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南门学校八年级下学期数学期中阶段测评
（满分：150分：考试时间:120分钟）
注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上相应的位置。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（ ）
A． B． C． D．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
5．在平行四边形中，，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（ ）.

A． B． C． D．
第7题 第8题
8．如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（ ）尺.
A．10 B．12.5 C．14.5 D．16
10．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　 ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．如图，数轴上点表示的实数是_______．
12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________．
13．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______．
第11题 第12题 第13题 第14题
14．如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置.若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为________．
15．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________．
16．如图，在中，，，为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为___．
第15题
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（本题8分）计算：0
18．（本题8分）解方程：
19．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且．
求证：
20．（本题8分）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理，求需要绿化的空地的面积．
21．（本题8分）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1) （4分）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2) （4分）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
22．（本题10分）如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形．
(1) （5分）如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度；
(2) （5分）如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹）
23．（本题10分）从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究．
设原矩形长为，宽为．
【特例感知】（1）（4分）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______；
【类比探究】（2）（3分）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由；
【一般验证】（3）（3分）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在．
24．（本题12分）综合与实践
矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形．
【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形．
(1) （4分）的长为 ；(2)求点到的距离；
【操作2】（4分）如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积；
【操作3】（4分）如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍．
嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形；
淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形．
请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号）
嘉嘉的做法： 淇淇的做法：
25．（本题14分）【课本再现】人教版第88页第15题
如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．
【问题解决】
（1）（4分）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由；
（2）（5分）如图2，连接AF交DC与点G.连接点EG，求证AG平分∠DGE；
（3）（5分）如图3，连接正方形ABCD的对角线BD，交AF于H，请探究AB，DH，CF的数量关系，并证明．
《南门学校八年级下学期数学期中阶段测评》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B B D C B C C
11．． 12．/30度 13． 14． 15． 16．
17．2
18．（1）-4或2．
19．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，
∴；
20．∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=8，BC=17，
∴在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，
∴AC2+82=172，
∴AC=15，
又∵CD=9，AD=12，
∴92+122=81+144=225=152，
∴CD2+AD2=AC2 即AD⊥C D，
∴S四边形ABCD=S△ABC+ S△ACD =×8×15+×9×12=114(m2)．
21．（1）解：降价8元，每件利润为（元），
销售量为（件），
利润为（元），
答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元；
（2）解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元，
每件利润为元，
销售量为件，
由题意得，
整理得，
解得，
∵优惠最大，
∴取，
销售价为（元）．
答：每件T恤衫的销售价应该定为75元．
22．（1）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，由（）知：，
∴，
作法：作，连接，再作的垂直平分线，交于，得四边形即为所求作的内接菱形；
（3）解：如图，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于，
在中，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
即当的长最短时，的长为．
23．解：（1）设其2倍矩形长为，宽为，
根据题意，得，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为12，2；
（2）不存在，
理由：设其倍矩形长为，宽为，
根据题意，得，
整理得，
∴，
∴方程无解，
∴方程组无解，
∴不存在；
（3）设其2倍矩形长为，宽为，
根据题意，得，
整理得，
∴，
∴方程有解，
又，，
∴方程有正数解，
∴方程组有正数解，
∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在．
24．（1）解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形，
即，
∴．
（2）解：如解图，过点作于点，
在中，；
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴点到的距离为．
（3）解：由折叠的性质，得，，，
∴，
∵四边形为正方形，，，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为．
（4）解：嘉嘉的方法：
淇淇的方法：
25．（1）解：（1），证明如下：
取的中点K，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，K为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴是等腰直角三角形；
②证明：延长，并在延长线上截取DH=BE，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴（），
∴，
由①知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∴平分；
（3）CF+2DH= AB

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