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文峰初中教共体 2026年春季学期九年级期中测试
数学学科试题
（全卷共四个大题，满分 150分，考试时间 120分钟）
一．选择题（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D
的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．2026的倒数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．如图，这个几何体是由 5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．把一块含 30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，
若∠1＝54°，则∠2的大小是（ ）
A．32° B．30° C．24° D．22°
4．反比例函数 的图象所在象限为（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
5．2026年春节期间，重庆动物园单日最高客流量达到 91000人次．将数字“91000”用科学记
数法表示为（ ）
A．91×103 B．9.1×103 C．9.1×104 D．0.91×105
6．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点 O为位似中心，已知 BO：OE＝2：1，
则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
7．如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为 B，C，若∠A＝62°，则∠P的度数为（ ）
A．72° B．48° C．65° D．56°
第 1页（共 6页）
8．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第 1个图案由 4个基
本图形组成，第 2个图案由 7个基本图形组成，第 3个图案由 10个基本图形组成，按照这
一规律，第 8个图案中基本图形的个数为（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
9．如图，在正方形 ABCD中，点 M在边 CB上，点 N在对角线 BD上，
连接 DM，CN，点 P，Q分别为 CN，DM中点，若 ， ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知整式M a xn a xn 1n n 1 a
n 2
n 2x ... a1x a0 ，其中 n， an为正整数，a1, a2 , ...，an 1为
自然数，整数 a0满足 a0 a1 8， a0 a1 a2 ... an 6。定义整式M的“加权值”
M (n 1)a xnn nan 1x
n 1 (n 1)a xn 2n 2 ... 2a1x a0，下列说法：
①当 n 6 1时，不等式M 5的解集为 x ：
7
②当 x 1， n 3时，M 的最小值为 17：
③ 3满足条件的M的所有二次三项式的和取最小值时， x 。
16
其中正确的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4分，共 24分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上。
11．家住重庆的小高得知 2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四
川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率
是 ．
12．若 n为正整数，且满足 ，则 n＝ ．
13．某公司 5月份的营业额为 25万，7月份的营业额为 36万，已知 6、7月的增长率相同，则
增长率为 ．
第 2页（共 6页）
14．若 x﹣|y|＝7，|x|﹣2y＝4，则 xy＝ ．
15．如图，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC＝5，BC＝6．连接 AO并延长交⊙O于点 D，∠ABC的角
平分线交 AD于点 E，交⊙O于点 F，连接 AF，则 AF的长度为 ．
16．若一个四位自然数 各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百
位数字与个位数字之和均为 6的倍数，则称 M为“吉量数”．例如：四位数 4521，∵4+2＝6，
5+1＝6，6为 6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是 ；
若“吉量数”M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤5，1≤b≤5，1≤c≤9，1≤d≤9，且 a，b，c，
d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上 4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数
记为 M1，将 M1的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四
位数为 M2，记 ．若 F（M）是 5的倍数，且 是一个完全平方数，则满足
条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题：(本大题 2 个小题，每小题 8分，共 16 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或
推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
5 3x x 9

17.求不等式组： 1 3x 的整数解.
1 2x 2
18.数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、
F，使∠DAE =∠BCF.这样所得的四边形 AECF 是平行四边形.请根据他们的思路完成以下作图
和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在 BC 的右侧作∠BCF =∠DAE，交直线 DB 于点 F，连接 AF(不写作法，保
留作图痕迹)
(2)已知：四边形 ABCD 是平行四边形，BD 与 AC 交于点 O，点 E、F 是
直线 BD 上两点，连接 AE、CE、AF、CF，∠BCF = ∠DAE.求证：四边
形 AECF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，① ，
∴∠ADB =∠CBD
∴180° ∠ADB = 180° ∠CBD，
∴② ．
第 3页（共 6页）
EDA FBC
在△EDA 和△FBC 中： AD BC ，
DAE BCF
∴△EDA≌△FBC(ASA)，
∴AE=CF，③ ，
∴④ ，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
四、解答题：(本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.为了解文峰初中学生对 DeepSeek 等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞
赛.现从八、九年级的学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、
分析.所有学生的成绩均高于 60 分(成绩得分用 x 表示，共分成四组：A.90 < x ≤ 100；
B.80 < x≤ 90；C.70 < x≤ 80；D.60 < x≤ 70；)，下面给出了部分信息：
八年级抽取 20 名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，
82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100.
九年级抽取 20 名学生的竞赛成绩在 B组的数据是：81，82，85，86，
87，88.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a = _______，b = _______，m = _______；
(2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生
的技能竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)学校八年级有 1100 名学生，九年级有 1000 名学生，请估计八年级
和九年级两个年级竞赛成绩为优秀(80 < x ≤ 100)的学生共有多少
名？
20.先化简，再求值：(x 1)(x 5) (x 3) 2 x 4 x 22 2 2 ，其中x满足 x2 tan 2 60 1 0 .x 1 x x x x
21.列方程解下列问题：
为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业.经测试，每分钟一名
工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少 5片，若一名工人采茶 6分钟、一台机器人采茶 10
分钟，共采茶 450 片.
