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2026年九年级一模考试
数 学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5 B．-0.5 C．-1.5 D．-2.5
2．DeepSeeK是由幻方量化创立的人工智能，公司推出的一系列AI模型，它采用了混合专家架构．比如DeepSeeK-V3总参数达6710亿，但每个输入只激活370亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将370亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移7个单位长度，再绕原点旋转180°后，得到的抛物线表达式是（ ）
A． B． C． D．
8．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为60°的扇形，则圆锥形冰淇淋纸在的底面半径为（ ）
A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm
9．如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成大正方形，连结，若，小正方形与正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图②所示，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若是不等式组的一个解，的值可以是________．
12．寒假期间，明明和茜茜计划去“只有河南 戏剧幻城”游玩，景区有《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》三个主剧场，明明、茜茜各随机选择一个主剧场观看，则两人恰好选择同一剧场的概率为________．
13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个中点，，都在格点上，在的正切值是________．
14．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
-2 0 2 4 5
7 -5 -9 -5 0
则关于的一元二次方程的解为________．
15．若一个三角形三边长之比为3:4:5，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为________．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）计算与化简
（1）； （2）．
17．（9分）随着人工智能技术的迅猛发展，AI聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分10分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下．
a．甲款 AI聊天机器人评分数据：7，8，7，10，7，6，6，8，10，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6．
b．乙款 AI聊天机器人评分条形密计划（下图）．
c．甲、乙两款AI聊天机器人评分统计表．
平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比
甲款 7.5 7.5 15%
乙款 7.5 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上达表中的________，________，________；
（2）你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由；
（3）在此次调查中，各在300人对甲、乙两款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款AI聊天机器人特别满意的总人数．
18．（9分）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2所示的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将此教具沿轴正方向平移个单位长度，在平移的过程中，苦此教具的边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围．
19．（9分）随着新能源汽车保有量的快速增长，商场充电桩的市场需求持续增加，某商场为提升服务体验和增加收入，计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电柱和2个地下充电桩共需2.2万元；新建2个地上充电柱和1个地下充电桩共需2万元．
（1）求该商场新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需要多少万元？
（2）若该商场计划新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍，应如何新建充电柱使得总费用最少？
20．（9分）汽车驾驶员坐在驾驶座位上，其视线观察不到的地方叫“汽车盲区”．一般来说，家用小汽车有四大盲区，分别是车头盲区、车位盲区，左右后视镜盲区，柱盲区．如图是一辆汽车的“车头盲区”示意图，其中，，，驾驶员的眼睛所处位置的高度为1.4米，等驶员座位与车头之间距离为2米，当驾驶员从点观察车头点时，其视中的你认为12°，点A、D、在同一直线上．
（1）的度数为________；
（2）求“车头盲区”点B，E之间的距离；（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
（3）交警叔叔曾做过实验，一辆家用汽车的视野盲区能容纳75个小朋友，这样的结果使我们震惊！文明交通，你我同行，为避免此类事故的发生，请给司机或行人一个建议．
21．（9分）如图，在Rt中．
（1）尺规作图：以边上一点为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，记与边的另一交点为，，．求的半径．
22．（10分）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
23．（10分）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，点在等边内部，且，，，求的长．
【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点顺时针旋转60°得到，连接寻找，，之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程．
【理解应用】如图2，在等腰直角中，为内一点，．判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【类比迁移】如图3，小李家旁边有一块三分形的空地，其中，，小李家位于空地旁的点，通过测量得，，，请直接写出线段的长．
2026年九年级一模考试
数学参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A D D D C B C
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 答案不唯一（的任意一个数）
12. 13. 14.， 15. 或
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16.（10分）（1）解：原式；……5分
（2）解：原式……5分
17.（9分）解：（1）8 7.5 20%……3分
（2）我认为乙款 AI聊天机器人更受用户喜爱．理由：甲、乙两款 AI聊天机器人评分的平均数和众数相同，但是乙款 AI聊天机器人评分的特别满意所占百分比高于甲款 AI聊天机器人，所以乙款 AI聊天机器人更受用户喜爱. ……6分
（3）（人）
答：此次调查中对两AI聊天机器人特别满意的总人数约为 105.　……9分
18.（9分）（1）根据题意可知，点D的坐标为（2，3）.
∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得
∴反比例函数的表达式为 ……3分
（2）根据题意可知，点C的坐标为（2，1）.
将此教具沿x轴正方向平移m个单位长度时，点C的对应点的坐标为，
当反比例函数的图象经过点时，，∴.
∴此教具边的与反比例函数图象始终有交点时，.……9分
19.（9分）（1）解：设新建1个地上充电桩需要x万元，新建1个地下充电桩需要y万元．
由题意，得 解得
答：新建1个地上充电桩需要0.6万元，新建1个地下充电桩需要0.8万元．……4分
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，总费用为万元．
则，解得．
由题意，得，
∵， ∴W随m的增大而减小．
∴当时，W取得最小值，此时．
答：应新建地上充电桩20个，地下充电桩40个，此时总费用最少．……9分
20.（9分）（1）12° ……1分
（2）在中，（米）
∴（米）．
答： “车头盲区”点B、E之间的距离均为4.7米； ……7分
（3）建议：司机：调好座位，调整后视镜角度，减速慢行，专心开车避免注意力不集中；
行人：在路口遇到大货车，与其保持一定安全距离. ……9分
21. （9分）解：（1）如图，作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作⊙O，则与边相切于点. ……4分
（2）如图所示，设，由（）可知，
∵，，中，，
，
∴，即，
解得：，
∴的半径为．……9分
22.（10分）解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴设篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为.
把代入，得.
∴.
∴篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为……3分
（2）把代入，得.
∵，∴李明投出的此球不能命中篮圈中心，小丽的判断是正确的.……5分
（3）当时，，解得或．
∵5>3，∴.
答：张亮应该在李明前面1m范围内跳起拦截才能盖帽成功.……10分
23.解：【思考探究】由旋转可知，，，，
∴是等边三角形， ∴，.
∴ ∴是直角三角形，
∴.……（3分）
【理解应用】.
理由：如图，把绕点C顺时针旋转90°得到
，连接，由旋转可知，，.
∴是等腰直角三角形，
∴，．∴
∴
在Rt中，由勾股定理，得，
即
∴…（7分）
【类比迁移】的长为.…（10分）
详解：如图，将绕点B顺时针旋转90°得到.连接，由旋转可知．．．．∴是等腰直角三角形，
∴，.
∴点P在线段上，，∴是直角三角形，
∴，
∴的长为.

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