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2026年河南省初中学业水平考试
第三次适应性测试
数 学
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
⒈如图，数轴上点A所表示的数的相反数为(　 　)
A．－3 B．3 C．－ D．
⒉已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是(　 　)
⒊拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3 240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3 240万”这个数据用科学记数法表示为(　 　)
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
⒋如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P.若量角器上显示∠COQ的读数为50°，则∠APQ的度数为(　 　)
A．50° B．110° C．130° D．140°
⒌下列一元二次方程中，没有实数根的是(　 　)
A．x2－x＋1＝0 B．x(x－1)＝0 C．x2＋12x＝0 D．x2＋x＝1
⒍龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是(　 　)
A． B． C． D．
⒎如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点(网格线的交点)，已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为(　 　)
A．π B．π C．π D．π
⒏如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O(0，0)，A(3，4)，C(8，0)，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再将线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为(　 　)
A．(－4，4) B．(－4，4) C．(4，－4) D．(4，－4)
⒐如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点D.设点P的运动路径总长为x，＝y.图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则菱形ABCD的周长为(　 　)
A．4 B．16 C．5 D．20
⒑如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为(　 　)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.请写出一个使代数式有意义的x的值 .
⒓小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩(单位：分)统计如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次
成绩 97 98 100 98 99 99 98
第8次测试成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为 ．
⒔在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍(n为整数)，那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将△BCD沿射线BD平移得△EGF(BE＜BD)，连接AE，AF，当△AEF是直角三角形时，平移的距离BE的长度为 ．
⒖我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）(1)计算：－4sin 60°＋(2 025－π)0＋|3－2|；
(2)解不等式组：
17.（9分）为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下：
劳动教育实践活动的意向项目及 近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1.你希望学校开展的劳动教育实践项目是(　　)(必选，单选题) A．种植花草蔬菜　 B．房间的清洁与整理 C．烹饪 D．传统工艺制作 2.你近一个月平均每天的劳动时长是____min.(必填题，填一个数据)
(1)下列抽取学生的方法最合适的是(　 　)
A．从九年级随机抽取两个班的学生
B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生
C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生
(2)学校采用(1)中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表(经核实，频数分布表中有个数据有误)：
意向项目扇形统计图
近一个月平均每天的劳动时长频数分布表
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
时长 15≤x＜20 20≤x＜25 25≤x＜30 30≤x＜35 35≤x＜40
频数 6 12 15 21 6
所占百分比 10% m% 25% 30% 10%
根据以上信息，解答下列问题：
①填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 .
②求样本中意向项目选择B项的人数．
③若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于30 min，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由．
18.(9分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC＝60°.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作CD∥AB交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接BD，求证：BD＝CD.
19.(9分)如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴交于A，B两点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过一次函数图象上一点C(2，3)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当x＞0时不等式kx＋b＞的解集 ；
(3)若反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝kx＋b的图象交于C，D两点，在图中用直尺与2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点C，点D；
②矩形的面积等于10.
20.(9分)我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面(阴影部分)如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径．
(1)如图2，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB＝0.6 m，AD＝3 m，BC＝4 m，求OB的长．
(2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得MN＝PQ＝0.5 m，NL＝LQ＝2 m，求该混凝土管片的外圆弧半径．
21.(10分)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下：
食品类别 能量(单位：Kcal) 蛋白质(单位：g) 脂肪(单位：g) 碳水化合物(单位：g)
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？
22.（10分）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30)．
结合上述信息，请完成下述问题：
(1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为 ．
【模型应用】
(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
23.（10分）综合与实践
(1)【提出问题】
如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PQ，连接AQ，DQ，则∠ADQ的度数为 ；
(2)【类比探究】
如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且BP＞DP，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，DQ.
