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新泰市南部联盟六年级4月份阶段性考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）已知线段AB＝10cm，AC+BC＝12cm，则点C的位置可能会出现以下的（　　）种情况．
①在线段AB上；
②在线段AB的延长线上；
③在线段BA的延长线上；
④在直线AB外．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（4分）线段AB＝12，点C为线段AB上的三等分点，当点D为线段CB的中点，则线段DB的长为（　　）
A．4 B．6 C．2或6 D．2或4
3．（4分）如图，AB，CD，EF交于点O，OG⊥AB，∠EOG＝30°，∠DOF＝35°，则∠AOC的度数为（　　）
A．30° B．35° C．25° D．20°
4．（4分）如图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（　　）
A．作线段CE的垂直平分线
B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则△CEN是等边三角形
D．作CN∥OA
5．（4分）下列等式变形错误的是（　　）
A．由a＝b得a﹣1＝b﹣1 B．由a＝b得﹣2a＝﹣2b
C．由a+2＝b+2得a＝b D．由3x＝2y+4得6x＝4y+4
6．（4分）下列方程的变形中，属于移项的是（　　）
A．由1，得x＝3
B．由3x+6＝0，得x+2＝0
C．由5x＝2，得x
D．由8x＝5x﹣4，得8x﹣5x＝﹣4
7．（4分）将一箱苹果分给若干个小朋友，如果每个小朋友分4个苹果，就会有1人没有苹果；如果每个小朋友分3个苹果，则正好多出7个苹果．问有多少个小朋友？如果设有x个小朋友，那么依题意可以列出的方程是（　　）
A．4（x+1）＝3x﹣7 B．4（x﹣1）＝3x+7
C．4x﹣7＝3（x+1） D．4x+1＝3（x﹣7）
8．（4分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝2b﹣a，等式右边是通常的减法及乘法运算．例如，4 （﹣5）＝2×（﹣5）﹣4＝﹣14．若（﹣3） x＝2，则x的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．2.5 D．﹣0.5
9．（4分）如图，AB∥CD，∠A＝52°，∠C﹣∠B＝6°，则∠B的度数为（　　）
A．46° B．49° C．55° D．58°
10．（4分）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）关于x的方程2x|m|﹣2＝0是一元一次方程，则m＝ 　 　 ．
12．（4分）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 　 　 °．
13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6，BC＝3，点E在边AB上，AE＝2，连接CE，且∠DCE＝∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF．若DF＝DC，则线段CF的长为 　 　 ．
14．（4分）已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则m﹣n＝　 　 ．
15．（4分）某种商品的进价为300元，售价为450元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保证利润率为20%，若设该商品应打x折，根据题意，可列方程为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分90分）
16．（16分）解下列方程：
（1）3x+3＝2x+7；
（2）3（2x+1）﹣1＝2x﹣3；
（3）3（x+1）＝2（x﹣1）；
（4）．
17．（10分）如图，已知O在线段AB上，C、D分别是线段AO、BO的中点．
（1）填空：AO＝　 　 CO，BD＝　 　 BO；
（2）若线段AB＝10，求线段CD的长．
18．（10分）如图，直线AB与直线CD交于点O，∠BOD＝5∠AOD．
（1）若射线OE⊥DC，求∠EOB的度数．
（2）若射线OE平分∠DOB，求∠AOE的度数．
19．（10分）某中学为了表彰书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔费6元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元；
（2）①后来校团委决定调整设奖方案，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了；
②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　 　 元．
20．（10分）检验x＝﹣3是不是方程4x﹣3＝2x+3的解．
21．（10分）【问题背景】对2024版七年级上册数学教材105页“活动1月历中的奥秘”进行探索研究．
同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！
【探究一】图①是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题．
（1）带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的　 　 倍．
（2）如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的　 　 倍．
（3）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得到的结论是：　 　 ．
（4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？你能说明理由吗？
