 ；
当BC为对角线时，则CE=BE，∴CE 2=BE 2 1，即 4 + (n- 4)
2= 494 + n
2 1，解得 n= 2 ，∴点E的
1 1
坐标为 2 ，2 ；
28
综上所述，点E 1 79的坐标为 2 ， 2 或
1 4+ 1272 ， 2
1 1
或 2 ，2 .
变式16 如图，抛物线 y= 1 x2+ 14 2 x- 2与 x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C(0，-2)，点A的坐
标是 (2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥ x轴于点D，交直线BC于点E.若点P在第二象
限内，，若M为直线BC上一点，在 x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．
①当DM=DB= 1时，如解图①，过点M作MF⊥ x轴于点F，
设M m - 1， 2 m-2 ，
则MF=- 12 m- 2，DF=-m- 5，
∵MF 2+DF 2=DM 2，
2
∴ - 12 m-2 + (-m- 5)
2= 1，
m=- 28解得 5 或m=-4(舍去)．
∴ 28 4点M的坐标为 - 5 ，5 ；
解图①
②当BD=BM= 1时，如解图②，过点M作 x轴的垂线，垂足为N，
∵DE⊥ x轴，
∴DE∥MN，
∴BN ∶BD=BM ∶BE，
∴BN ∶ 1= 1 ∶BE.
∵E -5 1，2 ，
∴DE= 12 ，
∴BE= 52 ，
∴BN ∶ 1= 1 ∶ 5 BN= 2 52 ，解得 5 .
∴点M 2 5的横坐标为-4- 5 ，
29
x=-4- 2 5将 5 代入 y=-
1
2 x- 2
5 2 5 5
，得 y= 5 ，即点M的坐标为 -4- 5 ，5 ．
28 4 2 5 5
综上所述，点M的坐标为 - 5 ，5 或 -4- 5 ，5 ．
解图②
2.直角三角形
已知A(4 , 3)在 x轴上找一点P使得△OPA为直角三角形
y A
O x
y
A ①当P为直角时
过A作AP1⊥ x轴，交 x轴于P1 ,此时P(4 , 0)
O P1 x
y ②当A为直角时，以A为垂足作OA的垂线，交 x轴于P2.A 设P(m , 0)
在Rt△AP2O中，由勾股定理得：AP2 2 22 +OA =OP2
P ( 25解得： 2 3 , 0)O P2 x
练习题：如图已知A(4 , 4) ,B(1 , 0)，在 x轴上找一点C，使得ΔABC为直角三角形。
y
A
O B x
例题1. 2如图，正比例函数 y= 2x的图象与反比例函数 y= x 的图象交于A(1 , 2)、B(-1 ,-2)两点，
过点A作AC垂直 x轴于点C，连结BC． x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求
出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
30
①当AD⊥AB时，如图 1
设直线AD的关系式为 y=- 12 x+ b，将A(1，2)代入上式得：b=
5
2 ，
∴直线AD的关系式为 y=- 12 x+
5
2 ，令 y= 0得：x= 5，∴D(5，0)；
②当BD⊥AB时，如图 2，
设直线BD的关系式为 y=- 12 x+ b，将B(-1，-2)代入上式得：b=-
5
2 ，∴直线AD的关系式为 y
=- 12 x-
5
2 ，令 y= 0得：x=-5，∴D(-5，0)；
③当AD⊥BD时，如图 3，
∵O为线段AB的中点，∴OD= 12 AB=OA ,∵A（1，2），∴OC，AC= 2，由勾股定理得：OA=
OC2+AC2= 5
∴OD= 5 ,∴D（ 5 , 0）
故 x轴上存在一点D，使得△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）（，-5，0）（， 5 , 0）（，- 5 , 0）
变式17 3 15如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 24 x - 4 x+ 3与 x轴相交于A、B两点，与 y轴相
3
交于点C，直线 y=- 4 x+ 3经过B、C两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC= 5.
在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】要求点 P坐标，可用未知数 t将点 P坐标表示出来，再分别用含 t的式子表示出 PC、
PB、BC的长度，△PBC为直角三角形时，分∠BCP= 90°，∠PBC= 90°，∠BPC= 90°，这三种情况讨论，
利用勾股定理列方程求解.
