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2026年中考数学二模模拟试卷01
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2026 的倒数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．
2．将a，b，c三根直木条按如图所示的位置摆放，且∠1=100°，∠2=55°，固定木条a和c，木条b绕点B顺时针旋转45°，则下列描述正确的是（　　）
A．a∥b B．a⊥b C．b∥c D．b⊥c
3．如图，物体的主视图画法正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，连结BD，若BD=CD，AB=8，BC=6，则AD的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．2
6．抛物线②当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
7．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（　　）
A． B． C． D．
8． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
10．如图1，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点P从点 D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B—C—D向终点 D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒，PQ2为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点E(2，m).下列说法不正确的是(　　)
A．n=7 B．m=25
C． D．点(4， 28)在该函数图象上
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．不等式组的解集是　 　 .
12．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=110°，则∠D=　 　°.
13．如图，两幢楼间距为40米，某时太阳光线与水平线的夹角为37°，光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上(窗台高1米)，则一号楼的高度AB为　 　米.(参考数据：
14．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　 　．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC延长线上一点，连接PA、PD；过点D作ED⊥PD交 PA于点E．当PE=3AE时，则PC的长为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数的图象上，AB经过原点O，延长AC交x轴于点D，且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k=　 　.
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：.
18．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
19．4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在我国不夜城长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样共调查了　 　名学生，m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
20．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．
21．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
22．如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。
（1）若AB=8，求EP的长；
（2）证明：CD=PN；
（3）当AE⊥EN时，求的值。
23． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
24．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的最大值；
（3）当时，的取值范围是，且，求的值．
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2026年中考数学二模模拟试卷01
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2026 的倒数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的概念即可求解.
2．将a，b，c三根直木条按如图所示的位置摆放，且∠1=100°，∠2=55°，固定木条a和c，木条b绕点B顺时针旋转45°，则下列描述正确的是（　　）
A．a∥b B．a⊥b C．b∥c D．b⊥c
【答案】A
【知识点】旋转对称图形；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：，木条绕点顺时针旋转，
可得旋转后，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】求出旋转后，利用同位角相等，两直线平行解答即可．
3．如图，物体的主视图画法正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是
故选C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案.
4．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得；
购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得
因此可列方程组．
故答案为：D.
【分析】设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，根据题意列出方程组即可．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，连结BD，若BD=CD，AB=8，BC=6，则AD的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于点H，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，；
又∵，
∴，
∴O、D、H三点共线，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点D作于点H，连接，根据只能怪所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出AC长，根据三线合一得到，然后得到三点共线，即可求出的长，然后根据勾股定理解答即可．
6．抛物线②当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
7．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在以点为圆心、为半径的圆上，
如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值是，
故答案为：．
【分析】作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，即可得到，由两点之间线段最短得到此时的值最小为的长，根据勾股定理计算即可．
8． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A .
【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.
9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：已知小正方形MNPQ的边长MN=1，且EM=MP=PF。
因为MNPQ是正方形，所以MP是小正方形的对角线，由勾股定理得：，
因此，
设四个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b(b>a)。
根据赵爽弦图的结构，小正方形的边长等于长直角边减短直角边，因此：b-a=1
大正方形的边长AB是直角三角形的斜边，由勾股定理得：，
过点E作EG⊥AN于点G，
因为四边形MNPQ为正方形，MP为对角线，
所以∠NMP=∠EMG=45°，
所以EG=MG=1，AG=b-2，
因为∠ANB=90°，
所以EG//BN，
所以，
所以，
即，
解得：，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】 本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形、相似三角形与勾股定理。先由小正方形边长和线段相等关系，利用相似三角形求出直角三角形的两直角边，再用勾股定理计算大正方形边长 AB。
10．如图1，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点P从点 D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B—C—D向终点 D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒，PQ2为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点E(2，m).下列说法不正确的是(　　)
A．n=7 B．m=25
C． D．点(4， 28)在该函数图象上
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，根据菱形的性质可得，，，然后根据两角对应相等得到，即可得到，根据图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，即，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到和，结合图2可知时，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，得到、且，根据勾股定理求得关于x的函数关系式，进而可得点E的坐标；当点Q在线段运动时，即可得到，，利用勾股定理求得关于x的函数关系式，代入x=4，求出y的值解答即可．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．不等式组的解集是　 　 .
【答案】-2＜x≤2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x+4>0，得x>-2，
解不等式8-3x≥2，得x≤2，
∴不等式组的解集为-2故答案为：-2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集.
12．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=110°，则∠D=　 　°.
【答案】70
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，，
∴．
故答案为：70．
【分析】根据圆内接四边形对角互补解答即可．
13．如图，两幢楼间距为40米，某时太阳光线与水平线的夹角为37°，光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上(窗台高1米)，则一号楼的高度AB为　 　米.(参考数据：
【答案】31
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点，则，，，
∴，
∴（米）．
故答案为：31 .
