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第十章 不等式与不等式组
培优专题：一次方程（组）与一元一次不等式的综合应用
应用一：购物问题
1.刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为我国四大名绣之一，闻名中外。某国际旅游公司计划购买A,B两种湘绣作品。已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元。
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价。
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
应用二：积分问题
2.某班A,B,C,D,E五名同学进行跳棋比赛，每两名同学要进行两盘比赛，比赛结果没有平局，最后按积分多少排列名次，比赛中途积分记录如下。
同学 盘数 胜盘数 负盘数 积分
A 8 4 4 32
B 5 3 2 21
C 6 2 4 22
D 3 a b c
E 6 3 3 24
(1)由B和C的比赛成绩列方程组计算出胜一盘的积分和负一盘的积分。
(2)直接写出结果:a =_______,b =_______,c=_________.
(3)若比赛全部结束，D的积分不少于A的积分，则后阶段的比赛中，D至少要胜几盘？
应用三：工程问题
3.某社区计划对面积为3600 m 的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队4天能完成绿化的面积等于乙队8天能完成绿化的面积，甲队3天能完成绿化的面积比乙队5天能完成绿化的面积多50m .
(1)求甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积。
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
应用四：租车问题
4.某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满。已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个。
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数。
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案。在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生都有座位，求租用小客车数量的最大值。
应用五：购票问题
5.某景区售出的门票分为成人票和儿童票，购买3张成人票和1张儿童票共需350元；购买1张成人票和2张儿童票共需200元。
(1)求每张成人票和每张儿童票的价格。
(2)若干家庭结伴到该景区旅游，成人和儿童共30人。售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售。请你帮助他们选择花费最少的购票方案。
应用六：行程问题
6.甲、乙两车分别从相距200千米的A，B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速。若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇；若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇。
(1)求甲、乙两车的速度。
(2)若甲、乙两车同时按原速度行驶1小时后，甲车发生故障不动了，则乙车至少再以多快的速度行驶，才能保证在甲车出发后不超过3小时与甲车相遇？
应用七：生产问题
7.贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间。为满足市场需求，某抹茶生产车间准备安装A，B两种型号生产线。已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200吨，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280吨。
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨。
(2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装A，B两种型号的生产线共5条。该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000吨，至少需要安装多少条A型生产线？
参考答案
1.解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元/件，B种湘绣作品的单价为y元/件。
根据题意，得 ，解得 .
答：A种湘绣作品的单价为300元/件，B种湘绣作品的单价为200元/件.
(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200-m)件。
根据题意，得300m+200(200-m)≤50000，解得m≤100，∴m的最大值为100.
答：最多能购买A种湘绣作品100件.
2.解：(1)设胜一盘的积分是x，负一盘的积分是y。
依题意，得 ，解得 .
故胜一盘的积分是5，负一盘的积分是3.
(2)2 1 13
(3)设后阶段的比赛中，D要胜z盘。
依题意，得5(z+2)+3(8-z-z)≥32，解得z≥2。
故后阶段的比赛中，D至少要胜2盘.
3.解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为 ，则甲工程队每天能完成绿化的面积为 ，
依题意，得3×2x-5x=50，解得x=50，∴2x=100.
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为100 ，乙工程队每天能完成绿化的面积为50 .
(2)设安排乙工程队绿化m天，则安排甲工程队绿化 天.
依题意，得 ，解得m≥32.
答：至少应安排乙工程队绿化32天.
4.解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个。
根据题意，得 ，解得 .
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个.
(2)设租用a辆小客车才能使所有参加活动的师生都有座位，
则18a+35(11-a)≥300+30，解得a≤ .
∵a取整数，∴租用小客车数量的最大值为3.
5.解：(1)设每张成人票x元，每张儿童票y元。
根据题意，得 ，解得 .
答：每张成人票100元，每张儿童票50元.
(2)设参加旅游的儿童有m人，则成人有(30-m)人。
按团体票购买时总费用为 (元).
分别按成人票、儿童票购买时总费用为100(30-m)+50m=3000-50m.
当3000-50m=2400时，解得m=12，∴当儿童为12人时，两种购票方案花费相同；当3000-50m>2400时，解得m<12，∴当儿童少于12人时，选择购买团体票花费少；
当3000-50m<2400时，解得m>12，∴当儿童多于12人时，选择分别按成人票、儿童票购票花费少.
6.解：(1)设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
根据题意，得 ，解得 .
答：甲车的速度为40千米/时，乙车的速度为40千米/时。
(2)设乙车再以a千米/时的速度行驶。
根据题意得40×1+40×1+(3-1)a 200，解得a 60.
答：乙车至少再以60千米/时的速度行驶，才能保证在甲车出发后不超过3小时与甲车相遇.
7.解：(1)设一条A型生产线每月生产抹茶x吨，一条B型生产线每月生产抹茶y吨。
根据题意得 ，解得 .
答：一条A型生产线每月生产抹茶120吨，一条B型生产线每月生产抹茶80吨。
(2)设需要安装m条A型生产线，则安装(5-m)条B型生产线。
根据题意得4×120m+4×80(5-m) 2000，解得 .
∵m为正整数，∴m的最小值为3.
答：至少需要安装3条A型生产线.

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