31
- 15
解：存在．对称轴 l为直线 x=- 4 5
2× 3
= 2 ，
4
设点P 5的坐标为 2 ，t ，如解图，过点C作CD⊥ l于点D，连接PC，PB，设直线 l与 x轴的交点为
M 5 5点 ，则点D的坐标为 2 ，3 ，点M的坐标为 2 ，0 ，
CD= 5 PD= |t- 3| PM= |t| BM= 4- 5 3则 2 ， ， ， 2 = 2 ，
∴PC2=CD2+PD2= 25 + (t- 3)2 PB2=PM 2+BM 2= t2+ 94 ， 4 ，BC
2= 25，
当△BCP是直角三角形时，则有：
(i)当∠BCP= 90°时，即PC⊥BC，有PC2+BC2=PB2，
25
即 4 + (t- 3)
2+ 25= t2+ 9 19 5 194 ，解得 t= 3 ，此时点P的坐标为 2 ，3 ；
(ii)当∠PBC= 90°时，即BP⊥BC，有BP2+BC2=PC2，
即 t2+ 94 + 25=
25
4 + (t- 3)
2，解得 t=-2 5，此时点P的坐标为 2 ，-2 ；
(iii)当∠BPC= 90°时，即CP⊥BP，有BP2+PC2=BC2，
t2+ 9 + 25即 4 4 + (t- 3)
2= 25 t = 3+2 6，解得 1 2 ，t =
3-2 6
2 2 ，
此时点P 5 3+2 6 5 3-2 6的坐标为 2 ， 2 ， 2 ， 2 ，
综上可得，存在满足条件的点P，点P的坐标为 5 19 5 -2 5 3+2 62 ，3 ， 2 ， ， 2 ， 2 ，
5 3-2 62 ， 2 ．
变式18 1如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 2 x
2- 2x- 6与 x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两
点，与 y轴交于点C，点D(2，-8)是抛物线的顶点，直线AD交 y轴于点E.如图②，将△AOE沿直线AD
平移得到△FGH .若点P是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点P，使以点C，G，H，P为顶点的
四边形是矩形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
32
解：存在，把 x= 0代入 y= 1 22 x - 2x- 6，得 y=-6，∴点C的坐标为 (0，-6).
当以点C，G，H，P为顶点的四边形是矩形时，则以点C，H，G为顶点的三角形是直角三角形，
∴分以下三种情况讨论：
①如解图②，若∠CHG= 90°，
∵点C的坐标为 (0，-6)，∴点H的纵坐标为-6，
把 y=-6代入 y=-2x- 4得-2x- 4=-6，解得 x= 1，
∴点H的坐标为 (1，-6)，把 x= 1代入 y=-2x得，y=-2，∴点G的坐标为 (1，-2).
图② 图③
②如解图③，若∠CGH= 90°，把 y=-6代入 y=-2x得-2x=-6，解得 x= 3，
∴点G的坐标为 (3，-6).
③如解图④，当∠GCH= 90°时，
设点G的坐标为 (m，-2m)，则点H的坐标为 (m，-2m- 4)，
作CM⊥GH于点M，∴CM=m，GM=-2m+ 6，HM= 2m- 2，
∠GMC=∠CMH= 90°，
∵∠GCM+∠MCH= 90°，∠MCH+∠CHM= 90°，
∴∠GCM=∠CHM，∴△CGM∽△HCM，∴ CM = GMHM ，CM
∴CM 2=GM ·HM，即m2= (-2m+ 6) × (2m- 2) ，解得m1= 2，m = 62 5 ，
∴点G的坐标为 (2，-4)或 6 125 ，- 5 .
综上所述，点G的坐标为 (1，-2)或 (3，-6)或 (2，-4)或 6 125 ，- 5 .
变式19 1如图，抛物线 y= 2 x
2+ 32 x+ 2与 x轴交于点A(-1，0)，点B(4，0)，与 y轴交于点C，点D
与点C关于 x轴对称，点P是 x轴上一个动点．设点P的坐标为 (m，0)，过点P作 x轴的垂线 l交抛物线
于点Q.在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
33
解：当∠QBD= 90°时，即QB⊥DB，设BQ所在直线的解析式为 y=-2x+ b，
将B(4，0)代入，得 b= 8，∴ y=-2x+ 8.
∵点Q是直线QB与抛物线的交点，
∴- 1 x22 +
3
2 x+ 2=-2x+ 8，解得 x1= 3，x2= 4.
∵B(4，0)，∴Q1(3，2)．
当∠QDB= 90°，即QD⊥DB，设QD所在直线的解析式为 y=-2x+ b，
将D(0，-2)代入，得 b=-2，∴ y=-2x- 2.
∵点Q是直线QD与抛物线的交点，
∴- 1 22 x +
3
2 x+ 2=-2x- 2，解得 x1= 8，x2=-1.
∴Q2(8，-18)，Q3(-1，0)．
3.相似三角形
1. 试题类型：一般都是动点与定点构成的三角形与某一固定三角形相似，这就需要按角 (或边)的对
应关系进行分类．
2. 问题：如图①，△ABC为直角三角形，在直线CB上是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形
与△AOB相似．
图① 图② 图③
3. 思维剖析：
34
注：对于上述情形 (一组对角相等)也可通过找另一组等角得到两三角形相似，分类方法相类似．
4. 坐标求法：通过相似关系 (一角相等且角的两边对应成比例)，得到相似比，建立方程，求得坐标．
例题1.如图，抛物线 y=-x2+ 4与 x轴交于A，B两点，与 y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动
点且在第一象限，过点P作 x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E.是否存在以点P，O，D为顶点的三
角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
y
C
P
A B
O D x
解：存在．设点P的坐标为 (x，-x2+ 4)，0< x< 2.
由于△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
2
①当△PDO∽△COA时，PD = OD ，即 -x +4 x 24 = 2 ，∴-x + 4= 2x.CO AO
解得 x1= 5- 1，x2=- 5- 1(舍去)．
当 x= 5- 1时，y= 2x= 2 5- 2，即P( 5- 1，2 5- 2)．
②当△PDO∽△AOC时，PD = OD ，即 -x
2+4
2 =
x
4 ，∴-x
2+ 4= x2 .AO OC
解得 x = -1+ 65 ，x -1- 653 4 4= 4 (舍去)．
当 x= -1+ 65 时，y= x = -1+ 65 ，即P -1+ 65 ，-1+ 654 2 8 4 8 .