(1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数；
(2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采 2a 片
茶叶，工人每分钟比之前多采 a片茶叶，这样，一台机器人采 1200 片茶叶所用的时间是一名
工人采 600 片茶叶所用时间的 1.5 倍，求出 a的值.
第 4页（共 6页）
22.如图 1，矩形 ABCD 中，AB = 3cm，BC = 4cm，动点 P以 1cm/s 的速度从点 B沿折线 B→A→C 运动
（不与点 B，C 重合），连接 PC、PB，同时，动点 Q 以 0.5cm/s 的速度从点 A 出发沿 AC 运动，
当点 P停止运动时点 Q也随之停止运动。过点 Q作 QH⊥AD 于点 H，设点 P的运动时间为 x（单
位：s），记△PBC 的面积为 y1，记△ACD 与△AQH 的周长比为 y2，请回答下列问题：
(1)请直接写出 y1、y2分别与 x的函数关系式，并注明自变量 x的取值范围；
(2)如图 2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数 y1、y2的图象，并写出函数 y1的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当 y1> y2时 x的取值范围.(近似值保留一位小数，误差不超过 0.2)
23.如图，某海域捕鱼作业区 B 位于补给中心 A的北偏东 30°方向距离 60 海里处，位于岛屿 C 的
北偏西 45°方向，岛屿 C位于补给中心 A的正东方.(参考数据： 3 1.73， 6 2.45 )
(1)求岛屿 C与捕鱼作业区 B之间的距离；(结果保留到小数点后一位)
(2)某渔船在 B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给
中心 A发送信号并同时以每小时 30海里的速度向正西方向追赶鱼
群.补给中心 A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从 A出发(接
受信号及通知时间忽略不计)，沿正北方向以每小时30 3 海里的速
度前往协同捕捞.当两船相距 20 7 海里时，它们开始启动协同捕鱼
作业.请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？(结果保留根号)
24.如图，在直角坐标系中，抛物线 y ax 2 bx 3 (a 0)与 x轴交于点 A（-2,0），B，与 y轴交于点
C，连接 BC，抛物线对称轴为 x= 2 .
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点 A作 AE // BC交 y轴于点 E，点 P为直线 BC 上方抛物线上的一个动点，连接 PE，AP，抛物
线对称轴上有一动点 N，过点 N作 MN⊥y 轴于点 M，连接 PM，BN，当△AEP 的面积与△AOC 面
积之差最大时，求点 P的坐标和 PM +BN+MN 的最小值；
(3)将抛物线 y ax 2 bx 3 (a 0)沿射线 AC方向平移得到新抛物线 y′，新抛物线 y′恰好经过点
C，点 D 为原抛物线的顶点，在新抛物线 y′上是否存在点 Q，使得∠BDQ+∠CBO=45°.请写出
所有符合条件的点 Q的横坐标，并写出其中一个点 Q横坐标的求解过程.
第 5页（共 6页）
25.如图，在△ABC中，AB = AC，∠C = 60°，点 D在 AC 上，延长 CB 至点 E，连接 DE 交 AB 于点 F.
(1)如图 1，连接 BD，当 DF = BF，∠DBC =α时，求∠E的度数(用含α的代数式表示)；
(2)如图 2，点 G为线段 BE 上一点，当 AD = BG，BE = CG 时，求证：DE= 3AG；
(3)如图 3，当 AB = 4，BE = 8 时，点 M、N分别为射线 EB、CA 上的动点，始终满足 EM = CN，连接 BN，
将△BCN 沿 BN 翻折，点 C 的对应点为 P，连接 AM、MN、PM、PN，当 AM + BN 取得最小值时，直接
写出△PMN 的面积.
第 6页（共 6页）(
文峰初中
教共体
202
6
年春季学期九年级
期中测试
数学学科答题卡
) (
20.（10分）
先化简
，
再求值
：
，
其中
x
满足
2
1
.（
10分）
) (
18.
（8分）
19.（10分）
（1）
a
，b
，m
；
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域
外
的答题无效
) (
请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域
外
的答题无效
) (
请在各题目的答题区域内作答，黑色矩形边框限定区域
外
的答题无效
) (
条形码粘贴区
) (
特别注意
1、作答时请勿超出实线答题区
2、一定要规范填涂，涂黑涂正
) (
一、选择题（每小题4分，共40分）
1
A
B
C
D
5
A
B
C
D
9
A
B
C
D
2
A
B
C
D
6
A
B
C
D
10
A
B
C
D
3
A
B
C
D
7
A
B
C
D
4
A
B
C
D
8
A
B
C
D
二、填空题 （每小题4分，共
2
4
分）
1
1
.
1
2
.
1
3
.
