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数学 参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1-5 ACDCB 6-10 DCABD 11-12 DC
4. C
【解析】设方程 x2－3x－8＝0 的两根为 x1，x2
Δ＝b2－4ac＝9＋32＝41＞0，方程有两个不相等的实数根，A，D 错误
x1＋x2＝3＞0，B 错误
x1x2＝－8＜0，C 正确
故选：C
5. B
【解析】数据 5，6，7，8，9，10，10 的众数是 10，中位数是 8
去掉两个数后中位数、众数保持不变，据此判断：一定不能去掉 10，否则众数发生变化
因为中位数不变，故两个数一定是 8 前边一个，8 后边一个，故一定去掉 9
故选：B
6. D
【解析】∵四边形 ABCD是正方形
∴∠DAC＝45°
∵正方形 ABCD沿 AE进行折叠，使点 D恰好落到正方形对角线 AC的点 F处
∴∠DAE＝∠EAC＝22.5°，选项 A 错误
∠D＝90°，∠DAE＝22.5°≠30°，选项 B 错误
∵DE＝EF，在 Rt△EFC中
∠EFC＝90°
∴EC＞EF
∴EC＞DE
选项 C 错误
∵∠D＝∠AFE＝90°，∠DAC＝45°
∴∠DEF＝135°，选项 D 正确
故选：D
7. C
U
【解析】设反比例函数的解析式为 I
R
U
把点 P（880，0.25）代入得 0.25＝ ，解得 U＝220
880
220
即函数解析式为 I＝ （R＞0）
R
故 B 正确
220
当 I＝0.2A 时，即 0.2＝ ，解得 R＝1100
R
数学 参考答案 第 1 页 共 12 页
故 A 正确
∵U＝220＞0
∴在第一象限，I随着 R的增大而减小
∴当 R＞880Ω时，0＜I＜0.25A，故 C 错误
当 R＜440Ω时，I＞0.5A，故 D 正确
故选：C
8. A
【解析】∵AB∥CD
∴∠AGE＝∠1＝40°
∴∠EGB＝140°
∵射线 GH平分∠BGI交 CD于点 H
∴∠EGH＝∠BGH＝70°
∵AB∥CD
∴∠IHG＝∠BGH＝70°
∴∠2＝70°
故选：A
9. B
【解析】由题意可得方程为 3x＋2（x＋1）＝12
∴5x＋2＝12
∴x＝2
∴A 饮料的单价为 2 元，B 饮料的单价为 3 元
故选：B
10. D
【解析】如右图，连接 EF
由作图痕迹可知，AG平分∠DAB
∴∠1＝∠2
∵四边形 ABCD为平行四边形
∴AF∥BE
∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠3
∴AB＝EB
由作图痕迹可得 AB＝AF
∴AF＝BE
又 AF∥BE
∴四边形 ABEF是平行四边形
∵AB＝AF
∴四边形 ABEF是菱形
1
∴AE⊥BF，OB＝OF＝ BF＝8，OA＝OE
2
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在 Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝ AB 2 OB 2 ＝6
1
∴△OBE的面积为 OB×OE＝24
2
故选：D
11. D
【解析】分别作出两条抛物线 L1，L2的对称轴 PM，QN，交 AD于点 M，N
∴四边形 PMNQ是矩形
∴MN＝PQ
设 AB＝x
∵BC＝4，CD＝12
1 1 1
∴BN＝ BD＝8，MC＝ AC＝ （x＋4）
2 2 2
1
∴MN＝PQ＝MC＋BN－BC＝ （x＋4）＋8－4＝13
2
∴x＝14
故选：D
12. C
【解析】在 Rt△ABC中
∵BC＝4，∠BAC＝30°
∴AC＝8，AB＝ 4 3
①若 AC⊥BO
∴∠ABD＝∠BCA＝60°
∴DB＝2 3 ，AD＝6
∴CD＝2
∵∠COD＝∠OAD，∠ODC＝∠ADO
∴△ODC∽△ADO
CD OD
∴
OD AD
∴OD＝2 3
∴OD＝DB＝2 3
∴①正确
②如右图，当∠ABO＝30°，∠OAB＝∠ABC＝∠BCO＝90°时
四边形 AOCB是矩形
∴AC与 OB互相平分
∴D为 OB的中点
但 AC与 OB的夹角为 60°、120°不垂直
∴②不正确
③如右图，连接 OE，BE
∵∠AOC＝∠ABC＝90°
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1
∴BE＝OE＝ AC＝4
2
当 OB经过点 E时，OB最大
则 B，O两点之间距离的最大值为 8
∴③正确
④由③可知
BE＝OE
∴点 E始终在线段 OB的垂直平分线上
∴④正确
综上所述，本题正确的是①③④
故选：C
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
13. 3
【解析】 18 m 2 ＝3 2 ＋m 2 ＝（3＋m） 2 ， 72 6 2
∴3＋m＝6
∴m＝3
14. -5 或 7
【解析】∵x2＋2（m－1）x＋36 是关于 x的完全平方式
∴2（m－1）＝±12
解得 m＝-5 或 7
15. 200
【解析】如右图
根据题意，∠2＝∠1＝30°
∵∠ACD＝60°
∴∠ACB＝30°＋60°＝90°
∵∠ABC＝75°－30°＝45°，则∠A＝∠ABC＝45°
