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第10章 二元一次方程组 专项训练
二元一次方程组的实际应用
一、选择题
1．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是(　　)
A.　　B. C.　　D.
2．在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐.设有嘉宾人，共准备了 张桌子.根据题意，下列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
3．某校组织了一场校园足球赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.甲队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，则甲队在第一轮比赛中胜的场数是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4．孝敬父母是中华民族的传统美德.母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售.若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元,则一束康乃馨和一束百合花的成本价分别是( )
A. 10元，6元 B. 6元，10元 C. 11元，5元 D. 5元，11元
5．小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：
小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应付18元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元．
若小明买1支签字笔和1本笔记本，则应付的钱数为(　　)
A．7元　　B．8元 C．9元　　D．10元
6．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
7．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是(　　)
A．24，12　　B．24，11 C．25，11　　D．26，10
8．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它画为横排，如图①、图②.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数， 的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A. B. C. D.
9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图①就是一个幻方.图②是一个未完成的幻方，则的值是( )
A. 0 B. C. D. 32
二、填空题
10．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字与个位上的数字之和为15，则这个两位数是____.
11．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数比你今年岁数的二倍少7岁.”则今年甲的年龄为____岁.
12．如图是由同一种长方形墙砖砌成的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10 cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40 cm，则每块长方形墙砖的周长是________．
13．69中学的一次知识竞赛中，共设20道选择题，各题的分值相同，每题必答，下表记录了五个参赛者的得分情况．参赛者小明得76分，那么他答对________道题．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
14．一个长方形的长减少，宽增加 ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长是_______.
15．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为____里/时.
三、解答题
16．小姣创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1 700元．甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
17．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．在小组积分赛中，每个队伍要进行18场比赛．
(1)若“卧龙队”共胜了12场，求该队获得的总积分；
(2)若“雄鹰队”总积分为32分，则该队胜、负场数分别是多少？
18．小李问老张年龄，老张说：“当你像我这么大时，咱们的年龄和是72岁；当我像你这么大时，你的年龄是我现在年龄的五分之一．”问：老张和小李现在的年龄和是多少？
19．实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和1个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以刚好配套，没有剩余？
20．如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形．
(1)求出小长方形的长和宽；
(2)求图中阴影部分的面积．
21．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合做若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合做了多少天？甲队加入后又做了多少天？
22．A，B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
23．今年五一黄金周，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时．
(1)求该客轮在静水中的速度和水流速度；
(2)重庆某厂接到一笔旅游纪念品订单，需要在规定期限内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？
24．某运输公司有，两种货车，3辆货车与2辆货车一次可以运货90吨，5辆货车与4辆货车一次可以运货160吨.
(1)请问1辆货车和1辆 货车一次可以分别运货多少吨.
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排， 两种货车将全部货物一次运完，两种货车均满载，其中每辆 货车一次运货花费500元，每辆 货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少.
25．一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价(元/千克) a b
零售价(元/千克) 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元．
(1)求a，b的值；
(2)当批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？
(3)如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克？
26．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按a元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按0.9元/度收费，具体收费标准如下表所示：
阶梯 电量x(单位：度) 电费价格
一档 0＜x≤180 a元/度
二档 180＜x≤350 b元/度
三档 x＞350 0.9元/度
(1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值；
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．
27．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输单数/单 小无人机运输单数/单 营收/元
第一天 4 20 3 600
第二天 8 28 5 760
(1)求大、小两款无人机单次运输的价格；
(2)正式运营后，快递公司开展优惠活动，第一天大无人机共营收5 100元，小无人机共营收4 320元，且小无人机运输单数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
(3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营 单，小无人机共运营 单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.求和的数量关系.
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参考答案
一、选择题
1．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是(　　)
A.　　B. C.　　D.
【答案】B
2．在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐.设有嘉宾人，共准备了 张桌子.根据题意，下列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
3．某校组织了一场校园足球赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.甲队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，则甲队在第一轮比赛中胜的场数是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
4．孝敬父母是中华民族的传统美德.母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售.若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元,则一束康乃馨和一束百合花的成本价分别是( )
A. 10元，6元 B. 6元，10元 C. 11元，5元 D. 5元，11元
【答案】B
5．小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：
小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应付18元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元．
若小明买1支签字笔和1本笔记本，则应付的钱数为(　　)
A．7元　　B．8元 C．9元　　D．10元
【答案】B
6．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】C
7．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是(　　)
A．24，12　　B．24，11 C．25，11　　D．26，10
【答案】A
8．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它画为横排，如图①、图②.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数， 的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设被墨水所覆盖的图形表示的数为 ，
根据题意得
把代入，得由③解得 ，
把代入④，得 ， .
9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图①就是一个幻方.图②是一个未完成的幻方，则的值是( )
A. 0 B. C. D. 32
【答案】B
【解析】设图②中间的数为 ，第三行第一个数为 ，
由题意得
由①得 ，由②得 ，
，解得 ，
.
二、填空题
10．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字与个位上的数字之和为15，则这个两位数是____.
【答案】69
11．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数比你今年岁数的二倍少7岁.”则今年甲的年龄为____岁.
【答案】28
12．如图是由同一种长方形墙砖砌成的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10 cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40 cm，则每块长方形墙砖的周长是________．
【答案】100cm
13．69中学的一次知识竞赛中，共设20道选择题，各题的分值相同，每题必答，下表记录了五个参赛者的得分情况．参赛者小明得76分，那么他答对________道题．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
【答案】16
14．一个长方形的长减少，宽增加 ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长是_______.
【答案】
15．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为____里/时.