综上所述，点P的坐标为 5-1，2 5-2 或 -1+ 65 ，-1+ 654 8 .
例题2.如图，已知抛物线 y=-x2+ 2x，顶点为A(1，1)，且与直线 y= x- 2交于B，C两点．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若点N为 x轴上的一个动点，过点N作MN⊥ x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N
为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】根据点 A、B、C的坐标求出 AB、BC、AC的长，利用勾股定理的逆定理即可证得
△ABC为直角三角形．
【思维教练】设点N的坐标为 (x，0)，继而表示出点M的坐标，从而用含 x的代数式表示出MN、ON
的长度，分情况：①点N在点B右侧；②点N在点B左侧，讨论△MNO和△ABC相似时，利用三角形相似
的性质可得 MN = ON 或 MN = ON ，即可分别求得点N的坐标.
BC AB AB BC
证明：∵A(1，1)，B(2，0)，C(-1，-3)，∴AB2= (2- 1)2+ (0- 1)2= 2，BC2= (-1- 2)2+ (-3- 0)2
35
= 18，AC2= (-1- 1)2+ (-3- 1)2= 20，∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形；
解：存在．设N (x，0)，则M (x ,-x2+ 2x)，由 (2)知，AB= 2，BC= 3 3，分两种情况讨论：
①若点 N在点 B右侧，即 x> 2，x与-x2+ 2x异号，如解图①，△M1N1O∽△ABC或 △ON2M2∽
M N ON M N ON x2△ABC，则 1 1 = 1 或 2 2 = 2 ，即 -2x = x x
2
或 -2x = x ，
AB BC BC AB 2 3 2 3 2 2
解得 x 71= 3 ，x2= 5，x3= 0(舍去)，
∴点N1、N2的坐标为 73 ，0 ，(5，0)；
②若点N在点B左侧，即 x< 2，x与-x2+ 2x同号，如解图②，△M3N3O∽△ABC或△ON4M4∽
△ M N ON M N ONABC，则 3 3 = 3 或 4 4 = 4 ，
AB BC BC AB
即 -x
2+2x = x 或 x
2-2x = -x ,解得 x = 5 ，x =-1，x = 0(舍去)，
2 3 2 3 2 2 1 3 2 3
∴点N 、N 的坐标为 53 4 3 ，0 ，(-1，0)；
综上所述，存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
满足条件的点N的坐标为 73 ，0 ，(5，0)，
5
3 ，0 ，(-1，0)．
变式1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+ bx+ c与 x轴交于点A，点B(3，0)，与 y轴交于
点C，直线 y= x+ 1与抛物线交于点D(2，m)，点E是抛物线的顶点，连接AE，DE.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在点 F(与点A不重合)，使△DEF与△DEA全等？若存在，请求出
点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是直线AD上一点，是否存在这样的点P，使△DEP∽△DAE？若存在，请求出点P的坐
36
标；若不存在，请说明理由．
第 1题图 备用图
1. 解：(1)将点 (2，m)代入 y= x+ 1得，m= 3，∴D(2，3)，
把点 (3，0)，(2，3)代入 y=-x2+ bx+ c得，
-9+3b+c=0 b=2 - + + = ，解得4 2b c 3 = ，c 3
∴抛物线的解析式为 y=-x2+ 2x+ 3；
(2)存在．
∵ y=-x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4，
∴E(1，4)，抛物线的对称轴为直线 x= 1，
∵D(2，3)，∴DE 2= (2- 1)2+ (3- 4)2= 2，
∵B(3，0)，∴由抛物线的对称性可得A(-1，0)，
∴AE 2= (-1- 1)2+ (0- 4)2= 20，AD2= (-1- 2)2+ (0- 3)2= 18，
在△ADE中，DE 2+AD2= 20=AE 2，∴∠ADE= 90°，
要使△DEF与△DEA全等，则DE为公共边，点A与点F为对应点，分以下三种情况讨论：
如解图①，当点F在DE的左侧，且在直线AD外，设为点F1，即△DEF1≌△EDA时，
则EF1∥AD，EF1=AD，
由平移的性质可知，F1(-2，1)；
当点F在DE的右侧，且在直线AD外，设为点F2，
即△DEF2≌△EDA时，同理可得F2(4，7)；
当点F在DE的右侧，且在直线AD上，设为点F3，
即△EDF3≌△EDA时，
则DF3=DA，由平移的性质可得，F3(5，6)
综上所述，点F的坐标为 (-2，1)或 (4，7)或 (5，6)；
第 1题解图①
(3)存在．
∵∠EDA= 90°，∴ DE DP点P可以分别在点D的两侧，且当 = DE 时，△DEP∽△DAE，DA
由 (2)可得DE 2= 2，DA2= 18，∴DE= 2，DA= 3 2 ∴ 2 = DP 2， ，∴DP=
3 2 2 3
，
37
∴AP= 8 2 AP= 10 23 或 3 ，
如解图②，作PQ⊥ x轴于点Q，易得∠DAB= 45°，
第 1题解图②
∴AQ=PQ= 8 103 或 3 ，
∴ P 5 8 7 10点 的坐标为 3 ，3 或 3 ，3 .