∴△ABC为等腰直角三角形
∵BC＝10×2000000＝20000000（cm）＝200（km）
∴AC＝BC＝200（km）
16. 6－ 2 2
【解析】连接 CG，则点 O在 CG上
正八边形 ABCDEFGH，点 O是正八边形的中心
B （8 2） 180 ∴∠ ＝∠D＝ ＝135°，AB＝BC＝CD＝DE
8
∴△ABC≌△EDC
∴AC＝EC
180 135
∴∠DCE＝∠ACB＝ ＝22.5°
2
∴∠ACE＝135°－22.5°－22.5°＝90°
∴△ACE是等腰直角三角形
数学 参考答案 第 4 页 共 12 页
∴△ACE的内心 I一定在 CO上
∵CE＝AC＝4
∴AE＝4 2
∴AO＝OC＝OH＝ 2 2
∵∠HOF＝2∠HOG＝90°，OH＝OF
∴△OHF是等腰直角三角形
∵△OHF的外心为点 R
∴R为 HF的中点，在线段 CG上
∴HF⊥OG
∴△OHR为等腰直角三角形
∵HF＝AC＝4
∴OR＝2
过点 I作 IM⊥AC交 AC于点 M，IN⊥CE交 CE于点 N，则 IO＝IN＝IM
在 Rt△ACE中，AC＝CE＝4
设 IO＝r，则 CI＝ 2 2 －r
∵ IM 2
IC 2
r 2
即
2 2 r 2
解得 r＝4－ 2 2
∴IO＝4－ 2 2
∴IR＝IO＋OR＝6－ 2 2
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17. 解：（1）∵P＝4（ －m）
2
当 m＝4 时，P＝2－16＝-14···································································3 分
1
（2）∵P＝4（ －m）＝2－4m，由数轴可知，6＜P≤18
2
即 6＜2－4m≤18
解得-4≤m＜-1
∴符合条件的整数有：-2，-3，-4···································································· 7 分
18. 解：（1）表格填充如下图
··················································2 分
∵x2－2x＝x（x－2）
数学 参考答案 第 5 页 共 12 页
可以分解因式的有 2 个·········································································· 3 分
1
∴P ＝ ················································································（M 可以分解因式） 5 分3
1
（2）∵M×
（x 2）2
＝3
1
∴x（x－2）× ＝3
（x 2）2
解得 x＝3······································································································7 分
经检验：x＝3 是原分式方程的解······································································· 8 分
19. （1）2400······································································································· 2 分
补全折线统计图如下图所示
·········································································4 分
【解析】∵参加社区服务人数为 50%，助老助残人数，生态环保人数，网络文明人数之和为 1200 名，
占 50%
∴本次调查的样本容量为 2400
300
解：（2）助老助残部分对应的扇形统计图的圆心角的度数为 ×360°＝45°··············6 分
2400
600
（3）估计参加生态环保的学生有 120000× ＝30000＝3×104（名）·························· 8 分
2400
20. 解：（1）由图象可得，点 A（0，27）································································· 1 分
点 A的实际意义是净水桶的最高水面到蓄水桶桶底的距离为 27cm（或滤水壶的高度为
27cm）······························································································ 2 分
（2）设线段 AB所在直线的解析式为 h＝kt＋b
∵点 A（0，27）和点 B（3，9）在该函数图象上
b 27
∴
3k b 9
k 6
解得
b 27
即线段 AB所在直线的解析式为 h＝-6t＋27
∵AB∥CD
设线段 CD所在直线的解析式为 h＝-6t＋b'
∵点 C（3，21）在该函数图象上
数学 参考答案 第 6 页 共 12 页
∴21＝-6×3＋b'
解得 b'＝39