【解析】戴宗顺风行走的速度为 (里/时)，
戴宗逆风行走的速度为 (里/时)，
设戴宗在无风时的平均速度为里/时，风速为 里/时，
由题意得 解得
戴宗在无风时的平均速度为60里/时.
【答案】60
三、解答题
16．小姣创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1 700元．甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
解：设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，依题意得解得
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元
17．某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．在小组积分赛中，每个队伍要进行18场比赛．
(1)若“卧龙队”共胜了12场，求该队获得的总积分；
(2)若“雄鹰队”总积分为32分，则该队胜、负场数分别是多少？
解：(1)∵每个队伍要进行18场比赛，“卧龙队”胜了12场，∴负了18－12＝6(场)，12×2＋6×1＝30(分).
答：“卧龙队”积分为30分
(2)设“雄鹰队”胜了x场，负了y场，由题意可得解得
答：“雄鹰队”胜了14场，负了4场
18．小李问老张年龄，老张说：“当你像我这么大时，咱们的年龄和是72岁；当我像你这么大时，你的年龄是我现在年龄的五分之一．”问：老张和小李现在的年龄和是多少？
解：设小李现在的年龄是x岁，老张现在的年龄是y岁，根据题意得
解得∴x＋y＝18＋30＝48.
答：老张和小李现在的年龄和是48岁
19．实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和1个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以刚好配套，没有剩余？
解：设用x张做侧面，y张做底面才可以刚好配套，没有剩余．根据题意得解得
答：用20张做侧面，6张做底面才可以刚好配套，没有剩余
20．如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形．
(1)求出小长方形的长和宽；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)设小长方形的长为x cm，宽为y cm，依题意得解得
答：小长方形的长是7 cm，宽是2 cm
(2)S阴影＝15×(9＋2)－9×7×2＝39(cm2).
答：阴影部分的面积为39 cm2
21．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合做若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合做了多少天？甲队加入后又做了多少天？
解：设乙、丙两队合做了x天，甲队加入后又做了y天，由题意得
解得
答：乙、丙两队合做了4天，甲队加入后又做了2天
22．A，B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
解：20分钟＝小时，30分钟＝小时，设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时．由题意得解得
答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时
23．今年五一黄金周，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时．
(1)求该客轮在静水中的速度和水流速度；
(2)重庆某厂接到一笔旅游纪念品订单，需要在规定期限内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？
解：(1)设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，依题意，得
解得
答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时．
(2)设每天安排x名工人生产正方形纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币，依题意，得
9x＝6，解得x＝40，
则工厂每天能生产的纪念币盒数为：9×40÷4＝90(盒)．
答：工厂每天能生产90盒纪念币．
24．某运输公司有，两种货车，3辆货车与2辆货车一次可以运货90吨，5辆货车与4辆货车一次可以运货160吨.
(1)请问1辆货车和1辆 货车一次可以分别运货多少吨.
解：设1辆货车和1辆货车一次可以分别运货吨和 吨，
根据题意，可得解得
答：1辆货车和1辆 货车一次可以分别运货20吨和15吨.
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排， 两种货车将全部货物一次运完，两种货车均满载，其中每辆 货车一次运货花费500元，每辆 货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少.
解：设安排货车辆，货车 辆，
依题意得，即 ，
因为， 均为正整数，
所以或或
所以共有3种运输方案.
方案1：安排货车8辆， 货车2辆.
方案2：安排货车5辆， 货车6辆.
方案3：安排货车2辆， 货车10辆.
方案1所需费用： (元).
方案2所需费用： (元).
方案3所需费用： (元).
因为 ，
所以安排货车8辆， 货车2辆最省钱.
25．一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价(元/千克) a b
零售价(元/千克) 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元．
(1)求a，b的值；
(2)当批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？
(3)如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天赚180元，求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克？
解：(1)依题意得解得
(2)(8－5)×70＋(3－2)×30＝240(元).
答：批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚240元
(3)100÷2＝50(千克)，设打折后卖出橙子m千克，则打折后卖出香蕉(50－m)千克，依题意得(8－5)(70－m)＋(3－2)[30－(50－m)]＋(8×0.8－5)m＋(3×0.8－2)(50－m)＝180，解得m＝30，则50－m＝50－30＝20.
答：打折后卖出橙子30千克，香蕉20千克
26．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按a元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按0.9元/度收费，具体收费标准如下表所示：
阶梯 电量x(单位：度) 电费价格
一档 0＜x≤180 a元/度
二档 180＜x≤350 b元/度
三档 x＞350 0.9元/度
(1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值；
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．
解：(1)依题意，
解得
答：a的值为0.6，b的值为0.7.
(2)若一个月用电量为350度，则电费为180×0.6＋(350－180)×0.7＝227(元)，
∵285.5＞227，∴小明家7月份用电量超过350度．
设小明家7月份用电量为x度，依题意，得
180×0.6＋(350－180)×0.7＋(x－350)×0.9＝285.5，解得x＝415.
答：小明家7月份的用电量为415度．
27．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输单数/单 小无人机运输单数/单 营收/元
第一天 4 20 3 600
第二天 8 28 5 760
(1)求大、小两款无人机单次运输的价格；
解：设大无人机单次运输的价格为 元，小无人机单次运输的价格为元.
根据题意，得解得
答：大无人机单次运输的价格为300元，小无人机单次运输的价格为120元.
(2)正式运营后，快递公司开展优惠活动，第一天大无人机共营收5 100元，小无人机共营收4 320元，且小无人机运输单数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
(单).
设小无人机的优惠折扣为 折，
根据题意，得 ,解得 .
答：小无人机的优惠折扣为九折.
(3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营 单，小无人机共运营 单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.求和的数量关系.
根据题意，得 , .
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