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兴宁市宋声学校八年级中段考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．根据下表信息可知，下列关于温度（单位：℃）的不等式正确的是（ ）
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过40℃水温
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ）
A．75° B．65° C．55° D．50°
4．如图，这是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，他们讨论的不等式可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边，立柱的端点在上，且立柱与地面垂直（即，垂足为），则的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角的和是90°
B．底角相等的两个等腰三角形全等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．在直角三角形中，如果一个锐角等于60°，那么另一个锐角所对的直角边等于斜边的一半
8．如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，在3×3的正方形网格中，点，在格点上，若点也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生(图①)在《梅氏丛书辑要》(由其孙子梅彀成编纂)的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的.在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上.若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题：本大题共5小题．
11．用不等式表示“与3的差不大于的2倍”：______________．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______________命题．（填“真”或“假”）
13．为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为时，所需的费用为元，且与之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数的取值范围满足______________时，选择乙种消费卡更为划算．
14．如图，在中，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，分别以点，为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数为______________．
15．定义新运算：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：．那么不等式的解集为______________．
三、解答题（一）：本大题共3小题．
16．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数．
17．如图，在四边形中，，平分．求证：是等腰三角形．
18．阅读对话后，完成下面的任务．
小华：老师，这道题“解不等式：●．不小心被墨迹污染看不见． 老师：小华，如果我告诉你这道题的答案是，且被墨迹污染的是一个常数，你能把这个常数补上吗？ 小华：我能补上，谢谢老师．
任务：请你根据对话，帮小华求出被墨迹污染的常数．
四、解答题（二）：本大题共3小题．
19．（1）根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若，则_________；
若，则_________；
若，则_________．
（2）已知，试比较与的大小．
20．如图，，，于点，交的延长线于点．求证：平分．
21．国庆节前夕，某中学传统文化兴趣小组准备组织学生为学校编织大、小两种中国结装饰校园，若编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需要彩绳多少米．
（2）该中学决定编织以上两种中国结共60个，且编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
五、解答题（三）：本大题共2小题．
22．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售．
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒．
（1）请直接写出两种优惠方案实际付款金额甲（单位：元），（单位：元）与（单位：盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，那么哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供的经费为1800元，那么选择哪个方案能购买更多的乒乓球？
23．如图1，在中，，，的平分线交边于点．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若的平分线交边于点，如图2，求证：．
（3）若的外角平分线交的延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论．
参考答案及解析
一、选择题
题号 答案 简要解析
1 D 由表格可知温度不超过40℃，故。
2 C 不等式性质：两边同加2，不等号方向不变，。
3 B ，，，是中线也是角平分线，
4 D 由对话“解集是”反推，如：解为。
5 D
6 B 直线与轴交于，且向下倾斜，当
7 B 底角相等不能保证边相等，故不一定全等。
8 A ，垂直平分，，，，可求面积。
9 D 网格中，以为底可作3个，以为腰可作多个，常见答案为4个。
10 C 由面积关系及勾股定理推导，，，。
二、填空题
11．
12．真
13．（由图象交点判断，乙种卡在次数多时更划算。）
14．36°（由尺规作图知为角平分线，结合，可推出。）
15．
三、解答题（一）
16．多边形边数
解：设边数为。多边形内角和：外角和恒为360由题意：
答：这个多边形是七边形。
17．证明：是等腰三角形
证明：∵，∴（两直线平行，内错角相等）又∵平分
∴，
∴，∴，∴是等腰三角形。
18．求被污染的常数
解：设常数为，不等式为：
去分母（乘6）：
移项整理：
由已知解集得：
答：被污染的常数是3。
四、解答题（二）
19．不等式性质与比较大小
（1）
（2）解：∵两边乘（负数）得：两边减1：，∴更小。
20．证明：平分
证明：连接。在和中：，∴又，
∴∴同理可证.
∴最终可得
∴平分。
21．中国结问题
（1）设大号需米，小号需米。
解得：，
答：大号需5米，小号需3米。
（2）设大号个，则小号个。
答：最多编织25个大号中国结。
五、解答题（三）
22．乒乓球拍优惠方案
（1）
（2）当；
∴选甲方案更省钱。
（3）当预算1800元：甲：
乙：
∴选甲方案能买更多乒乓球。
23．几何综合证明
（1），平分，
∴为等腰三角形（）。
（2）提示：在上截取，证等边，再证，得，从而。
（3）结论不成立。正确结论：。（证明思路：类似（2），构造全等三角形，注意外角平分线导致线段差关系。）

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