【分析】根据正切的定义求出AD长，再根据线段的和差解答即可.
14．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解： 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、，
把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种，
其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种，
故恰好排成“2026中考必胜”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC延长线上一点，连接PA、PD；过点D作ED⊥PD交 PA于点E．当PE=3AE时，则PC的长为　 　．
【答案】或
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长DE角CB延长线于点F，
设CP=x，则CF=3-x，
即
整理得
解得 即
故答案为： 或
【分析】延长DE交CB延长线于点F，根据正方形的性质得到，即可得到PF=3，设CP=x，则CF=3-x，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可.
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数的图象上，AB经过原点O，延长AC交x轴于点D，且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k=　 　.
【答案】4
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的中点公式；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
设点，
∵均在反比例函数的图象上，且经过原点，
∴关于原点对称，且，
∴，
∵，
∴为线段中点，
设，则，且，即，
又∵均在上，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，点到线段和线段的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，即．
故答案为：4.
【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象的对称性得到点的坐标，根据为线段中点求出点的坐标，以及根据列方程求出mn解答即可．
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：.
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案.
18．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
19．4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在我国不夜城长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样共调查了　 　名学生，m的值为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
【答案】（1）15；30
（2）解∶补图如下∶
（3）解：（名）
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴．
故答案为：15；30；
【分析】（1）运用A类的人数和占比求出抽样总人数；再运用D类的人数除以总人数求出m的值解答即可；
（2）根据（1）中所求D类的人数补全条形统计图即可；
（3）用3000乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生占比解答即可．
20．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；
（2）（0，2）
（3）解：设，，则OA=-x1，OB=x2，
令 中的x=0得出y=c，
∴C(0，c)，
∴OC=-c，
令 中的y=0得出
由韦达定理可得，，
∵，
∴，
，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，，，
由（1）知，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：（0，2）；
【分析】（1）连接AC、BD，由同弧所对的圆周角相等得出∠C=∠B，∠A=∠D，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△APC∽△DPB，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）由A、B、C三点坐标得出OA=1，OB=3，OC=1.5，结合（1）的结论可求出OD=2，从而即可得到点D的坐标；
（3）设A(x1，0)，B(x2，0)，则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得出OC=-c；令抛物线解析式中的y=0可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合（1）的结论即可求出OD的长，从而即可得到点D的坐标.
（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设，，
∵，
即，
当时，由韦达定理可得，，
，
则．
21．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。
（1）若AB=8，求EP的长；
（2）证明：CD=PN；
（3）当AE⊥EN时，求的值。
【答案】（1）解：∵D为AC的中点，
∵E，P分别为BD，BC的中点，
（2）如图，连结AP，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴AP∥DM，
∵AD=CD，
∴PM=MC。
∵EP∥CD，
∴∠C=∠MPN，∠CDM=∠PNM，
∴△CDM≌△PNM，
∴CD=PN。
（3）解：∵E、P分别为BD、BC中点，
∴EP∥AC，
∴∠CAP=∠APE，
∵∠AEP=∠APC=90°，
∴△AEP∽△CPA，
∴
设EP=a，则AC=2CD=4EP=4a，
代入得
a，
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据中点求出CD长，再根据三角形的中位线定理解答即可；
（2）连接，根据三线合一得到AP⊥BC，进而得到AP∥DM，然后根据平行线分线段成比例求出PM=MC，然后根据ASA得到，利用全等三角形的对应边相得到结论；
（3）设EP=a，两角对应相等得到△AEP∽△CPA，利用对应边成比例求出AP=2a，然后根据勾股定理求出PC长，再根据两边成比例且夹角相等的的两三角形相似得到△AEN∽△APC，再根据面积比等于相似比的平方解答即可．
23． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
24．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的最大值；
（3）当时，的取值范围是，且，求的值．
【答案】（1）解：把代入
得，，
解得，
把代入
得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为
（3）解：由得，∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数的综合为背景，考查了待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值的求解以及二次函数在给定区间上的取值范围分类讨论。
（1）将点 A 和 B 的坐标代入抛物线解析式，联立方程组求出 a 和 b；再将点 B 代入直线解析式求出 k。
（2）过点 P 作 PD AB 交 BC 于点 H，用 m 表示 P 和 H 的纵坐标，得到 PH 关于 m 的二次函数，求出其最大值。再通过证明，得到 PQ 与 PH 的比例关系，从而求出 PQ 的最大值。
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴和最大值。根据 m 与对称轴及区间端点的位置关系分三种情况讨论，结合的值列方程，求解得到 m 的值。
（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
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