【探究二】（5）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为b．当“+”形的正中心数比“H”形的正中心数小4时，直接写出a，b的值．（写出一种情况即可）（注：“+”形和“H”形在月历上可以随意移动）
22．（12分）如图，AD∥BE，C点在BE上，∠B＝∠D，AE交CD于点F．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1＝∠2＝68°，∠BAC＝3∠EAC，求∠EAC和∠DCE的大小．
23．（12分）如图，在△ABC中，点F，E在AC边上，点D在BC边上，点G在AB边上，GF∥BC，BF∥DE．
（1）请判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）若BF平分∠ABC，∠CDE＝30°，求∠AGF的度数；
（3）若∠1＝30°，且DE⊥AC，求∠C的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D D B D A B
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．±1
12．45
13．
．
14．﹣1
15． 450300（1+20%）．
三．解答题（共8小题，满分90分）
16．
（1）x＝4；（2）；（3）x＝﹣5；（4）x＝﹣17．
17．
（1）2，；
（2）5．
18．
（1）60°；
（2）105°．
19．
（1）钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；
（2）①张老师用这些钱只买这两种笔的账算错了，理由见解答；
②4或10．
解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元，
根据题意，得30x+20（x+6）＝1070，
解方程，得x＝19，
∴x+6＝19+6＝25（元）．
答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；
（2）①张老师用这些钱只买这两种笔的账算错了，理由如下：
设张老师购买y支钢笔，则购买（60﹣y）支毛笔，
根据题意，得19y+25（60﹣y）＝1322，
解方程，得y，
又∵y需为正整数，
∴y不符合题意，舍去，
∴张老师用这些钱只买这两种笔的账算错了；
②设签字笔的单价为m元，
根据题意得：19y+25（60﹣y）＝1322﹣m，
解方程，得y29，
又∵y为正整数，m为不大于10元的整数，
∴m＝4或10，
∴签字笔的单价可能为4或10元．
20．
x＝﹣3不是方程4x﹣3＝2x+3的解．
解：当x＝﹣3时，左边＝﹣12﹣3＝﹣15，右边＝﹣6+3＝﹣3，
∵左边≠右边，
∴x＝﹣3不是方程4x﹣3＝2x+3的解．
21．
（1）9；
（2）9；
（3）（1）中的结论仍然成立，答案见解析；
（4）都成立；
（5）a＝80，b＝140．
解：（1）9个数的和为3+4+5+10+11+12+17+18+19＝99，
故带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的9倍，
故答案为：9；
（2）14+15+16+21+22+23+28+29+30＝198，
198÷22＝9，
故将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的9倍，
故答案为：9．
（3）（1）中的结论仍然成立，
设正中心的数为n，则其余的数为n+1，n﹣1，n+7，n﹣7，n+6，n﹣6，n+8，n﹣8，
∴n+1+n﹣1+n+7+n﹣7+n+6+n﹣6+n+8+n﹣8+n＝9n，
∴结论成立，
故答案为：结论成立；
（4）这个结论对每个结论都成立，
因为日历是连续的，故这个结论对于任何一个月的月历都成立；
（5）设“+”形的正中心数为x，故“H”形的正中心数为x+4，
故“+”形的各个数为：x，x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，
故a＝x+x﹣1+x+1+x﹣7+x+7＝5x，
“H”形的各个数为：x+4，x+3，x+5，x﹣4，x+10，x﹣2，x+12，
故b＝x+4+x+3+x+5+x﹣4+x+10+x﹣2+x+12＝7x+28，
故令x＝16，
22．
（1）（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD；
（2）61°．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠2＝68°，
∵∠BAE＝∠BAC+∠EAC，∠BAC＝3∠EAC，
∴4∠EAC＝68°，
∴∠EAC＝17°，∠BAC＝51°，
∵∠1＝68°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠1＝61°，
∴∠DCE＝∠B＝61°．
23．
（1）∠1+∠2＝180°，理由见解析；
（2）∠AGF＝60°；
（3）∠C＝60°．
解：（1）∠1+∠2＝180°；
理由：∵GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵BF∥DE，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）∵BF∥DE，
∴∠3＝∠CDE＝30°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠3＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝60°；
（3）∵DE⊥AC，
∴∠DEF＝90°，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝90°，
∵∠1＝30°，
∴∠AFG＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠C＝∠AFG＝60°．

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