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江苏扬州市2025—2026学年第二学期七年级期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是4个“神器”，文字上方的图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A. （2x+y）（2y+x） B. （x+1）（-x-1）
C. （-x-y）（-x+y） D. （3x-y）（-3x+y）
4.《孙子算经》中有一道题, 原文是: “今有木, 不知长短.引绳度之, 余绳四足五寸; 屈绳量之, 不足一尺.木长几何 ”意思是: 用一根绳子去量一根长木, 绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木, 长木还剩余1尺, 问木长多少尺, 现设绳长x尺, 木长y尺, 则可列二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
5.一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则( )．
A. B. C. D.
6.若，则a、b、c、d的大小关系为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
8.如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　 　）
①；②；③；④
A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺.7纳米=0.000007毫米，将数据0.000007用科学记数法表示为 .
10. ．
11.若，，则的值为 ．
12.一块长方形地砖的长，宽分别为，（，）．如果长，宽各裁去，则剩余部分的面积为 ．
13.将方程x-2y=5写成用含x的代数式表示y的形式为 .
14.如果xn=y,那么我们规定（x,y）=n.例如：因为32=9，所以（3，9）=2.若（m,16）+（m,5）=（m,t），则t= .
15.如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转后到达的位置，此时恰好使得，则的大小为 ．
16.如果是一个完全平方式，那么m的值为 ．
17.如图，沿方向平移到，若，，平移的距离为 ．
18.如图，可以看成由经过怎样的图形变换得到？①一次平移；②一次轴对称；③一次旋转；④一次平移和一次轴对称．其中，正确结论的序号是 ．
三、计算题：本大题共3小题，共20分。
19.计算：
(1) ；
(2) ．
20.计算：
(1) ；
(2) ．
21.解二元一次方程组：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题7分)
先化简，再求值．，其中．
23.(本小题9分)
如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上（作图痕迹用黑色签字笔加黑）．
(1) 画出关于点的中心对称图形；
(2) 画出将沿直线向上平移5个单位得到的；
(3) 画出，要使与重合，则绕点顺时针方向至少旋转 °．
24.(本小题8分)
如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
(1) 作的平分线；
(2) 过点作线段的垂线．
25.(本小题8分)
某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹．
(1) 求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
(2) “双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？
26.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”，如：，，因此8、16、24都是“奇异数”．
(1) 试说明32是否为“奇异数”；
(2) 你能说明“奇异数”一定是8的倍数吗？若能，请说明理由，若不能，请举一个反例．
27.(本小题12分)
我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题：
(1) 写出图2中所表示的数学等式 ；
(2) 利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值；
(3) 小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽和长分别为和的长方形纸片拼出一个面积为的长方形．请仿照图2，画出拼出的长方形并求出的值．
(4) 事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式．图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中的数据以及图形的变化关系，写出一个数学等式 ．（等式的两边均不用化简）
28.(本小题12分)
已知中，，，，，将绕着点顺时针旋转得到，直线和直线相交于点．
(1) 如图1，若于点，求的长；
(2) 如图2，当点落在边上时，请探究和的位置关系，并说明理由；
(3) 直接写出在旋转过程中的度数；（用含有的代数式表示）
(4) 在图3中用尺规作图作出点，使得旋转过程中的面积最大，并直接写出此时的面积．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】7×10-6
10.【答案】4051
11.【答案】
12.【答案】（ab-2a-2b+4）
13.【答案】y=
14.【答案】80
15.【答案】 /15度
16.【答案】
17.【答案】2
18.【答案】④
19.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

20.【答案】【小题1】
解：

；
【小题2】
解：
．

21.【答案】【小题1】
解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴二元一次方程组的解为；
【小题2】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．

22.【答案】原式
，
当时，原式．

23.【答案】【小题1】
解：连接，并作反向延长线到，再依次连接，即可得到，如下图所示：
；
【小题2】
解：分别将点依次向上平移5个单位得到点，再依次连接即可，如下图所示：
；
【小题3】
解：画出，如下图所示：
，
∴绕点顺时针方向至少旋转，与重合，
故答案为：．

24.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为的角平分线，
【小题2】
解：如图所示，即为线段的垂线．

25.【答案】【小题1】
解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，
根据题意得，
解得，
答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹；
【小题2】
解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，
根据题意得，且，
解得，，，，
答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时．

26.【答案】【小题1】
解：因为，
所以32是“奇异数”；
【小题2】
解：“奇异数”一定是8的倍数，理由如下：
由题意可设“奇异数”为M，
即，其中n为整数，
则，
所以“奇异数”是8的倍数．

27.【答案】【小题1】
【小题2】
解：∵，
，
∴，
∴的值为；
【小题3】
解：∵，
又∵边长为的正方形面积为，边长为的正方形面积为，宽、长分别为、的长方形纸片面积为，
∴需要边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形纸片2张，宽、长分别为、的长方形纸片5张，如图，
即，，，
∴.
【小题4】

28.【答案】【小题1】
解：∵于点，，
∴，
，，，
∴，
∴；
【小题2】
∵由旋转而来，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小题3】
当点在线段上时，如图：
∵由旋转而来，
∴，，
∵，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图：
∵由旋转而来，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上：或；
【小题4】
作，当三点共线时，最大，作图如下：
过点作，连接，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当三点共线且点和点位于点两侧时，最大，
∵，由（1）知：，
∴，
∴；
即的最大面积为．

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