变式2 如图①,经过原点O的抛物线 y= 2x2- 3x 3与 x轴交于另一点A 2 ,0 ,在第一象限内与直
线 y= x交于点B 2,2 .
y
B
O A x
如图,已知C 1,-1 ，若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO ,是否存在点P ,使得△POC∽
△MOB 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y y
N B N B
M M G
P
O A x O H A x
C
存在.如图 2 ,连接AB、OM ,设MB交 y轴于点N .
∵B 2,2 ,∴∠AOB=∠NOB= 45°.
∠AOB=∠NOB,
在△AOB和△NOB中, OB=OB, ∴△AOB △NOB ,∴ON=OA=
3
2 ,∴N 0,
3
2
.
∠ABO=∠NBO,
设直线BN的解析式为 y= kx+ 32 ,把B
3
点坐标代入得 2= 2k+ 2 ,解得 k=
1
4 ,
∴直线BN 1 3的解析式为 y= 4 x+ 2 .
38
y= 1
3
4 x+
3
2 , x=2,
x=-
BN 8
,
联立直线 和抛物线解析式可得 解得 或 ∴M -
3
8 ,
45
y=2x2-3x, y=2, y= 45 , 32
.
32
∵C 1,-1 ,∴∠COA=∠AOB= 45° ,且B 2,2 ,
∴OB= 2 2 ,OC= 2 .
∵△MOB∽△POC ,∴ OM = OB = 2 , ∠POC=∠BOM .当点P在第一象限时,如图 3 ,过点M作
OP OC
MG⊥ y轴于点G ,过点P作PH⊥ x轴于点H.
∵∠COA=∠BOG= 45° ,∴∠MOG=∠POH ,且∠PHO=∠MGO,
∴△MOG∽△POH ,∴ OM = MG OG
OP PH
= = 2.
OH
∵M - 3 , 45 ,∴MG= 3 ,OG= 45 ,∴PH= 18 32 8 32 2 MG=
3 1 45 45 3
16 ,OH= 2 OG= 64 ,∴P 64 , 16 .
∴P - 3 4516 ,- 64 .
45 3
综上,存在满足条件的点P ,其坐标为 64 , 16 或 -
3
16 ,-
45
64 .
3. 1例题 如图，在直角坐标系中，直线 y=- 2 x+ 3与 x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为 x= 1的
抛物线过B, C两点，且交 x轴于另一点A，连接AC.
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，
求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1. 解：(1)A(-4，0)，B(6，0)，C(0，3)，抛物线的解析式为 y=- 1 x2+ 18 4 x+ 3；
【解法提示】令 y=- 12 x+ 3= 0，解得 x= 6，令 x= 0，得 y= 3，∴B(6，0)，C(0，3)．∵抛物线的对
称轴为 x= 1，且过点B、A，∴抛物线与 x轴的另一交点A坐标为 (-4，0)，设抛物线的解析式为 y= a(x
+ 4) (x- 6)，将点C(0，3)代入得-24a= 3，解得 a=- 18 .∴ y=-
1
8 (x+ 4) (x- 6) =-
1 2 1
8 x + 4 x+ 3
(2)如解图①，过点P作PG⊥ x轴于点G，交BC于点Q，过点P作PH⊥BC于点H.
∵OC= 3，OB= 6，
∴BC= OC2+OB2= 3 5 .
又∵∠HQP=∠GQB，
∴∠HPQ=∠CBO，
∴ sin∠HPQ= sin∠CBO= 55 .
故点P到直线BC的距离最大，即PQ最大．
设P m，- 1 2 18 m + 4 m+3 ，Q m，-
1
2 m+3 ，
∴PQ=- 18 m
2+ 14 m+ 3- -
1
2 m+3 =-
1
8 (m- 3)
2+ 98 .
∵- 18 < 0，
39
∴当m= 3时，PQ有最大值为 98 .
∴P 3，218 ；
解图①
(3)存在．
由 (1)得A(-4，0)、B(6，0)、C(0，3)，
∴AB= 10，AC= 32+42= 5.
分为两种情况分类讨论：
①当△ABC∽△AQB时，如解图②所示．
∴ AC = AB ，∠CAB=∠BAQ.
AB AQ
∴AQ= AB
2 2
= 105 = 20，AC
过点Q作QD⊥ x轴，垂足为点D，
∴QD=AQ·sin∠BAQ= 20× 35 = 12，
AD=AQ·cos∠BAQ= 20× 45 = 16.
∴Q(12，-12)．
解图②
②当△ABC∽△BQA时，如解图③所示，
∴ AB = AC ，∠CAB=∠ABQ.