①求∠ADQ的度数；
②当BP＝BA＝2时，求DQ的长；
(3)【迁移运用】
如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作Rt△APQ，且∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，当点Q到BD的距离为时，请直接写出BP的长．2026年河南省初中学业水平考试
第三次适应性测试
数 学
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
⒈如图，数轴上点A所表示的数的相反数为(　A　)
A．－3 B．3 C．－ D．
⒉已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是(　B　)
⒊拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3 240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3 240万”这个数据用科学记数法表示为(　C　)
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
⒋如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P.若量角器上显示∠COQ的读数为50°，则∠APQ的度数为(　C　)
A．50° B．110° C．130° D．140°
⒌下列一元二次方程中，没有实数根的是(　A　)
A．x2－x＋1＝0 B．x(x－1)＝0 C．x2＋12x＝0 D．x2＋x＝1
⒍龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是(　C　)
A． B． C． D．
⒎如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点(网格线的交点)，已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为(　A　)
A．π B．π C．π D．π
⒏如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O(0，0)，A(3，4)，C(8，0)，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再将线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为(　A　)
A．(－4，4) B．(－4，4) C．(4，－4) D．(4，－4)
⒐如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点D.设点P的运动路径总长为x，＝y.图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则菱形ABCD的周长为(　D　)
A．4 B．16 C．5 D．20
⒑如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为(　A　)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.请写出一个使代数式有意义的x的值　x≠3（答案不唯一）　.
⒓小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩(单位：分)统计如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次
成绩 97 98 100 98 99 99 98
第8次测试成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为__99__．
⒔在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍(n为整数)，那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为__30°或20°或18°或__．
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将△BCD沿射线BD平移得△EGF(BE＜BD)，连接AE，AF，当△AEF是直角三角形时，平移的距离BE的长度为__或__．
⒖我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的周长是__8或6＋__．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）(1)计算：－4sin 60°＋(2 025－π)0＋|3－2|；
(2)解不等式组：
解：(1)原式＝3－4×＋1＋2－3
＝3－2＋1＋2－3
＝1.
(2)解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x＞－2，
∴原不等式组的解集为－2＜x≤3.
17.（9分）为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下：
劳动教育实践活动的意向项目及 近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1.你希望学校开展的劳动教育实践项目是(　　)(必选，单选题) A．种植花草蔬菜　 B．房间的清洁与整理 C．烹饪 D．传统工艺制作 2.你近一个月平均每天的劳动时长是____min.(必填题，填一个数据)
(1)下列抽取学生的方法最合适的是(　C　)
A．从九年级随机抽取两个班的学生
B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生
C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生
(2)学校采用(1)中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表(经核实，频数分布表中有个数据有误)：
意向项目扇形统计图
近一个月平均每天的劳动时长频数分布表
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
时长 15≤x＜20 20≤x＜25 25≤x＜30 30≤x＜35 35≤x＜40
频数 6 12 15 21 6
所占百分比 10% m% 25% 30% 10%
根据以上信息，解答下列问题：
①填空：频数分布表中第__4__组对应的一个数据有误，应改为__35%__.
②求样本中意向项目选择B项的人数．
③若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于30 min，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由．
解：(1)C
(2)①4　35%
②60×(1－10%－30%－)＝27(人)．
答：样本中意向项目选择B项的人数为27人．
③建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯．
理由：少于30 min的人数占比为1－(35%＋10%)＝55%，超过一半．
18.(9分)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC＝60°.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作CD∥AB交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接BD，求证：BD＝CD.
解：(1)如图，CD即为所求作．(作法不唯一，合理即可)
(2)证明：如图，连接BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，∠BDC＝180°－∠BAC＝120°.
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC＝30°，
∴∠CBD＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°，
∴∠BCD＝∠CBD，
∴BD＝CD.
19.(9分)如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴交于A，B两点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过一次函数图象上一点C(2，3)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当x＞0时不等式kx＋b＞的解集__2＜x＜6__；
(3)若反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝kx＋b的图象交于C，D两点，在图中用直尺与2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点C，点D；
②矩形的面积等于10.
解：(1)∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C(2，3)，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)2＜x＜6
(3)作图如下：
20.(9分)我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面(阴影部分)如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径．
(1)如图2，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB＝0.6 m，AD＝3 m，BC＝4 m，求OB的长．
(2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得MN＝PQ＝0.5 m，NL＝LQ＝2 m，求该混凝土管片的外圆弧半径．
解：(1)∵OA＝OD，OB＝OC，
∴∠OAD＝∠OBC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝.
