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2025-2026学年上海交大附中高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共22分。
1.设，下列向量不能与构成平面向量一组基的是（　　）
A. B. C. D.
2.设a＞0，s∈R，则下列语句是“as＞1”的充分条件的是（　　）
A. a＞1，s＜1 B. 0＜a＜1，s＜1 C. a＞1，s＞0 D. 0＜a＜1，s＞1
3.现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（　　）
A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A与B∪C互斥 D. A与B∩C独立
4.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形BB1C1C内部（不含边界）运动，给出以下两个结论：
①存在点P满足PD1⊥MB1；
②存在点P满足PD1与平面A1D1M所成角的大小为60°.
判断正确的是（　　）
A. ①正确，②不正确
B. ①不正确，②正确
C. ①②均正确
D. ①②均不正确
二、填空题：本题共12小题，共66分。
5.设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，用列举法表示A∩B= .
6.若复数z满足：i z=2+i（i是虚数单位），则|z|=______．
7.已知等比数列{an}满足a1=1，a5=8a2，则a6= .
8.过点（0，1）且垂直于直线y=2x-1的直线方程为 .
9.若对任意实数x,都有|x-1|+|x+3|≥a,则实数a的取值范围是 .
10.已知△ABC中，A=45°，B=60°，BC=2，则AC= .
11.正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为______．
12.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 结果用最简分数表示．
13.已知，求g（x）≤2-x的x的取值范围 .
14.甲、乙等7人排队拍照，要求甲、乙两人相邻且其中任何一人不站在队伍两端，则共有 种不同的排队方法.
15.如图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为 米（近似到0.01米）时，所挖土最少.
16.将关于x的方程sinωx=t（常数ω＞0，t∈[-1，1]）在[0，+∞）上的解从小到大排列构成的无穷数列记作{xn}，若{xn}是等差数列，且{xn}中属于区间（1，2）的项恰比{xn}属于区间[2026，2027]中的项少2项，则ω的取值集合为 .
三、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，a1=a,公差d=2.
（1）设a=1，等比数列{bn}满足b1=a1，b2=a2，求{bn}的前n项和Tn；
（2）数列{an}前n项和为Sn，若S12=3ak，a1+ak+1=6，求a的值.
18.(本小题12分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=BB1=4，AB=3，E，F分别为A1D1，B1C1的中点，G在线段CC1上，且CG=3GC1.
（1）求证：GF⊥平面EBF；
（2）求直线BG与平面EFG所成角的正弦值.
19.(本小题12分)
某学校调查学生体质健康，随机选取150名学生参加.设学生得分均在区间[50，100]中，分值的频数分布表如图所示：
分数 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 10 30 60 30 20
（1）以区间的中点值为区间内的每个数据赋值，试估计这150名学生得分的均值（近似到0.1）；
（2）用分层抽样的方法从得分在区间[80，100]中的学生中选取5人，再从这5人中选取2人进行访谈，求选取的2人中恰有1人得分在区间[90，100]中的概率；
（3）已知得分在[70，80）中的学生得分均值和方差分别是74和40，得分在[80，90）中的学生得分均值和方差分别为86和61，求成绩在[70，90）中的学生得分的方差.
20.(本小题12分)
已知双曲线Γ：x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交Γ于A、B两点，其中A在第一象限，B在第四象限.
（1）设椭圆C的焦点为F1、F2，离心率为，求椭圆C方程；
（2）若|AF2|=，求△AF1F2的面积；
（3）设|AF2|＞|BF2|，线段AB的中点为P，D是x轴上一点，满足PD⊥AB，求线段DP长的取值范围.
21.(本小题14分)
设开区间I是函数y=f（x）定义域的子集，若y=f（x）在区间I上不是单调函数，且存在常数b,使得f（x）≥b对任意x∈I成立，则称函数y=f（x）在区间I上具有性质H，常数b为该函数的一个下界.
（1）设，I=（-∞，0），判断函数y=f（x）在区间I上是否有性质H；
（2）设常数m＜2，，I=（m,2），若函数y=f（x）在区间I上具有性质H且为该函数的一个下界，求实数m的取值范围；
（3）设常数0＜a≤1，f（x）=ln（x+1）+ax（x-2），I=（0，1），当函数y=f（x）在区间上具有性质H时，求实数a的取值范围；进而，当a在上述范围内变化时，若实数b均为y=f（x）的一个下界，求b的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】{3，4}
6.【答案】
7.【答案】32
8.【答案】x+2y-2=0
9.【答案】（-∞，4]
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】（-∞，1]
14.【答案】960
15.【答案】0.71
16.【答案】{ω|ω=kπ，k∈N*}
17.【答案】Tn=（3n-1） -8
18.【答案】证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则B（4，3，0），E（2，0，4），F（2，3，4），G（0，3，3），
∴，
设是平面EBF的法向量，
则，则，
令a=2，则b=0，c=1，
∴是平面EBF的一个法向量，
易知，
∴也是平面EBF的一个法向量，
∴GF⊥平面EBF ，
19.【答案】76.3 79
20.【答案】 （6，+∞）
21.【答案】函数y=f（x）在区间I上不具有性质H [-2，1） （-∞，ln（+1）+-]
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