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2025-2026学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.为了得到函数的图象，只需要把函数y=sinx的图象上（　　）
A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
2.（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（　　）
A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形
C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形
3.对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足（　　）
A. 有一个内角为30° B. 有一个内角为45° C. 有一个内角为60° D. 有一个内角为75°
4.在订正数学测验卷时，小张同学回想考试的题目“若实数x,y∈[0，2π]（x≠y），且满足cos（x+y）=cosx+cosy,则称x、y是“余弦相关”的.”，并做进一步的研究，得到了如下两个结论：
①若x,y是“余弦相关”的，则x+y∈[π，3π]；
②若x,y是“余弦相关”的，则存在实数z,使得z与x、y都是为“余弦相关”的.
则下列说法正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知，，则tan（α-β）= .
6.在等差数列{an}中，若a3=0，且a5+a8=14，则a4= .
7.函数的对称轴方程是 .
8.函数的严格增区间为 .
9.在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=______．
10.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为 .
11.若实数α、β、γ构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则cosα的值是______．
12.已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列lga1，lgak，lga7也为等差数列，且k∈{3，4，5}，则a1= .
13.有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=，B=45°，______，求角A：“经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件补充完整．
14.设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图像交于点P2，则线段P1P2的长为 .
15.古语云：“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据AC=-1，BC=，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状），另一块玉佩碎片如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，考古队员通过复原该扇形玉佩求得其面积为 .
16.用MI表示函数y=sinx在闭区间I上的最大值，已知.若，则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知角α的终边经过点（1，2）.
（1）的值；
（2）求2sin2α+sinαcosα的值.
18.(本小题14分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，若是等差数列，且a1=-7，a2+a3=-8.
（1）求S7的值；
（2）n为何值时，Sn-n的值最小？
19.(本小题14分)
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC=π，∠ACD=，路宽AD=24米．设∠BAC=θ
（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；
（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
20.(本小题18分)
已知函数.
（1）求f（x）的对称中心坐标；
（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知函数.记方程在区间[0，24]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x1+x2+…+xn的值.
21.(本小题18分)
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图像的一个对称中心为，将函数f（x）图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图像.
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）求证：存在，使得f（x0）、g（x0）、f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列；
（3）当a＞0时，判断F（x）=f（x）+ag（x）在（0，2026π）内的零点个数，并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】2
7.【答案】
8.【答案】（-+，+），k∈Z
9.【答案】
10.【答案】400π
11.【答案】-
12.【答案】4
13.【答案】c=
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】[，]
17.【答案】-1；
2．
18.【答案】S7=-7 当n=4或5时，Sn-n取得最小值20
19.【答案】解：（1）在△ACD中，，
由正弦定理可得：，得，
在△ABC中，，
由正弦定理可得：，
得
=．
（2）△ABC中，
由正弦定理可得：，得，
∴
=
=
=，
∵，∴，
∴当时，AB+BC取得最小值．
故设置时，制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为米．
20.【答案】，k∈Z { a|} 68
21.【答案】f（x）=cos2x，g（x）=sinx 证明：由（1）得f（x）=cos2x，g（x）=sinx，
设h（x）=2f（x）-g（x）-f（x）g（x）=2cos2x-sinx-sinxcos2x．
则h（x）在上连续，
且，，
所以存在，使得h（x0）=0．
即2f（x0）=g（x0）+f（x0）g（x0），
所以f（x0）是g（x0）与f（x0）g（x0）的等差中项，
因而g（x0），f（x0），f（x0）g（x0）按此顺序成等差数列 F（x）在（0，2026π）内的零点个数为，理由如下：
由（1）得F（x）=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx，
令t=sinx，则t∈[-1，1]，
令F（x）=0，则1-2t2+at=0，
即2t2-at-1=0，解得，t2=，
因为a＞0，所以t2＜0，且，
由于a2+8＜（a+4）2恒成立，
所以-1＜t2＜0，
又t1＜1 a＜1，t1=1，
所以a=1，t1＞1 a＞1．
区间（0，2026π）的长度为2026π=1013 2π，即恰有1013个完整周期．
对任意c∈（-1，1），方程sinx=c在每个长度为2π的周期内有2个解，
所以在（0，2026π）内共有2026个解，
当c=1时，方程sinx=1在每个周期内有1个解，
所以在（0，2026π）内共有1013个解．
所以当0＜a＜1时，t1，t2∈（-1，1），
函数零点个数为2026+2026=4052个，
当a=1时，t1=1，t2=，函数零点个数为1013+2026=3039个，
当a＞1时，t1＞1，t2∈（-1，1），函数零点个数为2026个
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