1
4
.
1
5
.
1
6
.
17
.
（
8分）
求
不等式组
：
的整数解
.
) (
姓名：
班级：
考
号：
)
(
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域
外
的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域
外
的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域
外
的答案无效
) (
2
5
.
（
10分
）
) (
2
2424
24. （10分）
) (
22.（10分）
23.（10分）
)文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试
数学学科试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．2026的倒数是（　　）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠1＝54°，则∠2的大小是（　　）
A．32° B．30° C．24° D．22°
4．反比例函数的图象所在象限为（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
5．2026年春节期间，重庆动物园单日最高客流量达到91000人次．将数字“91000”用科学记数法表示为（　　）
A．91×103 B．9.1×103 C．9.1×104 D．0.91×105
6．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
7．如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，若∠A＝62°，则∠P的度数为（　　）
A．72° B．48° C．65° D．56°
8．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　）
A．22 B．25 C．28 D．31
9．如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM，CN，点P，Q分别为CN，DM中点，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知整式，其中 为正整数， ...，为自然数，整数满足，。定义整式M的“加权值”，下列说法：
①当时，不等式的解集为：
②当，时，的最小值为17：
③满足条件的M的所有二次三项式的和取最小值时，。
其中正确的个数是（ ）
A.3 B. 2 C. 1 D. 0
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是　 　 ．
12．若n为正整数，且满足，则n＝　 　 ．
13．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 　 　 ．
14．若x﹣|y|＝7，|x|﹣2y＝4，则xy＝　 　 ．
15．如图，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC＝5，BC＝6．连接AO并延长交⊙O于点D，∠ABC的角平分线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF，则AF的长度为　 　 ．
16．若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”．例如：四位数4521，∵4+2＝6，5+1＝6，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是　 　 ；若“吉量数”M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤5，1≤b≤5，1≤c≤9，1≤d≤9，且a，b，c，d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为M1，将M1的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为M2，记．若F（M）是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为　 　 ．
三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17.求不等式组：的整数解.
18.数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、F，使∠DAE∠BCF.这样所得的四边形AECF是平行四边形.请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF∠DAE，交直线DB于点F，连接AF(不写作法，保留作图痕迹)
(2)已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O，点E、F是直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，∠BCF∠DAE.求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，① ，
∴∠ADB∠CBD
∴180°∠ADB180°∠CBD，
∴② ．
在△EDA和△FBC中：，
∴△EDA≌△FBC(ASA)，
∴AE=CF，③ ，
∴④ ，
∴四边形AECF是平行四边形.
四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.为了解文峰初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛.现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示，共分成四组：A.90x100；B.80x90；C.70x80；D.60x70；)，下面给出了部分信息：
八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100.
九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a_______，b_______，m_______；
(2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)学校八年级有1100名学生，九年级有1000名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀(80x100)的学生共有多少名？
20.先化简，再求值：，其中x满足.
21.列方程解下列问题：
为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业.经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片.
(1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数；
(2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值.
22.如图1，矩形ABCD中，AB3cm，BC4cm，动点P以1cm/s的速度从点B沿折线B→A→C运动（不与点B，C重合），连接PC、PB，同时，动点Q以0.5cm/s的速度从点A出发沿AC运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动。过点Q作QH⊥AD于点H，设点P的运动时间为x（单位：s），记△PBC的面积为y1，记△ACD与△AQH的周长比为y2，请回答下列问题：
(1)请直接写出y1、y2分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当y1 > y2时x的取值范围.(近似值保留一位小数，误差不超过0.2)
23.如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东30° 方向距离60海里处，位于岛屿C的北偏西45°方向，岛屿C位于补给中心A的正东方.(参考数据：，)
(1)求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；(结果保留到小数点后一位)
(2)某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群.补给中心A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从A出发(接受信号及通知时间忽略不计)，沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞.当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业.请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？(结果保留根号)
24.如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2,0），B，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点A作交y轴于点E，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PE，AP，抛物线对称轴上有一动点N，过点N作MN⊥y轴于点M，连接PM，BN，当△AEP的面积与△AOC面积之差最大时，求点P的坐标和PM +BN+MN的最小值；
(3)将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′恰好经过点C，点D为原抛物线的顶点，在新抛物线y′上是否存在点Q，使得∠BDQ+∠CBO=45°.请写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q横坐标的求解过程.
25.如图，在中，ABAC，∠C60°，点D在AC上，延长CB至点E，连接DE交AB于点F.
(1)如图1，连接BD，当DFBF，∠DBCα时，求∠E的度数(用含α的代数式表示)；
(2)如图2，点G为线段BE上一点，当ADBG，BECG时，求证：；
(3)如图3，当AB4，BE8时，点M、N分别为射线EB、CA上的动点，始终满足EMCN，连接BN，将沿BN翻折，点C的对应点为P，连接AM、MN、PM、PN，当AMBN取得最小值时，直接写出的面积.

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