即线段 CD所表示的两桶水面的距离 h（cm）与水流时间 t（min）的函数关系式为 h＝-6t＋39
·················································································································· 6 分
（3）净水桶水面与蓄水桶水面重合时，h＝0
将 h＝0 代入 h＝-6t＋39，得 0＝-6t＋39
13
解得 t＝ ··································································································· 8 分
2
21. 解：（1）由题意可知 NH∥AD，FE⊥AD
延长 FG交 NH于点 T，则 GT⊥NH
在 Rt△THG中，∠GHN＝60°，则 GT＝GH·sin∠GHN＝8× 3 ＝4 3 （cm）
2
∴TF＝FG＋GT＝（6＋ 4 3 ）cm
点 F到漏斗口 NH的距离为（6＋ 4 3 ）cm··············································· 3 分
（2）∵MN＝GH，∠MNH＝∠GHN＝60°
∴△MNH为等边三角形
∴NT＝TH＝GH·cos∠GHN＝4cm
NT 4 4 3 6
∴在 Rt△NFT中，tan∠GFN＝ ·········································6 分
TF 6 4 3 3
（3）过点 P作 PK∥FG，交 NH于点 I，过点 Q作 QK⊥PK于点 K
由题意可知，QK∥NH
∵玻璃棒与水平方向的夹角为 53°
∴∠PQK＝53°
在 Rt△PQK中，PK＝PQ·sin∠PQK＝PQ·sin53°≈15×0.8＝12cm
2
∵GH＝8cm，PG＝ GH
3
1 8
∴PH＝ GH＝ cm
3 3
在 Rt△PHI中，PI＝PH·sin∠GHN＝ 8 3 4 3 （cm）
3 2 3
此时玻璃棒点 Q到桌面的距离为 PK－PI＋TE＋AB＝12－ 4 3 ＋18＋4 3 ＋3≈37.6（cm）
3
即玻璃棒点 Q到桌面的距离约为 37.6cm······························································9 分
22. 解：（1）当α＝90°时，点 P的坐标为（0，3）
抛物线经过点 P
1
∴设抛物线的解析式为 y＝- x21 ＋bx＋32
∵抛物线经过点 A（-3，0）
9
∴0＝- －3b＋3
2
数学 参考答案 第 7 页 共 12 页
1
∴b＝-
2
1 1
∴抛物线的解析式为 y＝- x2－ x＋3···················································1 3 分2 2
（2）∵A（-3，0），P（0，3）
设直线 PA的解析式为 y＝kx＋3（k≠0）
直线 PA经过点 A（-3，0）
∴k＝1
∴直线 PA的解析式为 y＝x＋3
1
设点 M（x，- x2
1
－ x＋3）
2 2
过点 M作 x轴的垂线，交 PA于点 N
则 N（x， x＋3）
1
MN＝- x2
1
－ x＋3－（x＋3）
2 2
1 1 3 9
＝- （x2＋3x）＝- （x＋ ）2＋
2 2 2 8
9
∴MN的最大值为
8
1 1 1 27
∴S△MAP＝S△MNA＋S△MNP＝ MN×（x＋3）＋ MN×（0－x）＝ ×3×MN＝2 2 2 16
27
∴△MAP面积的最大值为
16
在 Rt△AOP中，OA＝OP＝3
∴AP＝ 3 2
过点 M作 MQ⊥AP于点 Q
1 27
∴ AP·MQ＝
2 16
∴MQ＝ 9 2
16
∴点 M到直线 AP的最大距离为 9 2 ·································································6 分
16
（3）当抛物线与直线 OP有且只有一个交点时，设抛物线与 x轴的另一个交点为（n，0），抛物线
经过点 A（-3，0）
1
∴设抛物线解析式为 y2＝- （x＋3）（x－n）2
当α＝45°时，直线 OP的解析式为 y＝-x
1
令-x＝- （x＋3）（x－n）
2
化简得 x2＋（1－n）x－3n＝0
∵直线 OP与抛物线 y2有且只有一个交点
∴方程 x2＋（1－n）x－3n＝0 有两个相等的实数根
数学 参考答案 第 8 页 共 12 页
即Δ＝（1－n）2－4（-3n）＝0
解得 n＝2 6 －5 或 n＝-2 6 －5（舍去）
另一个交点为（2 6 －5，0）···········································································9 分
23. 解：（1）①连接 OC，如右图
∵C为上半圆的中点，AB是直径，圆的半径为 4 2
∴CA＝CB，∠ACB＝90°
∴△ACB是等腰直角三角形
1
∴OC＝OA＝ AB＝4
2 2
在 Rt△AOC中，由勾股定理得 AC＝8
2
∴扇形 CAB 90π 8的面积为 ＝16π····························3 分
360
②如右图，连接 CD
∵点 E为A⌒B的中点
∴点 E，O在直径 CD上
∵CD＝8 2
∵CE＝AC＝8