BQ AB
2
∴BQ= AB = 20，
AC
过点Q作QE⊥ x轴，垂足为E，
同理可得QE=BQ·sin∠ABQ= 20× 35 = 12，BE=BQ·cos∠ABQ= 20×
4
5 = 16，
∴Q(-10，-12)．
综上所述，点Q的坐标是 (12，-12)或 (-10，-12)．
解图③
40
题型5 四边形
1.平行四边形
性质 1：对应边平行且相等；性质 2：对角线互相平分．
x
性质 1：对边平行且相等可转化为： A-xB=xD-xC - = - ，可以理解为点 B移动到点A，点 C移动到点yA yB yD yC
D，移动路径完全相同．
x +x
A C = xB+xD2 2
性质 2：对角线互相平分转化为： y +y y +y ，可以理解为AC的中点也是BD的中点． A C = B D 2 2
xA+xC=xB+xD即当AC和BD为对角线时： yA+yC=yB+yD
若坐标系中的 4个点A、B、C、D满足“xA+ xC= xB+ xD”，则四边形ABCD是否一定为平行四边
形？答案是否定的，反例如下：
例题1.如图，已知A(1，2)、B(5，3)、C(3，5)，在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点
的四边形是平行四边形．
41
答案：(3 , 0) ; (7 , 6) ; (-1 , 4)
例题2.如图，已知A(1，1)、B(3，2)，点C在 x轴上，点D在 y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形
是平行四边形，求C、D坐标．
答案：CD分别为 (2 , 0) , (0 ,-1)或 (-2，0) (0，1)或 (4，0）(0，3)
12
例题3.如图,反比例函数 y= x 过点A(3 , 4) ,直线AC与 x轴交于点C(6 , 0) ,过点C作 x轴的垂
线BC交反比例函数图象于点B(6 , 2).
在平面内有点D ,使得以A ,B ,C ,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D
点的坐标.
解：如图
综上所述,符合条件的点D的坐标是 (3 , 2)或 (3 , 6)或 (9 ,-2).
例题4.如图，已知抛物线 y= x2- 2x- 3 a≠0 经过点A(3，0)，B(-1，0)，C(0，-3)．若点Q在 x
轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
答案：(2 ,-3) , (1+ 7 , 3) , (1- 7 , 3)
变式3 y=- 1如图，抛物线 2 x
2- x+ 4与 x轴交于点A(-4，0)，B(2，0)，与 y轴交于点C(0，4)，线
42
段BC的中垂线与对称轴 l 交于点D，与 x轴交于点F，与BC交于点E.对称轴 l与 x轴交于点H.
(1)求点D的坐标；
(2)点P 1为 x轴上一点，点P的坐标为 3 ，0 ，点M为 x轴上方抛物线上的点，在对称轴 l上是否存
在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出N点坐标；若不存在，请
说明理由．
【思维教练】因为DE为线段BC的中垂线，故DB=DC，可设点D的坐标，构造直角三角形，利用勾
股定理解答即可．
【思维教练】因为点D、P已经确定，且点N在对称轴上，故根据要求形成平行四边形有两种情况，其
一是DP为边，可采用平移的方法判断出两个点；其二是DP为对角线时判断出第三个点.
∵ x=- -1解： 对称轴为 1 =-1，∴点D在对称轴 x=-1上，2× - 2
设D点的坐标为 (-1，m)，如解图①，过点C作CG⊥ l，垂足为G，连接DC，DB，
∵DE为BC的中垂线，∴DC=BD，
在Rt△DCG与Rt△DBH中，DC2= 12+ (4-m)2，DB2=m2+ (2+ 1)2，
∴ 12+ (4-m)2=m2+ (2+ 1)2，解得m= 1，∴点D的坐标为 (-1，1)；
83
解：存在，N1 -1，18 ，N2 -1
47
，18 ，N3 -1 -
47
， 18 ．
∵点P为 13 ，0 ，如解图②，
1
①若M1N1∥DP，则M1点横坐标为 3 ，
x= 1 y = 65 ∴N D=M P= 65 83将 3 代入抛物线表达式可得 M 18 ， 1 1 18 ，∴点N1的坐标为 -1，18 ；
43
②若M2N2∥DP 7，由抛物线的对称性得M2点横坐标为- 3 ，
代入抛物线表达式可得 yM=
65
18 ，yN- yP= yM- yD，
∴ y = 47 47N 18 ，∴点N2坐标为 -1，18 ；
③若DP为对角线，PM1∥N3D，已知 x = x 1 65M p，则PM1=N3D，由①得M1 3 ，18 ，
∵ yM- y
47
P= yD- yN , 解得 yN=- 18 ，
∴ N 47点 3的坐标为 -1，- 18 ，
N N -1 83 47综上所述，点 坐标为 1 ，18 ，N2 -1，18 ，N3 -1，-
47
18 ．
2.特殊的四边形
1 1
例题1.如图,抛物线 y= 24 x - 2 x- 2.的对称轴是直线 x= 1 ,与 x轴交于A、B两点,与 y轴交于
点 C ,点A的坐标为 -2,0 ,点 P为抛物线上的一个动点,过点 P作 PD⊥ x轴于点D 5,0 ,交直线
BC于点E.
y
P
E
B
A D x
C
若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N ,使得以点
B、D、M、N为顶点的四边形是菱形 若存在,请写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
44
解：存在.设M n, 12 n-2 .
①以BD为对角线,如图①.∵四边形BNDM是菱形,
∴MN垂直平分BD ,∴n= 4+5 ,∴M 9 , 12 2 4 .
∵M、N关于 x轴对称,∴N 9 12 ,- 4 .
②以BD为边,如图②.∵以点B、D、M1、N1为顶点的四边形是菱形,
∴M1N1 BD ,M1N1=BD=M1D= 1.
