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2025-2026学年下学期莆田第九中学八年级期中考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7
2.下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC
6. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
7. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝1cm，接着又将该学具活动成如图（2）所示的正方形．从图（1）到图（2），关于点A、C之间的距离的说法正确的是（　　）
A. 保持不变 B. 增加1cm
C. 减少 D. 增加
8. 如图，在矩形中，点坐标是，则的长是（ ）
A 3 B. C. D. 4
9. 如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A. 45° B. 30° C. 60° D. 55°
10. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 二次根式中，x的取值范围是______．
12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________．
13. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_____．
14. 如图，某自动感应门正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米．
15. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________．
16. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 ．
三、解答题（共86分）
17.(8分） 计算：；
18. (8分）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积.
19.（8分） 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．
20.(8分) 如图，在中，．
（1）求作：的一条中位线，与交于D点，与交于E点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：
（2）若，连接，求的长度．
21.(8分） 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？
22.（10分） 如图，矩形中，，点E、F分别在上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求线段EF的长．
23．（10分）观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空：______ _____ ______；(3分）
(2)利用以上规律计算：；（4分）
(3)求的值．（3分）
24. (12分)如图,在中， , 点O为线段AD的中点, 延长BO交CD的延长线于点 E, 连接AE,BD, ∠BDC=90°.
(1)求证: 四边形ABDE是矩形;
(2)连接OC, 若AB=4, BD=2 , 求OC的长.
25.（14分）．在正方形中，对角线与BD 交于点，P是对角线BD上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）：
(1)当点在线段上时，如图②；
①连接，求证：；
②求证：；
(2)当点在线段BO上时，如图③，求证：．
2025-2026学年下学期莆田第九中学八年级期中考试
一．选择题
1．B．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．D．8．C．9．B．10．B．
二．填空题
11．x≥2．12．．13．6．14．1.5．15．8． 16．6
三．解答题（共7小题）
17．解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+5
＝+5；
18．解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，∴AC＝5米，
∵CD＝12米，DA＝13米，
∴△ACD为直角三角形，
∴草坪的面积等于＝S△ABC+S△ACD
＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36米2．
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴CF＝CD，AE＝BC，
∴CF＝AE，CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
20．解：（1）如图，分别以B、C为圆点，以大于线段AB一半的长度在AB线段上下方画弧线，连接弧线交点交AB于D，BC于E，则DE即为所求作图形，
（2）如图，连接CD，
∵DE是△ABC的中位线，
∴D，E分别为AB，BC中点，
∴DE∥AC，
∵△ACB为直角三角形∠ACB＝90°，
∴，
又∵∠B＝30°，DE＝6，
∴BD＝2DE＝12，
∴CD＝BD＝12．
21．设OA的长为x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4尺
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
由勾股定理得：102+（x﹣5+1）2＝x2，
解得：x＝14.5．
答：秋千绳索（OA或OB）的长度为14.5尺．
22.（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，
∵BE＝DF＝3，
∴CF＝AE＝8﹣3＝5，
∴AF＝CE＝＝5，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝5，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，如图所示：
则四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF＝3，FH＝AD＝4，
∴EH＝5﹣3＝2，
∴EF＝＝＝．
23．解：（1）a4＝＝＝﹣2；
故答案为：，，﹣2；
（2）原式＝﹣1+﹣+2﹣+ +﹣
＝﹣1
＝45﹣1
＝44；
（3）原式＝（++）×（+1）
＝×（+1）
＝
＝3．
24．（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OF＝BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
即OC的长为．
25.证明：（1）①如图②，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于S，交CD于点R，连接PC，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDP＝45°，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC；
②在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠PBA＝∠PBC＝45°，
∵GH∥AB，SR∥AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠PHB＝∠PSB＝90°，
∴∠PBA＝∠PBC＝∠SPB＝∠BPH＝45°，
∴△BPH和△BPS为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，
∴PG＝PR，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°，
∴∠APG+∠QPH＝90°，
∵∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠APG＝∠PQH，
在△PGA和△QHP中，
，
∴△PGA≌△QHP（AAS），
∴PA＝PQ，
由①得：PA＝PC，
∴PQ＝PC，
在Rt△DPR中，由勾股定理得：PR2+RD2＝PD2，
∴2PR2＝PD2，
∴，
∴；
（2）如图③，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于S，交CD于点R，连接PC，
根据（1）中的解法同理可得：，PH＝BH，PQ＝PC，
∴，
在Rt△BPH中，由勾股定理得：PH2+BH2＝BP2，
∴2BH2＝BP2，
∴，
∵QH﹣BH＝BQ，
∴，
∴．

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