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2025-2026学年宁夏银川市第九中学教育集团初中部八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A. 若a＞b,则a+c＞b+c B. 若a＞b,b＞c,则a＞c
C. 若a＞b,c＞0，则ac＞bc D. 若a＞b,c＞0，则＞
3.已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角形一定是（　　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定
4.下列各命题的逆命题不成立的是（　　）
A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 若两个角相等，则这两个角是对顶角
C. 等角对等边 D. 如果a＞b,那么a2＞b2
5.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE.若用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是（　　）
A. BC=EF B. AC=DF C. ∠B=∠E D. ∠ACB=∠DFE
6.新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（　　）
A. 六折 B. 七折 C. 七点五折 D. 八折
7.如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（-3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（　　）
A. x＞-3
B. x＜-3
C. x＞2
D. x＜2
8.如图，等边△ABC的边长为6cm,动点P、Q分别从A、B两点出发，沿AB、BC方向匀速运动，它们的速度都是1厘米/秒，当点P到达B点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若三角形PBQ为直角三角形时，则t的值是（　　）
A. 2秒 B. 4秒 C. 2秒或4秒 D. 3秒
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）.正六边形的每个内角的度数是 °.
10.在平面直角坐标系中，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A（-2，6）的对应点A1的坐标为 .
11.在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系.如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰△ABC成为等边三角形.
12.在平面直角坐标系中，若点A（-2，m）在第二象限，点B（3，m-4）在第四象限，则m的取值范围是 .
13.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= .
14.如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为______．
15.已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是______．
16.如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=5cm,△POF的面积为5cm2，点E是射线OA上一动点.则PE长度的最小值为 .
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题.
解不等式：1-.
解：去分母，得6-3（x+6）＜2（2x+1）…①
去括号，得6-3x-18＜4x+2…②
移项、合并同类项，得-7x＜14…③
两边都除以-7，得x＜-2…④
（1）填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______；
（2）请直接写出正确的结果；
（3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，还需注意其他事项，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议.
18.(本小题7分)
解不等式组，并把解集表示在数轴上.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AE=4，BC=3，求线段BD的长.
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为A（-3，2）、B（-1，4）、C（1，2）.平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标是（1，0）.
（1）请在图中画出平移后的△A1B1C1；
（2）请在图中画出△ABC关于原点中心对称的△A2B2C2，此时△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点中心对称，这一点的坐标为______.
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.
（1）求证：AE=2CE；
（2）若CE=2cm,求△ABC的面积.
22.(本小题5分)
已知如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA=CF．求证：DE=DF．
23.(本小题6分)
某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人为游客提供展品讲解、信息查询等服务.经调查发现，A型号的智能导览机器人的单价比B型号的智能导览机器人的单价高2万元，2台A型号的智能导览机器人比3台B型号的智能导览机器人便宜0.8万元.
（1）求A、B两种型号的智能导览机器人的单价；
（2）若该博物馆计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台，预算金额不超过65万元，则该博物馆最多可以购进多少台A型号的智能导览机器人？
24.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是边CA延长线上一点.
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若∠DAB=60°，求证：△ADF是等边三角形.
25.(本小题7分)
为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式；
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
26.(本小题14分)
课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
1．尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
2．初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】120
10.【答案】（2，5）
11.【答案】∠A=60°（答案不唯一）
12.【答案】0＜m＜4
13.【答案】55°
14.【答案】14
15.【答案】a＞1
16.【答案】2cm
17.【答案】分式的基本性质;④;不等式两边同时除以-7时，不等号的方向没有改变 x＞-2 见解答（写出一条建议即可）
18.【答案】，．
19.【答案】．
20.【答案】平移后的△A1B1C1，如图1即为所求； △ABC关于原点中心对称的△A2B2C2，如图2即为所求；
（2，-1）
21.【答案】如图，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE（线段垂直平分线的性质）．
∴∠ABE=∠A=30°．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
∴∠CBE=∠DBE=30°．
∵DE⊥AB，CE⊥BC，
∴CE=DE．
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴AE=2DE．
∴AE=2EC（等量代换）
22.【答案】证明：连接AD，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD=DC，AD平分∠BAC，∠C=45°，
∴∠EAD=∠C=45°，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．
23.【答案】A型号的智能导览机器人的单价为6.8万元，B型号的智能导览机器人的单价为4.8万元 该博物馆最多可以购进8台A型号的智能导览机器人
24.【答案】见解析．
25.【答案】解：（1）当0≤x≤0.5时，y=0，
当x≥0.5时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=kx+b，
，
解得，，
即当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=x-0.5，
由上可得，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=；
（2）设会员卡支付对应的函数解析式为y=ax，
则0.75=a×1，得a=0.75，
即会员卡支付对应的函数解析式为y=0.75x，
令0.75x=x-0.5，得x=2，
由图象可知，当x＞2时，会员卡支付便宜，
答：当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算，
当x=2时，李老师选择两种支付一样，
当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．
26.【答案】(1)∠DBC+∠ECB=180°+∠A；
(2)50° ;
(3) ∠ P=90°-∠A
(4)见解析.
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