2
过M1作M1H⊥ x轴于点H 2 2 2 1 2 21 ,∴M1H1 +DH1 =DM1 ,即 2 n-2 + n-5 = 1 ,
2
解得n1= 4(不合题意,舍去) ,n = 28 ,∴N 232 5 5 ,
4
5 .同理:
1
2 n-2 + 4-n
2 = 1,
解得n 2 51= 4+ 5 (不合题意,舍去) ,n2= 4-
2 5
5 ,∴N
2 5 5
2 5- 5 ,- 5 .
③以BD为边,如图③.过M作MH⊥ x轴于点H,
45
2
∴MH 2+BH 2=BM 2 ,即 12 n-2 + n-4
2 = 12,
解得n1= 4+ 2 55 ,n2= 4-
2 5
5 (不合题意,舍去) ,∴N 5+
2 5 , 55 5 .
综上,当 N的坐标为 9 ,- 1 或 23 42 4 5 , 5 或 5-
2 5 ,- 55 5 或 5+
2 5 , 55 5 时,以点 B、
D、M、N为顶点的四边形是菱形.
46
题型6 角度
例题1.在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线 y= ax2(a> 0)上两个不同的动点，其中A在第二
象限，B在第一象限．
(1)如图①所示，当直线AB与 x轴平行，∠AOB= 90°，且AB= 2时，求此抛物线的解析式和A，B两
点的横坐标的乘积；
(2)如图②所示，在 (1)所求得的抛物线上，当直线AB与 x轴不平行，∠AOB仍为 90°时，A，B两点
的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)在 (2)的条件下，若直线 y=-2x- 2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交 y轴于点D，且
∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
【思维教练】设AB与 y轴交于点C，已知AB与 x轴平行，根据抛物线的对称性及∠AOB= 90°，可求
出点A(-1，1)，B(1，1)，把点B的坐标代入 y= ax2即可求得 a，A、B两点的横坐标的乘积为 xA·xB.
【思维教练】分别过点A、B作AM、BN垂直 x轴于点M、N，设A(c , c2)，B(b , b2) ，即可得出AM，
OM，ON，BN的长度，通过证明△AOM∽△OBN，利用相似三角形的性质即可得到关于 b，c的方程，继
而求得 bc的值，即可得解．
【思维教练】设A(c , c2)，B(b , b2)，利用点A、B的坐标求出直线AB的解析式，即可求出点D的坐
标，根据直线PC的解析式可求出点C的坐标，过点P作PG⊥ y轴于点G，设P(x ,-2x- 2)，继而求得
PG，PD，DG，在Rt△PDG中，利用勾股定理即可求出 x，点P的坐标即可求得.
解：如解图①，设直线AB与 y轴相交于点C，
∵抛物线关于 y轴对称，AB= 2，∴AC=BC= 1，
∵∠AOB= 90°，∴AC=BC=OC，
∴A(-1，1)，B(1，1)，∴ xA·xB=-1× 1=-1，
将B(1，1)代入 y= ax2，得 a= 1，∴抛物线解析式为 y= ax2；
47
解：A、B两点的横坐标的乘积是常数，为-1.
证明：如解图②，分别过点A、B作AM、BN垂直 x轴于点M、N，
设A(c , c2)，B(b , b2)，
∵∠AOB= 90°，
∴∠AOM+∠OAM=∠AOM+∠BON，∴∠OAM=∠BON，
又∵∠AMO=∠ONB= 90°，∴△AOM∽△OBN，
∴ AM = OM ，即 c
2
= -cBN 2 ，∴ b
2c2=-bc，
ON b b
∵ b、c均不能为 0，
∴ bc=-1，即A、B两点的横坐标的乘积是常数，为-1；
解：如解图②，过点P作PG⊥ y轴于点G，设AB的解析式为 y= kx+ t，
∵A(c , c2)，B(b , b2)，bc= -1，∴A - 1 ，1 ，b b2
将B(b , b2)，A - 1 ，1 代入直线AB的解析式 y= kx+ t，b b2
b
2=bk+t ①
得 ，①-②，得 b2- 1 = bk+ 1 1 =- 1 + k，即k t② b2 b b+
1 b- 1 = b+ 1 k，b b b
b2 b
∵ b+ 1 ≠ 0，∴ k= b- 1 ，将 k= b- 1 代入①，得 b2= b2- 1+ t，
b b b
∴ t= 1，即D(0，1)，当 x= 0时，y=-2x- 2=-2，即C(0，-2)，
设P(x，-2x- 2)，则PG=-x，OG= -2x- 2，DC= 3，OC= 2，OD= 1，
∴GD= OG-OD=-2x- 3，
48
∵∠BPC=∠OCP，∴DP=DC= 3，
在Rt△PGD中，PG2+DG2=PD2，即 x2+ (-2x- 3)2= 9，
∴ x1= 0 (舍去)，x2=- 125 ，
∴ y=-2x- 2= 14 ，∴P - 12 145 5 ，5 ．
例题1. 在平面直角坐标系中，抛物线 y= ax2+ bx+ 3(a≠ 0)与 x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，交 y
轴于点C，过点A的直线交 y轴于点D，交抛物线于点E(4，3)，点P是直线AE下方抛物线上一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接PD，PE，若∠EDP= 45°，求PE的长；