设OB＝x m，则OA＝(x－0.6)m，
∴＝，
解得x＝2.4.
经检验，x＝2.4是原方程的根，
即OB＝2.4 m.
(2)如图，设圆心为点O，连接OP，OM，OL，MP，OL与MP相交于点T，则∠OTM＝90°，MT＝NL＝2 m，TL＝MN＝0.5 m.
设外圆弧半径为r m，则OT＝(r－0.5)m.
在Rt△OMT中，由勾股定理，得OM2＝OT2＋MT2，
即r2＝(r－0.5)2＋22，
解得r＝4.25.
答：该混凝土管片的外圆弧半径为4.25 m.
21.(10分)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下：
食品类别 能量(单位：Kcal) 蛋白质(单位：g) 脂肪(单位：g) 碳水化合物(单位：g)
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？
解：(1)设应选用A种食品x份，B种食品y份．
根据题意，得
解得
答：应选用A种食品3份，B种食品2份．
(2)设应选用A种食品m份，则选用B种食品＝(6－m)份．
根据题意，得12m＋13(6－m)≥76，
解得m≤2.
设每份午餐的能量为w Kcal，
则w＝240m＋280(6－m)＝－40m＋1 680.
∵－40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w取得最小值，
此时，6－2＝4(份)．
答：应选用A种食品2份，B种食品4份．
22.（10分）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30)．
结合上述信息，请完成下述问题：
(1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为__18x__，排队人数w与安检时间x的函数关系式为__w＝－x2＋42x＋100__．
【模型应用】
(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
解：(1)18x　w＝－x2＋42x＋100
(2)w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541，
∴当x＝21时，w最大＝541.
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人．
(3)设开设m条通道，则w＝y－6mx＝－x2＋60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)x＋100，
∴对称轴为x＝3(10－m)．
∵排队人数在安检开始10分钟内(包括10分钟)减少，
∴0≤3(10－m)≤10，解得≤m≤10.
又∵最多开放9条，
∴≤m≤9.
∵m为正整数，
∴m最小值为7，
∴可开设7条安检通道．
23.（10分）综合与实践
(1)【提出问题】
如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PQ，连接AQ，DQ，则∠ADQ的度数为__60°__；
(2)【类比探究】
如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且BP＞DP，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，DQ.
①求∠ADQ的度数；
②当BP＝BA＝2时，求DQ的长；
(3)【迁移运用】
如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作Rt△APQ，且∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，当点Q到BD的距离为时，请直接写出BP的长．
解：(1)60°
(2)①如图1，过点A作AE⊥BD于点E.
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE＝45°，即△ADE为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝45°.
由旋转可知△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝45°，
∴＝＝，∠PAE＝∠QAD＝45°－∠DAP，
∴△APE∽△AQD，
∴∠ADQ＝∠AEP＝90°.
②在Rt△ABE中，BE＝AB·cos 45°＝，
∴PE＝BP－BE＝2－.
由(2)①知△APE∽△AQD，
∴＝＝，
∴DQ＝PE＝2－2.
(3)BP的长为2＋或2－.
【提示】可分为两种情况讨论如下：
第一种：当点Q在BD上方时，如图2，过点A作AL⊥BD于点L，过点Q作QK⊥BD，交BD的延长线于点K，则QK＝.
在Rt△APQ中，∠AQP＝30°，
∴＝.
∵∠ADB＝30°，
∴∠ABD＝60°.
在Rt△ABL中，BL＝AB·cos 60°＝2.
∵∠APQ＝∠ALP＝∠QKP＝90°，
∴∠APL＋∠PAL＝∠APL＋∠QPK＝90°，
∴∠PAL＝∠QPK，
∴△QPK∽△PAL，
∴＝＝，
∴PL＝＝，
∴BP＝BL＋PL＝2＋.
第二种：当点Q在BD下方时，如图3.
同理可得PL＝，
∴BP＝BL－PL＝2－.
综上，BP的长为2＋或2－.

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