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2025-2026学年度第二学期期中学情检测
八年级数学试题
（全卷共140分，考试时间90分钟）
一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ）
A．冬去春来 B．大海捞针 C．水中捞月 D．守株待兔
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．多项式能运用完全平方公式进行因式分解，则m为（ ）
A．9 B． C． D．18
6．小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率
B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率
C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率
D．从，，这个数中随机抽到数字的频率
7．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．
下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形；
②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形；
③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形；
④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
9．分解因式：______．
10．在“I like maths．”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率为_______．
11．如图，中， ，则_______．
12．已知，则代数式的值为__________．
13．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________．
14．某市教育局对八年级学生进行体质监测，共收集了名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为__________．
15．如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______．
第11题 第13题 第15题 第16题
16．如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共84分）
17．（8分）因式分解：
(1)； (2)．
18．（8分）利用因式分解计算：
(1)； (2)．
19．（9分）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000
成活数 47 90 183 362 632 902
成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上表中，_____，_____；
(2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1）
(3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？
20．（6分）如图，在中，，O是斜边上的中点，，求证：四边形是矩形．

21．（10分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解∶设
原式(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
请问∶
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______
A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
22．（10分）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，，，求线段的长．
23．（9分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为．按要求画四边形，使它以为对角线，且四个顶点均落在格点上：
(1)在图中画一个平行四边形；
(2)在图中画一个矩形；
(3)在图中画一个正方形．
24．（12分）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：①我们可以将代数式分解因式，其过程如下
②我们可以求代数式的最小值，其过程如下，
∵，
∴．
因此，该式有最小值．
(1)按照上述方法分解因式：；
(2)若，用配方法求p的最小值；
(3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由．
25．（12分）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)操作一：
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ．
(2)【深入探究】
操作二：
如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由．
②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D B A C B
1．A
【详解】解：∵ 必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间，
其中水中捞月是不可能事件，可能性为0，
大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1，
冬去春来是必然事件，发生可能性为1，
∴ 四个选项中，冬去春来发生的可能性最大．
2．D
【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误；
B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误；
C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误；
D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确．
3．C
【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
C、，不能判定四边形为平行四边形，有可能是等腰梯形，符合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
故选C．
4．D
【详解】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为．
已知长方形面积为，
因此椭圆面积为：．
故选：D．
5．B
【详解】解：∵完全平方式的形式为
∴，
∴，
故选：B
6．A
【详解】解：选项A：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意．
选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意；
选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意；
选项D：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意；
7．C
【详解】解：如图所示，连接，
∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到，
∴，
∵菱形的边长，
∴，
∴是等边三角形，则，
∵四边形是菱形，
∴．
8．B
【详解】解：如图，连接，，
，，，分别是四边形各边的中点，
，
四边形是平行四边形；（①正确）
若四边形是矩形，
＝，
＝，＝，
＝，
四边形是菱形；（②错误）
若四边形是菱形，
，
∵，
，
四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误）
四边形是正方形，
＝，，
＝，＝，
＝，
四边形是菱形；
，，
，
，
四边形是正方形．（④正确）
正确的是①④．
故选：B．
9．
【详解】解：．
10．
【详解】解：在“I like maths”中，统计所有字母，总共有个字母，其中字母“”出现的频数为，
故字母“”出现的频率为．
11．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．9
【详解】解：
，
，
原式
13．/120度
【详解】解：矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
14．
【详解】解：第三组的频数为．
15．40
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴四边形的周长为．
16．
【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示：
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
故长的最小值即为长的最小值，
当最小时，为的对应长度，
在中，，，，
∴，
结合三角形面积公式，
可得，
故，
解得，
即长的最小值为．
17．(1) (2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)200 (2)10000
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
19．(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗
【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率，
∴，，
（2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性，
∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9.
故答案为：0.9.
（3）解：（棵）
答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗.
20．【详解】证明：∵O是斜边上的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
21．(1)C (2)不彻底； (3)
【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选C；
（2）分解结果不彻底，
原式
；
（3）设，
原式．
22．(1)见解析 (2)20
【详解】（1）证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
在中，，
，
又，，
，
．
23．【详解】（1）如图所示，过的中点，作线段，使，顺次连接，，，，即得到平行四边形．
（2）如图所示，过的中点，作线段，使，顺次连接，，，，即得到矩形．
（3）如图所示，过的中点，作线段，使，且，顺次连接，，，，即得到正方形．
24．(1)； (2)； (3)是等边三角形，见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
即求p的最小值是；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴是等边三角形．
25．(1)①45；② (2)①成立，见解析；②
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，即；
②由折叠的性质可得：，，
∵，
∴；
（2）①结论：成立，理由如下：
将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵点落在折痕上，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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