(3)如图②，连接PD，PE，分别以点D和点E为圆心，以PE和PD长为半径作弧，两弧在直线DE的
上方交于点F，连接DF，EF，求四边形PDFE面积的最大值．
第 1题图
1. 解：(1) ∵A(1，0)，B(3，0)两点在抛物线 y= ax2+ bx+ 3(a≠ 0)上，
∴将A(1，0)，B(3，0)代入 y= ax2+ bx+ 3，
a+b+3=0 a=1得 ，解得 ，9a+3b+3=0 b=-4
∴抛物线的解析式为 y= x2- 4x+ 3；
(2)设直线AE的解析式为 y= kx+m(k≠ 0)，将
A(1，0)，E(4，3)代入 y= kx+m，
k+m=0 k=1
得 + = ，解得4k m 3 ，m=-1
∴ y= x- 1，
∵点D在直线AE上，且在 y轴上，
∴将 x= 0代入 y= x- 1，得 y=-1，
∴点D(0，-1)，
∵A(1，0)，∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠ODA= 45°，∵∠EDP= 45°，∴∠ODP= 90°，
∴点P的纵坐标为-1，
将 y=-1代入 y= x2- 4x+ 3，得-1= x2- 4x+ 3，解得 x1= x2= 2，
∴P(2，-1)，
如解图①，过点E作 x轴的垂线，交DP的延长线于点F，则EF⊥DP，
49
　第 1题解图①
∵E(4，3)，P(2，-1)，
∴EF= 4，PF= 4- 2= 2，
∴在Rt△PEF中，PE= PF 2+EF 2= 22+42= 2 5；
(3)根据题意，将四边形面积最值转化为求三角形面积最值．
由题意可知，DF=EP，EF=DP，
∵DE=ED，∴△FDE≌△PED，
∴S△FDE=S△PED，∴S四边形PDFE= 2S△PED，
要求四边形PDFE面积的最大值，即求△PED面积的最大值，
点D，E坐标已知，要求S△PED的最大值，考虑设点P坐标，将△PED分割为两个三角形，用含有自变
量的式子表示出△PED的面积．
如解图②，过点P作PG⊥ x轴于点G，延长PG交DE于点H，
　第 1题解图②
过点E作ER⊥PH，交PH的延长线于点R，
设点P的坐标为 (n，n2- 4n+ 3) (1∵点H在直线AE上，且与点P的横坐标相同，
∴将 x=n代入直线AE的解析式 y= x- 1，
则点H坐标为 (n，n- 1),
∴PH= yH- yP=-n2+ 5n- 4，
2
∴S△PED=S△PHD+S
1
△PHE= 2 PH× (OG+ER) =
1
2 (-n
2+ 5n- 4) × 4=-2 n- 52 +
9
2 ，
∴△PED的最大面积为 92 ，
∴四边形PDFE的最大面积为 9.
50
题型7 定值
4 1
例题1.如图，动点M在函数 y1= x (x> 0)的图像上，过点M分别作 x轴和 y平行线，交函数 y2= x
(x> 0)的图像于点B、C，连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
证明：延长MC、MB分别交 x轴于G，交 y轴于H，设m a，4a ，
∴B a , 44 a ，C a，
1
a ，
∴S△OBC=S矩形OGMH-S△OCG-S△BCM-S△BHO
= a× 4 - 1 1 4 1 a 1 1 9 1 15a 2 - 2 × a - a × a- 4 - 2 = 4- 2 - 8 - 2 = 8 ，
∴△BOC的面积是个定值．
例题2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2- 2x+ 3交 x轴于A、B两点 (A在B的左侧)，与
y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(-1，4)．
问：过点D作直线DE∥ y轴，交 x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点 (点P不与B、
D两点重合)，PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出
该定值；若不是，请说明理由．
【思维教练】要判断EF+EG的值是否为定值，过点P作PQ∥ y轴，交 x轴于点Q，只需利用平行线
得三角形相似，列等量关系式分别表示出EF与EG的值，再判断EF+EG的值的情况．
51
解：EF+EG为定值，理由如下，如解图，过点P作PQ∥ y轴，交 x轴于点Q，
设P(t，-t2- 2t+ 3)，则PQ=-t2- 2t+ 3，AQ= 3+ t，QB= 1- t，
∵DE∥ y轴，∴PQ∥DE，
∴△AEF∽△AQP，
∴ AE = EF ，
AQ PQ
∵A(-3，0)，E(-1，0)，B(1，0)，
∴AE=BE= 2，
∴ = AE PQ = 2×(-t
2-2t+3) = 2×(1-t)(t+3)EF 3+t 3+t = 2(1- t)，AQ
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴ BE = EG ，
BQ PQ
∴ = BE PQ = 2×(-t
2-2t+3) = 2×(1-t)(t+3)EG 1-t 1-t = 2(t+ 3)，BQ
∴EF+EG= 2(1- t) + 2(t+ 3) = 8.