∴DE＝CD－CE＝8 2 8 ·········································· 5 分
（2）如右图，过点 C作 CT⊥AB于点 T，连接 OA，OB
∴OA＝OB，CA＝CB
∴OC垂直平分 AB
∴O，C，T三点共线
∵∠ACB＝90°，AB＝ 4 6
1
∴CT＝AT＝ AB＝2
2 6
在 Rt△AOT中，由勾股定理得 OT＝ AO 2 AT 2 2 2
OC＝CT－OT＝ 2 6 2 2
∴点 O与点 C的距离为 2 6 2 2 ···································································· 8 分
（3）圆锥底面圆的周长 L的取值范围为 8 2π L 16 6π ··········································11 分
3 9
【解析】圆锥底面圆的周长 L等于扇形 CAB的弧长
∵CA＝CB，OA＝OB
∴OC垂直平分 AB
∴点 C一定在⊙O的某条直径 EF上运动
设 EF，AB交于点 M
∵∠AMC＝90°，∠ACM＝60°
∴AC＝ AM 2 3AM
sin ACM 3
∴AC随着 AM的增大而增大，即扇形 CAB的弧长随着 AM的增大而增大
数学 参考答案 第 9 页 共 12 页
如右图，当点 C与点 E重合时
∵OE⊥AB
1
∴∠OCA＝∠OCB＝ ∠ACB＝60°
2
∵OC＝OA
∴△AOC是等边三角形
∴AC＝OA＝ 4 2
∴扇形 CAB的A⌒B的长为 120π 4 2 8 2π
180 3
如右图，当点 M恰好与点 O重合时，此时 AC＝ OA 8 6
sin ACO 3
120 8 6π
∴扇形 CAB的A⌒B 16 6π的长为 3
180 9
∴圆锥底面圆的周长 L的取值范围为 8 2π L 16 6π
3 9
24. 解：（1）如右图
当 PE⊥AD时，PE最小
过点 D作 DG⊥AB于点 G
∴∠DGA＝90°
∴AG2＋DG2＝AD2
DG 4
∵tan∠DAB＝
AG 3
设 DG＝4k，AG＝3k（k＞0）
∵AD＝10
∴（3k）2＋（4k）2＝100
∴k＝2
∴AG＝6，DG＝8
DG 4
∴sin∠DAB＝ ＝
AD 5
∵AE＝8
32
∴PE＝AE·sin∠DAB＝
5
32
∴线段 PE的最小值为 ·····································································3 分
5
（2）如右图
过点 P作 PW⊥AB于点 W
∴∠PWE＝∠ABF＝∠PEF＝90°
∴∠PEW＋∠WPE＝90°，∠PEW＋∠BEF＝90°
∴∠WPE＝∠BEF
∵PE＝EF
数学 参考答案 第 10 页 共 12 页
∴△PWE≌△EBF
∴PW＝EB＝AB－AE＝14－8＝6
在 Rt△APW中
PW 6 4
sin∠PAB＝
AP AP 5
15
∴AP＝ ···································································································· 6 分
2
（3）①如右图，点 P与点 A重合时
同（1），过点 D作 DG⊥AB于点 G
则∠DGA＝∠DGE＝90°
∵线段 PE绕点 E顺时针旋转 90°得到线段 FE
∴∠AEF＝90°，FE＝AE＝8
由（1）知，DG＝8
∴EF＝DG
∴点 F在边 CD上
∵AG＝6
∴EG＝AE－AG＝2
∵∠DGE＝∠CDG＝∠GEF＝90°
∴四边形 DFEG是矩形
∴DF＝2
∵CD∥AB
∴△DFM∽△EPM
DM DF 1
∴ ························································································ 8 分
EM AE 4
②如右图，延长 EF交 CD于点 H，连接 AH，交 DE于点 N，则 AE＝EH＝8
1
∴∠EAH＝ （180°－∠AEH）＝45°
2
∵PE＝FE
1
∴∠EPF＝ （180°－∠PEF）＝45°
2
∴∠EAH＝∠EPF
∴AH∥PF
∴△ENH∽△EMF，△EAN∽△EPM
HN EN AN EN
∴ ，
FM EM PM EM
HN AN
∴
FM PM
FM HN
∴
PM AN
HN DH 1
由①可知，
AN AE 4
数学 参考答案 第 11 页 共 12 页
FM 1
∴
PM 4
FM
故 为定值··························································································· 10 分
PM
14
（4） ·············································································································12 分
5
【解析】当点 P在 AD上运动时，如右图
过点 E作 ER⊥CD于点 R，作射线 RF，交 BC于点 X
∴∠AER＝∠PEF＝90°
∴∠AEP＋∠PER＝∠REF＋∠PER＝90°
∴∠AEP＝∠REF，AE＝RE＝8，PE＝FE
