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山东菏泽市2025-2026学年高一第二学期期中学情检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若则
2.若复数其中为虚数单位为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为( )
A. B. C. D.
4.在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. B.
C. D.
5.欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”依据欧拉公式，复数的模长等于( )
A. B. C. D.
6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为( )
A. B. C. D.
7.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限
10.已知向量，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
11.如图，，点在由射线线段及的延长线围成的阴影区域内不含边界运动，且，则下列对于的取值可能正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则 ．
13.在中，若，，，求的面积
14.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位．
若，求复数的共轭复数及；
若是关于的方程的一个虚根，求实数的值．
16.本小题分
在中，内角所对的边分别为．
若，求和的大小；
若，求和的值．
17.本小题分
如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点．

设，试用表示，并求；
设，求的最小值．
18.本小题分
在锐角中，角的对边分别为，已知且．
求角的大小；
若，求的面积；
求的取值范围．
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
已知向量满足，求的值；
若，用坐标表示；
在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：设，
则，
，
则，解得，即，
则复数的共轭复数为，；
由题意可得，
化简得，
即有，解得．

16.解：由，可得，
由余弦定理，可得，
即，则；
由余弦定理，可得，
即，解得，
则由正弦定理可得．

17.解：因为，所以，
所以，
；
由知，由，
则，
由、、三点共线，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．

18.解：，
则，
即，又，故，
则，即，又，故；
由余弦定理，可得，
即，解得负值舍去，
故；
由正弦定理可得，
则，，
故
，
由，可得，则，
则，即．

19.解：，则，
则；
，
则
，
故；
，，
由可得，即，
则，
又，故，
由为锐角三角形，则，即
解得或，
设，
则，
令，当时，递减，
则；
当时，递增，则；
故，则，
故．

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