例题3.在平面直角坐标系 xOy中，已知A(0，2)，动点P在 y= 33 x的图象上运动 (不与O重合)，连
接AP.过点P作PQ⊥AP，交 x轴于点Q，连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围；
(2)试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由；
(3)当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
第 1题图
解：(1)如解图①，过点A作AH⊥OP于点H，则AP≥AH，
∵点P在 y= 33 x的图象上，
∴∠HOQ= 30°，∠HOA= 60°.
∵A(0，2)，
∴AH=AO·sin60° = 3，
∴AP≥ 3；
第 1题解图①
(2)是．
52
理由如下：①如解图②，当点P在第三象限时，
由∠QPA=∠QOA= 90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠QAP=∠POQ= 30°；
第 1题解图②
②如解图③，当点P在第一象限的线段OH上时，
由∠QPA=∠QOA= 90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ+∠POQ= 180°，
又∵∠POQ= 150°，
∴∠QAP= 180° -∠POQ= 30°；
第 1题解图③
③如解图④，当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由∠QPA=∠QOA= 90°，
可得∠APQ+∠AOQ= 180°，
∴Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ=∠POQ= 30°；
第 1题解图④
2 2
(3)设P m， 33 m ，∵A(0，2)，∴OP2=
4m ，AP2= 4m - 4 3m3 3 3 + 4.
在Rt△APQ中，∵∠QAP= 30°，
2 2 2
∴PQ2= (AP·tan30°)2= 4m9 -
4 3m + 4 ，AQ2= AP = 16m - 16 3m9 3 ° 9 9 +
16
3 ，cos30
2 2
∵在Rt△AOQ中，OQ2=AQ2-OA2= 16m - 16 3 m+ 49 9 3 =
16
9 m-
3
2 ，
∴Q 4m-2 33 ，0 ．
①当OP=OQ时，则 4 m2= 16 m2- 16 3m + 43 9 9 3 ，解得m= 2 3 ± 3，∴Q1(2 3 + 4，0)，Q2(2 3
- 4，0)；
53
②当OP=PQ时，则 4 m2= 4 m2- 4 3m 43 9 9 + 3 ，解得m=
3
2 或m=- 3，
当m= 32 时，点Q与点O重合，舍去，∴m=- 3，∴Q3(-2 3，0)；
③如解图④，当QO=QP时，
则 16 m2- 16 3m 49 9 + 3 =
4 2 4 3m 4
9 m - 9 + 3 ，解得m= 3或m= 0，
当m= 0时，点P与点O重合，舍去，∴m= 3 .∴Q 2 34 3 ，0 ．
综上所述，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为 (2 3 + 4，0)或 (2 3 - 4，0)或 (-2 3，0)或
2 33 ，0 ．
例题4. 如图，抛物线 y= y= x2+ 2x- 3交 x轴于A、B两点，其中点A坐标为 (1，0)，与 y轴交于点
C(0，-3)．
(1)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB= 2∠ACO.求点P的坐标；
(2)如图②，点Q为 x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与 x轴的交点，直线AQ、BQ
分别交抛物线的对称轴于点M、N .请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请
说明理由．
第 1题图
解：(1)如解图，作点A关于 y轴的对称点A′，连接A′C，作AD⊥A′C于点D，
∴点A′的坐标为 (-1，0)，则AA′ = 2，OC= 3，A′C= 10，
∵S = 1△A′AC 2 AA′·OC=
1
2 A′C·AD，
∴AD= AA′·OC = 3 10 ，
A′C 5
在Rt△A′AD中，∵A′D2+AD2=A′A2，
2
∴A′D2+ 3 10 = 22.解得A′D= 105 5 (负值已舍去)，
∴DC= 4 105 ，∴ tan∠ACA′ =
AD = 3 .
DC 4
由对称可得∠ACD= 2∠ACO，则∠PAB=∠ACA′，
设P(a，a2+ 2a- 3)，
①如解图，当点P在 x轴的上方时，作P1H1⊥ x轴于点H1，
2
∴ PHtan∠PAB= 1 1 = a +2a-3 31 1-a = 4 ，解得 a1= 1(舍)，a2=-
15
AH1 4
，
把 a=- 15 代入得P - 15 ，574 4 16 ；
②如解图，当点P在 x轴的下方时，作P2H2⊥ x轴于点H2，
∴ ∠ = P2Htan PAB 2 = -a
2-2a+3 3 9
2 AH2 1-a
= 4 ，解得 a3= 1(舍)，a4=- 4 ，
54
把 a=- 94 代入得P -
9
4 ，-
39
16 ，
综上所述，点P的坐标为 - 15 ，574 16 或 -
9
4 ，-
39
16 ；
第 1题解图
(3)是．设Q(m，m2+ 2m- 3)，则-3把A( ) k =m+31，0 ，Q(m，m2+ 2m- 3)，代入解析式解得 1 = - ，∴ y= (m+ 3)x-m- 3，b1 m 3
当 x=-1时，y=-2m- 6，
设直线BQ的解析式为 y= k2x+ b2，
(- ) ( 2+ - ) = + k2=m-1把B 3，0 ，Q m，m 2m 3 代入 y k2x b2，解得 ，b2=3m-3
∴ y= (m- 1)x+ 3m- 3，
当 x=-1时，y= 2m- 2，
∴DM= 2m+ 6，DN=-2m+ 2，
∴DM+DN= 2m+ 6- 2m+ 2= 8.
55

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