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山东菏泽市2025-2026学年高一第二学期期中学情检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下面命题中，正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若则
2.若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 0
3.已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A. B.
C. D.
5.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（ ）
A. B. C. 2 D. -2
6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部是 B.
C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
10.已知向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
11.如图，，点在由射线 线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知aR,且ai+=1,则a= .
13.在△中，若，,,求△的面积
14.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数（为虚数单位）.
(1)若，求复数的共轭复数及；
(2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值.
16.(本小题15分)
在中，内角所对的边分别为.
(1)若，求和的大小；
(2)若，求和的值.
17.(本小题15分)
如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.

(1)设，试用表示，并求；
(2)设，求的最小值.
18.(本小题17分)
在锐角中，角的对边分别为，已知且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围.
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题：
(1)已知向量满足，求的值；
(2)若，用坐标表示；
(3)在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】CD
10.【答案】ABD
11.【答案】BD
12.【答案】1
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设，
则，
，
则，解得，即，
则复数的共轭复数为，；
（2）由题意可得，
化简得，
即有，解得.

16.【答案】解：（1）由，可得，
由余弦定理，可得，
即，则；
（2）由余弦定理，可得，
即，解得，
则由正弦定理可得.

17.【答案】解：（1）因为，所以，
所以，
；
（2）由（1）知，由，
则，
由、、三点共线，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为.

18.【答案】解：（1），
则，
即，又，故，
则，即，又，故；
（2）由余弦定理，可得，
即，解得（负值舍去），
故；
（3）由正弦定理可得，
则，，
故
，
由，可得，则，
则，即.

19.【答案】解：（1），则，
则；
（2），
则
，
故；
（3），，
由（2）可得，即，
则，
又，故，
由为锐角三角形，则，即，
解得或，
设，
则，
令，当时，递减，
则；
当时，递增，则；
故，则，
故.

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