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山东临沂市2025-2026学年高二下学期普通高中学科素养水平监测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（）
A. 18 B. 36 C. 63 D. 72
2.若随机变量X取所有的值1,2,3,,n是等可能的,且E(X)=8,则n=（）
A. 8 B. 15 C. 16 D. 19
3.若函数，则（ ）
A. B. C. D.
4.某高校安排5名大学生到3个车间实习,每个车间至少一人,其中大学生甲和乙不能去同一个车间,则不同的安排方案有（ ）
A. 36种 B. 60种 C. 114种 D. 162种
5.曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A. 0或 B. 0或 C. D.
6.在某电路上有M、N两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换M元件的概率为,需要更换N元件的概率为,则在某次通电后M、N至少有一个需要更换的条件下,M需要更换的概率是（）
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.若，则（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f(x)=(x-1),则（）
A. f(x)存在唯一零点 B. f(x)的极小值为-1
C. f(x)在(-,1)上单调递减 D. 当a>-1时,f(x)=a有2个解
10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数有4个不同的零点，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，若，则 .
13.的展开式中的系数为 .
14.若不等式恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为.
(1)求和的值；
(2)求该二项式展开式中所有的有理项.
16.(本小题15分)
某高校少年班复试选拔有甲、乙两类问题,每位参加复试的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学复试结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学复试结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分;乙类问题中的每个问题回答正确得70分,否则得0分,已知小明能正确回答甲类问题的概率为,能正确回答乙类问题的概率为,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)求小明复试得分为100分的概率;
(2)若小明先回答甲类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(3)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
17.(本小题15分)
已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，证明：.
18.(本小题17分)
景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名.假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有15件青花瓷，其中6件由工匠甲烧制，5件由工匠乙烧制，4件由工匠丙烧制.已知甲 乙 丙三人烧制青花瓷的成品率依次为.
(1)从这15件青花瓷中任取1件，求取出的青花瓷是成品的概率；
(2)若每件青花瓷成品的收入为800元，废品收入为0元，记随机变量为甲 乙两人烧制的青花瓷的总收入之和，求的期望.
(3)已知这15件青花瓷中有件成品，现从中无放回随机抽取3件，若使抽到的青花瓷中恰有2件成品的概率大于恰有1件成品的概率，求的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数的定义域是，其导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)记曲线在点处的切线为.
（i）当时，证明：除切点外，曲线在直线的上方；
（ii）设过点的直线与直线垂直，与轴交点的横坐标分别是，证明：.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】 /
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为的展开式的通项公式为，
由第项的二项式系数为，得，解得，所以，
又展开式中含的项的系数为，令，解得，
所以，解得，
故和的值分别为.
（2）由（1）知，
要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以，
当时，，当时，，
当时，，
所以该二项式展开式中所有的有理项为，，.

16.【答案】解:(1)P=+=,
所以小明复试得分为100分的概率为；
(2)由题可知,X=0,30,100，
则P(X=0)=1-=;
P(X=30)=(1-)=;
P(X=100)==;
所以X的分布列为：
X 0 30 100
P 0.2 0.4 0.4
(3) 由(1)知,E(X) =0+30+100=52,
若小明先回答乙类问题,记Y为小明的累计得分,
则Y=0,70,100,
则P(Y=0)=1-=;
P(Y=70)=(1-)=;
P(Y=100)==;
所以E(Y)=0+70+100=47;
因为47<52,
所以小明应选择先回答甲类问题.
17.【答案】解：（1）当时，，
则，
当时，，所以，
则函数在单调递减，
当时，，所以，
则函数在单调递增，
所以当时，取最小值，即；
（2）当时，要证，
只需证，
令，则，
且在上单调递增，，
所以，使得，
即，两边取对数得，
且当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
，
所以
即.

18.【答案】解：（1）；
（2）设甲烧制的青花瓷中成品件数为，乙烧制的青花瓷中成品件数为，
则由题意可得，，
则，，
则元；
（3）设抽到的青花瓷中恰有件成品，
则，，
由题意可得，
即，
由，则，即，
又，故的最小值为.

19.【答案】解：（1）令，由题知的定义域为，
因为，由，得到，由，得到，
所以的增区间为，减区间为.
（2）（i）因为，则曲线在点处的切线方程为，
令，则，
由（1）知在区间上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
则，即，当且仅当时取等号，故命题得证.
（ii）因为直线与直线垂直，且过点，所以直线的方程为，
令，得到，则
又直线的方程为，令，得到，则，
所以，
令，由（1）知，所以，
则，又易知在区间上单调递减，
所以，命题得证.

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