∴△PAE≌△FRE（SAS）
∴∠ERF＝∠DAB
∴点 F在过点 R且与 RE成定角度是∠DAB的度数的射线上运动
∵∠ERF＋∠CRF＝90°，∠DCB＝∠DAB
∴∠DCB＋∠CRF＝90°
∴∠CXF＝90°
RX
∴tan∠DCB＝
CX
4
∵tan∠DCB＝tan∠DAB＝
3
RX 4
∴
CX 3
4
∴RX＝ CX
3
∵RX2＋CX2＝CR2，CR＝12
36
∴CX＝
5
36 14
∴当 F在 X处时，BF最小，BF＝BC－CX＝10－ ＝
5 5
14
故线段 BF的最小值为
5
数学 参考答案 第 12 页 共 12 页2026年石家庄市裕华区自主招生考试
数学（试卷)
注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟。
2
答题前，考生务必将牲名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置。
3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效。答题前，请仔细阗读
答题卡上的“注意事项”，按阴“注意事项”的规定答题。
4、答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题。
州
5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、
选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有
项符合题意)
1.下列比-2小的数是…
年自)
A.-4
B.1
只
C.0.5
D.0
2.下列式子计算正确的是
)
A.a2·a'=a
B.(a)3=a
C.(a2b）2=ab
D.(a+b)2=a2+b2
3.下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成，下列说法正确的是
)
毁
拓
正面
正面
02
正面
正面
①
②
⑧
④
A.①②主视图相同B.②③主视图相同
C.①③左视图相同
D.②④左视图相同
4.关于方程x2-3x-8=0的实数根，下列说法正确的是…。
)
蜜
A.方程没有实数根
B.两个根的和为负数
C.两个根的积为负数
D.方程只有一个实数根
5.小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：立方
米)如下：5,6,7,8,9,10,10.她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的
中位数、众数保持不变，则去掉的两个数据中一定有
)
A.10
B.9
C.7
D.6
6.如图1，将正方形ABCD沿AE进行折叠，使点D恰好落到正方形
对角线AC的点F处，则下列说法正确的是…(
)
A.∠DAE=30°示8-11国m突西0
B.AE=2DE
F
C.E为CD的中点
义
D.∠DEF=135°
图1
7,某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化
来实现，图2是该台灯的电流1(A)与电阻R()的关系图象，该图象经过点
P(880,0.25).根据图象可知，下列说法错误的是…
A.当I=0.2A时，R=11002
个IIA
B.该台灯工作时的额定电压为220V
2
卖
C.当R>8802时，1>0.25A
0.25
D.当R<4402时，I>0.5A
880R/2
8.如图3，直线AB∥CD,直线EF交AB,CD于点G,I,射线GH
图
平分∠BG交CD于点H.若∠1=40°，则∠2的度数为
GF
(
B
A.70°
B.68°
C.66°
中、八1o
D.64°
HY2 D
9.已知嘉嘉第一次在超市买了3瓶A饮料和2瓶B饮料，一共花了12元，
图3
若B饮料比A饮料
的单价多1元，设A饮料的单价为x元.则下列说法正确的是…
)
A.由题意可得方程为3x+2(x-1)=12B.由题意可得方程为3x+2(x+1)=12
C.A饮料的单价为3元
D.B饮料的单价为2元
10.在口ABCD中，用直尺和圆规进行作图，痕迹如图4所示.AG交BC于点E,交BF于点
O.若BF=16,AB=10,则△OBE的面积为
1)
A.18
B.20
C.22来示D.24
05合1S
E
图4
图5
图6A
M
11.在平面直角坐标系中有两条抛物线L,L2,它们的顶点P,Q都在x轴上，平行于x轴
的直线与L相交于A,C两点，与L,相交于B,D两点（点B在点C的左侧），
如图5所
示，若PQ=13,BC=4,CD=12,则AB的长度为…
)
A.7
B.9
C.12
D.14
12.如图6，在R△ABC中，BC=4,∠BAC=30°，点E为斜边AC的中点，斜边AC的两个端点
分别在相互垂直的射线OM,ON上滑动，AC,OB交于点D.下列结论：①若AC⊥OB,则
OD=DB=23;②若D为OB的中点，则AC⊥OB;③B,O两点之间距离的最大值为
8;④斜边AC的中点E始终在OB的垂直平分线上.其中正确的是…(
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

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